2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 (V).doc
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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 (V).doc
2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 (V)
一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)
1. 已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},則A∪B等于( ?。?
A. B.
C. 1,2, D. 0,1,2,
2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則=( ?。?
A. B. C. D.
3. 命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( ?。?
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 函數(shù)f(x)=sin(2x+)的最小正周期為( )
A. B. C. D.
5. 已知向量=(1,m),=(3,-2),且(+)⊥,則m=( ?。?
A. B. C. 6 D. 8
6. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ?。?
A. B.
C. D.
7. 甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后,甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤,則下列結(jié)論正確的是( ?。?
A. 丙被錄用了 B. 乙被錄用了
C. 甲被錄用了 D. 無法確定誰被錄用了
8. 已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則實(shí)數(shù)a=( ?。?
A. 2 B. C. D. 1
9. 宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等,如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖,若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的n等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 已知函數(shù)f(x)=,則y=f(x)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
11. 直線被圓截得的弦長為,則的最小值是( )
A. 9 B. 4 C. D.
12. 設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),滿足,則下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13. 過點(diǎn)(1,1)且與直線2x-y+1=0平行的直線方程為______ .
14. 若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是______ .
15. 設(shè)x,y滿足約束條件,則z=3x-2y的最小值為______.
16. 等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)O為球心的球面上,G為三角形ABC的中心,且OG=.且△ABC的外接圓的面積為,則球的體積為______ .
三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17. 已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足(b-c)2=a2-bc.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.
18. 已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2,前3項(xiàng)和S3=.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a15,求{bn}前n項(xiàng)和Tn.
19. 已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若把向右平移個(gè)單位得到函數(shù),求在區(qū)間上的最小值和最大值.
20. 在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點(diǎn)O,EC⊥底面ABCD,F(xiàn)為BE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE∥平面ACF;
(Ⅱ)求證:BD⊥AE;
(Ⅲ)若AB=CE=2,求三棱錐F-ABC的體積.
21.已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)若,求 的最大值;
(Ⅲ)設(shè),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線,求k.
22.已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(I)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(II)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.
1.【答案】C
解:∵集合A={1,2,3},
B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={0,1},
∴A∪B={0,1,2,3}.
2.【答案】A
解:∵復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,
∴z=3-2i,
∴=3+2i,
3.【答案】B
解:命題的否定是:?x∈(0,+∞),lnx≠x-1,
4.【答案】B
【解析】
解:函數(shù)f(x)=sin(2x+)的最小正周期為:=π.
故選:C.
5.【答案】D
解:∵向量=(1,m),=(3,-2),
∴+=(4,m-2),
又∵(+)⊥,
∴12-2(m-2)=0,
解得:m=8,
6.【答案】D
解:由題意可知,幾何體是半圓柱,底面半圓的半徑為1,圓柱的高為2,
所以該幾何體的體積為:V==π.
7.【答案】C
解:假設(shè)甲說的是真話,即丙被錄用,則乙說的是假話,丙說的是假話,不成立;
假設(shè)甲說的是假話,即丙沒有被錄用,則丙說的是真話,
若乙說的是真話,即甲被錄用,成立,故甲被錄用;
若乙被錄用,則甲和乙的說法都錯(cuò)誤,不成立.
8.【答案】D
解:由題意,
e===2,
解得,a=1.
9.【答案】C
解:當(dāng)n=1時(shí),a=,b=4,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,
當(dāng)n=2時(shí),a=,b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,
當(dāng)n=3時(shí),a=,b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,
當(dāng)n=4時(shí),a=,b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,
故輸出的n值為4,
10.【答案】A
解:令g(x)=x-lnx-1,則,
由g(x)>0,得x>1,即函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
由g(x)<0得0<x<1,即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0,
于是對任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(shù)(x)≥0,故排除B、D,
因函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增,故排除C,
故選:A.
