第3篇 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用

第三篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜的圖象，則φ等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由題意g(x)＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)， 又g(x)＝sin(2x＋φ)，0＜φ＜， ∴φ＝.故選C. 答案：C 2．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象，此函數(shù)的解析式可為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：由題圖可知A＝2，＝－＝， ∴T＝π，ω＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)， 又f＝2，即2sin＝2， ∴φ＝＋2kπ(k∈Z)， 結(jié)合選項知選B. 答案：B 3．(2014武漢市模擬)將函數(shù)f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點(，0)，則ω的最小值是(　　) A. B．1 C. D．2 解析：函數(shù)f(x)＝sin ωx的圖象向右平移個單位長度得函數(shù)f(x)＝sin ω(x－)的圖象， 由題意得sin ω(－)＝0， ∴＝kπ(k∈Z)， ∴ω＝2k(k∈Z)， 又∵ω＞0， ∴ω的最小值為2，故選D. 答案：D 4．(2013年高考山東卷)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為(　　) A. B. C．0 D．－ 解析：由函數(shù)橫向平移規(guī)律“左加右減” 則y＝sin(2x＋φ)向左平移個單位得 y＝sin(2x＋＋φ). 由y＝sin(2x＋＋φ)為偶函數(shù)得＋φ＝＋kπ，k∈Z，則φ＝＋kπ，k∈Z， 則φ的一個可能值為. 故選B. 答案：B 5．(2014衡水中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω＞0，|φ|＜)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于(　　) A. B. C. D．1 解析：由題圖知，T＝2(＋)＝π， ∴ω＝2，又函數(shù)的圖象經(jīng)過(－，0)， ∴0＝sin(－＋φ)， ∵|φ|＜，∴φ＝， ∴f(x)＝sin(2x＋)， 在區(qū)間(－，)內(nèi)的對稱軸方程為x＝， 又f(x1)＝f(x2)， ∴x1＋x2＝2＝， ∴f(x1＋x2)＝sin＝. 故選C. 答案：C 6．(2013年高考福建卷)設(shè)f(x)＝g(x)＝則f(g(π))的值為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 解析：g(π)＝0，則f(0)＝0，所以f(g(π))＝0.故選B. 答案：B 二、填空題 7．如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間t(s)的關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋)，那么單擺來回擺動一次所需的時間為________s. 解析：單擺來回擺動一次所需的時間即為一個周期 T＝＝1. 答案：1 8．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的平均氣溫值為________℃. 解析：依題意知，a＝＝23，A＝＝5， ∴y＝23＋5cos， 當(dāng)x＝10時，y＝23＋5cos＝20.5. 答案：20.5 9.(2014四川省樂山第二次調(diào)研)如果存在正整數(shù)ω和實數(shù)φ，使得函數(shù)f(x)＝cos2(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，且圖象經(jīng)過點(1,0)，那么ω的值為________． 解析：f(x)＝cos2(ωx＋φ) ＝， 由圖象知<1<T，<T<2， ∴<<2， <ω<π<3， 又ω∈N*， ∴ω＝2. 答案：2 10．設(shè)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＜(－，))的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x＝對稱，則在下面四個結(jié)論中： ①圖象關(guān)于點(，0)對稱； ②圖象關(guān)于點(，0)對稱； ③在[0，]上是增函數(shù)； ④在[－，0]上是增函數(shù)． 正確結(jié)論的編號為________． 解析：∵T＝π，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)， ∵圖象關(guān)于直線x＝對稱，∴＋φ＝＋kπ，(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)， 又∵φ∈(－，)，∴φ＝. ∴y＝sin(2x＋). 當(dāng)x＝時，y＝sin(＋)＝，故①不正確． 當(dāng)x＝時，y＝0，故②正確； 當(dāng)x∈[0，]時，2x＋∈[，]， y＝sin(2x＋)不是增函數(shù)，即③不正確； 當(dāng)x∈[－，0]時，2x＋∈[0，]?[0，]，故④正確． 答案：②④ 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝sin＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)畫出函數(shù)y＝f(x)在上的圖象． 解：(1)振幅為，最小正周期T＝π，初相為－. (2)圖象如圖所示． 12．(2014皖南八校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sinxcos x－(cos2x－sin2x)，x∈R. (1)試說明函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x＋)(x∈R)，試寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)∵f(x)＝2sin xcos x－(cos2x－sin2x) ＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)， ∴f(x)＝2sin(2x－)(x∈R)， ∴函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象按如下方式變換得到： ①將函數(shù)y＝sin x的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y＝sin(x－)的圖象； ②將函數(shù)y＝sin(x－)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sin2x－的圖象； ③將函數(shù)y＝sin(2x－)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)f(x)＝2sin2x－(x∈R)的圖象． (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x－)(x∈R)， 則g(x)＝f(x＋)＝2sin 2x(x∈R)， 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，(k∈Z) 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 [kπ－，＋kπ](k∈Z)， 同理可得，單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．