三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第七節(jié) 空間角與距離 理全國(guó)通用

第七第七節(jié)節(jié) 空間角與距離空間角與距離 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx泰安模擬)已知向量m m，n n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若 cosm m，n n12，則l與所成的角為( ) A30 B60 C120 D150 解析 設(shè)l與所成角為，cos m m，n n 12，又直線與平面所成角滿足 090，sin 12.30. 答案 A 2(20 xx廣州模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則 sinCM，D1N的值為( ) A.19 B.4 59 C.2 59 D.23 解析 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可知CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)， cosCM，D1N19，sinCM，D1N4 59. 答案 B 3(20 xx石家莊調(diào)研)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是( ) A.32 B.22 C.2 23 D.2 33 解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， D1A1(2，0，0)，DA1(2，0，2)，DB(2，2，0)， 設(shè)平面A1BD的法向量n n(x，y，z)， 則n nDA12x2z0，n nDB2x2y0.令x1，則n n(1，1，1) 點(diǎn)D1到平面A1BD的距離 d|D1A1n n|n n|232 33. 答案 D 4(20 xx江西南昌質(zhì)檢)二面角l等于 120，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACBD1，則CD的長(zhǎng)等于( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 解析 如圖，二面角l等于 120， CA與BD夾角為 60. 由題設(shè)知，CAAB， ABBD，|AB|AC|BD|1， |CD|2|CAABBD|2 |CA|2|AB|2|BD|22CAAB2ABBD2CABD32cos 604，|CD|2. 答案 C 二、填空題 5(20 xx青島模擬)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_ 解析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)n n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量， 則n nA1B0，n nA1C10， 即2yz0 x2y0，令z2，則y1，x2， 于是n n(2，1，2)，D1C1(0，2，0)， sin |cosn n，D1C1|13. 答案 13 一年創(chuàng)新演練 6已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_ 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則CG(0，0，2)，由題意可求得平面GEF的一個(gè)法向量為n n(1，1，3)，所以點(diǎn)C到平面GEF的距離為d|n nCG|n n|6 1111. 答案 6 1111 7如圖，三棱錐PABC中，PAPBPC 3，CACB 2，ACBC. (1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離； (2)求二面角CPAB的余弦值 解 取AB中點(diǎn)O，連接OP，CO， CACB 2，ACB90， COAB，且AB2，CO1. PAPB 3，POAB，且POPA2AO2 2.PO2OC23PC2， POC90，即POOC. OA，OC，OP兩兩垂直 如圖所示，分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2) (1)設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n n(x，y，1)，則n nAC0，n nPA0. AC(1，1，0)，PA(1，0， 2)， xy0，x 20，xy 2， n n( 2， 2，1)AB(2，0，0)， 點(diǎn)B到平面PAC的距離為 d|n nAB|n n|2 22212 105. (2)OC(0，1，0)是平面PAB的一個(gè)法向量，cosn n，OC2221105. 綜合圖形可見，二面角CPAB的大小為銳角， 二面角CPAB的余弦值為105. B 組 專項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 8(20 xx寧夏銀川調(diào)研考試)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A.64 B.104 C.22 D.32 解析 法一 取A1C1的中點(diǎn)E，連接AE、B1E. 由題易知B1E平面ACC1A1， 則B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角令正三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)為 1，則 sinB1AEB1EAB132264，故選 A. 法二 如上圖，以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)棱長(zhǎng)為 1，則 A(12，0，1)，B1(0，32，0)，設(shè)AB1與面ACC1A1所成角為， 則 sin |cosAB1，EB1| 12，32，1 0，32，023264. 答案 A 二、填空題 9(20 xx江蘇徐州一模)將銳角A為 60，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿BD折成 60的二面角，則A與C之間的距離為_ 解析 設(shè)折疊后點(diǎn)A到達(dá)A1點(diǎn)的位置，取BD的中點(diǎn)E，連接A1E、CE. BDCE，BDA1E. A1EC為二面角A1BDC的平面角 A1EC60，又A1ECE， A1EC是等邊三角形 A1ECEA1C32a. 即折疊后點(diǎn)A與C之間的距離為32a. 答案 32a 三、解答題 10.(20 xx南京模擬)如圖，ABC是以ABC為直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分別是SC，AB，BC的中點(diǎn) (1)求證：MNAB； (2)求二面角SNDA的余弦值； (3)求點(diǎn)A到平面SND的距離 解 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA為x，y軸的正方向，垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖) (1)證明 由題意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0) 所以：MN(1，0，1)，AB(0，4，0)，MNAB0，MNAB. (2)設(shè)平面SND的一個(gè)法向量為m m(x，y，z)， 則：m mSN0，且m mDN0. SN(0，2，2)，DN(1，2，0)， 2y2z0，x2y0，即yz0，x2y. 令z1，得：x2，y1， m m(2，1，1) 又平面AND的法向量為n n(0，0，1)，cosm m，n nm mn n|m m|n n|66. 由題圖易知二面角SNDA為銳角，故其余弦值為66. (3)AN(0，2，0)， 點(diǎn)A到平面SND的距離 d|ANm m|m m|63. 11(20 xx廣東六校聯(lián)盟模擬)如圖，將長(zhǎng)為 4，寬為 1 的長(zhǎng)方形折疊成長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的四個(gè)側(cè)面，記底面上一邊ABt(0t0)，P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn) (1)當(dāng)AA1ABAC時(shí)，求證：A1C平面ABC1； (2)試求三棱錐PBCC1的體積V取得最大值時(shí)的t值； (3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值為1010，試求實(shí)數(shù)t的值 (1)證明 連接A1C. AA1平面ABC，AB、AC 平面ABC， AA1AC，AA1AB. 又ABAC， 以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則A(0，0，0)，C1(0，1，1)， B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，A1C(0，1，1)，AC1(0，1，1)，AB(1，0，0) 設(shè)平面ABC1的法向量n n(x，y，z)， 則n nAC1yz0，n nABx0，解得x0，yz. 令z1，則n n(0，1，1) A1Cn n，A1C平面ABC1. (2)解 AA1平面BB1C1C， 點(diǎn)P到平面BB1C1C的距離等于點(diǎn)A到平面BB1C1C的距離 111-P BCCA BCCCABCVVV 16t2(32t)12t213t3(0t32)，Vt(t1)， 令V0，得t0(舍去)或t1， 列表得 t (0，1) 1 1，32 V 0 V 遞增 極大值 遞減 當(dāng)t1 時(shí)，Vmax16. (3)解 A(0，0，0)，C1(0，t，32t)，B(t，0，0)，C(0，t，0)，A1(0，0，32t)，A1C(0，t，2t3)，AC1(0，t，32t)，AB(t，0，0)，CC1(0，0，32t)，BC(t，t，0) 設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n n1(x1，y1，z1)， 則n n1 1AC1ty1（32t）z10，n n1ABtx10， 解得x10，y12t3tz1，令z1t，則n n1(0，2t3，t) 設(shè)平面BCC1的一個(gè)法向量為n n2(x2，y2，z2)，則n n2 2BCtx2ty20，n n2CC1（32t）z20， 0t32，解得x2y2，z20. 令y21，則n n2(1，1，0) 設(shè)二面角ABC1C的平面角為，由圖可知為銳角，則有|cos |n n1n n2|n n1|n n2|2t3|2t2（2t3）21010. 化簡(jiǎn)得 5t216t120，解得t2(舍去)或t65. 當(dāng)t65時(shí)，二面角ABC1C的平面角的余弦值為1010.