高三數(shù)學(xué)第46練 基本不等式練習(xí)

第46練 基本不等式 訓(xùn)練目標(biāo) (1)熟練掌握基本不等式及應(yīng)用方法；(2)會用基本不等式解決最值問題；(3)能將基本不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等知識結(jié)合，解決綜合問題． 訓(xùn)練題型 (1)比較兩數(shù)(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代數(shù)式、函數(shù)式值域；(4)求參數(shù)范圍；(5)與其他知識交匯綜合應(yīng)用． 解題策略 (1)直接利用基本不等式(注意應(yīng)用條件)；(2)將已知條件變形，以“和”或“積”為定值為目標(biāo)，構(gòu)造基本不等式“模型”(注意積累變形技巧，總結(jié)變形突破點). 一、選擇題 1．(20xx青島模擬)設(shè)a，b∈R，已知命題p：a2＋b2≤2ab；命題q：2≤，則p是q成立的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．若正實數(shù)x，y滿足x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．(20xx泰安模擬)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋> C.＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 4．當(dāng)x>1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 5．若a>b>0，則a2＋的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an使得＝4a1，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D．不存在 7．若直線ax＋by－1＝0(a>0，b>0)過曲線y＝1＋sin πx(0<x<2)的對稱中心，則＋的最小值為(　　) A.＋1 B．4 C．3＋2 D．6 8．(20xx鄭州質(zhì)檢)已知a，b是兩個互相垂直的單位向量，且ac＝bc＝1，則對任意的正實數(shù)t，|c＋ta＋b|的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 二、填空題 9．已知x>0，y>0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________． 10．(20xx長春調(diào)研)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 11．函數(shù)y＝1－2x－(x<0)的最小值為________． 12．已知正實數(shù)x，y滿足等式x＋y＋8＝xy，若對任意滿足條件的x，y，不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.  答案精析 1．B　[當(dāng)p成立的時候，q一定成立，但當(dāng)q成立的時候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要條件．] 2．C　[因為xy≤，x>0，y>0，所以≥，≥， 所以x＋y＋≤5.設(shè)x＋y＝t，即t＋≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，所以x＋y的最大值是4.] 3．C　[因為ab>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)，所以選C.] 4．D　[設(shè)f(x)＝x＋，因為x>1，所以x－1>0，則f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)min＝3，因此要使不等式x＋≥a恒成立，則a≤3，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]，故選D.] 5．C　[原式＝[(a－b)＋b]2＋ ≥[2]2＋ ＝4(a－b)b＋ ≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號)．] 6．A　[∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5， 又∵{an}是正項等比數(shù)列， ∴a5≠0，且q>0，∴q2－q－2＝0， ∴q＝2或q＝－1(舍去)． 又＝4a1， ∴aman＝16a，aqm＋n－2＝16a， 又a≠0，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6， ＋＝(＋)(m＋n) ＝(5＋＋) ≥(5＋2 )＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即m＝2，n＝4時取等號．] 7．C　[畫出y＝1＋sin πx(0<x<2)的圖象(圖略)， 知此曲線的對稱中心為(1,1)， 則直線ax＋by－1＝0過點(1,1)， 所以a＋b＝1， 又a>0，b>0， 所以＋＝(＋)(a＋b) ＝1＋＋＋2≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 即(＋)min＝3＋2.故選C.] 8．B　[∵a，b是互相垂直的單位向量， 設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)． 由ac＝bc＝1，得x＝y(tǒng)＝1， 即c＝(1,1)， ∴c＋ta＋b＝(1,1)＋(t,0)＋(0，) ＝(1＋t,1＋)， ∴|c＋ta＋b| ＝2 ＝， ∵t>0，∴t＋≥2，t2＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時取等號， ∴|c＋ta＋b|≥＝2， 故|c＋ta＋b|的最小值為2.] 9．3＋2 解析　(＋)(x＋y)＝1＋2＋＋≥3＋2. 10．(－4,2) 解析　x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝4時等號成立． 由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2. 11．1＋2 解析　∵x<0， ∴y＝1－2x－ ＝1＋(－2x)＋(－) ≥1＋2 ＝1＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時取等號，故y的最小值為1＋2. 12．(－∞，] 解析　因為x＋y＋8＝xy≤()2， 即4(x＋y)＋32≤(x＋y)2， 解得x＋y≥8或x＋y≤－4(舍去)． 不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立可等價轉(zhuǎn)化為a≤恒成立，令x＋y＝t(t≥8)， 且f(t)＝＝t＋. 函數(shù)f(t)在[8，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(t)min＝f(8)＝8＋＝. 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，]．