數(shù)學 理一輪對點訓練：82 空間點、線、面的位置關(guān)系 Word版含解析

1．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值(　　)A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5答案　B解析　首先我們知道正三角形的三個頂點滿足兩兩距離相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個頂點也滿足兩兩距離相等，于是排除A，故選B.2．若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案　B解析　由“m⊥α且l⊥m”推出“l(fā)?α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l(fā)⊥m”，所以“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件，故選B.3.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正確的是(　　)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α答案　B解析　A選項m、n也可以相交或異面，C選項也可以n?α，D選項也可以n∥α或n與α斜交．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)A. B.C. D.答案　C解析　解法一：取BC的中點Q，連接QN，AQ，易知BM∥QN，則∠ANQ即為所求，設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，則AQ＝，AN＝，QN＝，∴cos∠ANQ＝＝＝＝，故選C.解法二：如圖，以點C1為坐標原點，C1B1，C1A1，C1C所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)BC＝CA＝CC1＝1，可知點A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，M.∴＝，＝.∴cos〈，〉＝＝.根據(jù)與的夾角及AN與BM所成角的關(guān)系可知，BM與AN所成角的余弦值為.5．如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．答案　解析　如下圖所示，連接ND，取ND的中點E，連接ME，CE，則ME∥AN， 則異面直線AN，CM所成的角即為∠EMC.由題可知CN＝1，AN＝2，∴ME＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，∴CE＝，則cos∠CME＝＝＝.6. 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為________．答案　解析　取BF的中點N，連接MN，EN，則EN∥AF，所以直線EN與EM所成的角就是異面直線EM與AF所成的角．在△EMN中，當點M與點P重合時，EM⊥AF，所以當點M逐漸趨近于點Q時，直線EN與EM的夾角越來越小，此時cosθ越來越大．故當點M與點Q重合時，cosθ取最大值．設(shè)正方形的邊長為4，連接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝＝＝－，所以cosθ的最大值為.7．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值．解　(1)證明：連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因為EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如圖，以G為坐標原點，分別以，的方向為x軸，y軸正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系G－xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，，0)，所以＝(1，，)，＝.故cos〈，〉＝＝－.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.8．如下圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.點E是CD邊的中點，點F，G分別在線段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)證明：PE⊥FG；(2)求二面角P－AD－C的正切值；(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值．解　(1)證明：由PD＝PC＝4知，△PDC是等腰三角形，而E是底邊CD的中點，故PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，故PE⊥平面ABCD，又FG?平面ABCD，故PE⊥FG.(2)∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PDC，而PD?平面PDC，故AD⊥PD，故∠PDC為二面角P－AD－C的平面角．在Rt△PDE中，PE＝＝，∴tan∠PDC＝＝，故二面角P－AD－C的正切值是.(3)連接AC.由AF＝2FB，CG＝2GB知，F(xiàn)，G分別是AB，BC且靠近點B的三等分點，從而FG∥AC，∴∠PAC為直線PA與直線FG所成的角．在Rt△ADP中，AP＝＝＝5.在Rt△ADC中，AC＝＝＝3.在△PAC中，由余弦定理知，cos∠PAC＝＝＝，故直線PA與直線FG所成角的余弦值是.。