11.【答案】A
解:圓x2+y2+2x-4y+1=0,即圓(x+1)2+(y-2)2 =4,
它表示以(-1,2)為圓心、半徑等于2的圓;
設(shè)弦心距為d,由題意可得22+d2=4,求得d=0,
可得直線經(jīng)過圓心,故有-2a-2b+2=0,
即a+b=1,再由a>0,b>0,可得
,
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號,∴+的最小值是9.
故選:A.
12.【答案】B
解:f(x)是函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),滿足,
可得,
令g(x)=x2f(x),則g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)=>0,
∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.
∴g(2)=4f(2)<g(e)=e2f(e)<g(3)=9f(3),
∴.
故選B.
13.【答案】2x-y-1=0
解:由直線的平行關(guān)系可設(shè)要求直線方程為2x-y+c=0,
由直線過點(diǎn)(1,1)可得21-1+c=0,解得c=-1,
∴所求直線方程為2x-y-1=0,
故答案為:2x-y-1=0.
14.【答案】9
解:拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,
∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,
∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10,
∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.
故答案為:9.
15.【答案】-5
解:由x,y滿足約束條件作出可行域如圖,
由圖可知,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A,
聯(lián)立,解得A(-1,1).
∴z=3x-2y的最小值為-31-21=-5.
故答案為:-5.
16. 【答案】
解:設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,則
∵△ABC的外接圓的面積為,
∴r=
∵O為球心,G為三角形ABC的中心,且OG=,
∴球的半徑為1,
∴球的體積為.
故答案為.
17.【答案】解:(1)∵(b-c)2=a2-bc,可得:b2+c2-a2=bc,
∴由余弦定理可得:cosA===,
又∵A∈(0,π),
∴A=,
(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得:c=2b,
∵a=3,A=,
∴由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2,
∴解得:b=,c=2,
∴S△ABC=bcsinA==.
18.【答案】解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由已知條件得:
,解得.
代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得:;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.
設(shè){bn}的公比為q,則,從而q=2,
故{bn}的前n項(xiàng)和.
19.【答案】解:(1)=1+2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+),
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,
得kπ-≤x≤kπ+,
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z;
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,
得kπ+≤x≤kπ+,
可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)若把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,
得到函數(shù)=的圖象,
∵x∈[-,0],
∴2x-∈[-,-],
?∴∈[-1,],
?∴∈[-2,1].
故g(x)在區(qū)間上的最小值為-2,最大值為1.
20.【答案】證明:(Ⅰ)連接OF.由ABCD是正方形可知,點(diǎn)O為BD中點(diǎn).
又F為BE的中點(diǎn),∴OF∥DE.
又OF?面ACF,DE?面ACF,
∴DE∥平面ACF
(II)由EC⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,
∴EC⊥BD,
由ABCD是正方形可知,AC⊥BD,
又AC∩EC=C,AC、E?平面ACE,
∴BD⊥平面ACE,
又AE?平面ACE,
∴BD⊥AE
解:(III)取BC中G,連結(jié)FG,
在四棱錐E-ABCD中,EC⊥底面ABCD,
∵FG是△BCE的中位線,∴FG⊥底面ABCD,
∵AB=,∴FG=,
∴三棱錐F-ABC的體積V==4=.
22.【答案】解:(I)當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx-4(x-1).
f(1)=0,即點(diǎn)為(1,0),
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=lnx+(x+1)?-4,
則f′(1)=ln1+2-4=2-4=-2,
即函數(shù)的切線斜率k=f′(1)=-2,
則曲線y=f(x)在(1,0)處的切線方程為y=-2(x-1)=-2x+2;
(II)∵f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),
∴f′(x)=1++lnx-a,
∴f″(x)=,
∵x>1,∴f″(x)>0,
∴f′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f′(x)>f′(1)=2-a.
①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)>f(1)=0,滿足題意;
②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函數(shù)f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合題意.
綜上所述,a≤2.
另解:若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,
可得(x+1)lnx-a(x-1)>0,
即為a<,
由y=的導(dǎo)數(shù)為y′=,
由y=x--2lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+-=>0,
函數(shù)y在x>1遞增,可得>0,
則函數(shù)y=在x>1遞增,
則==2,
可得>2恒成立,
即有a≤2.