萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修一：專題四 基本初等函數(shù) Word版含解析

一、題之源：課本基礎知識1.求二次函數(shù)的解析式利用已知條件求二次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，但須根據(jù)不同條件選取適當形式的f(x)，一般規(guī)律是：已知三個點的坐標時，宜用一般式；已知拋物線的頂點坐標、對稱軸、最大(小)值時，常用頂點式；若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式更方便2含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域二次函數(shù)在區(qū)間m，n上的最值或值域問題，通常有兩種類型：其一是定函數(shù)(解析式確定)，動區(qū)間(區(qū)間的端點含有參數(shù))；其二是動函數(shù)(解析式中含有參數(shù))，定區(qū)間(區(qū)間是確定的)無論哪種情況，解題的關鍵都是抓住“三點一軸”，“三點”即區(qū)間兩端點與區(qū)間中點，“一軸”即為拋物線的對稱軸對于動函數(shù)、動區(qū)間的類型同樣是抓住“三點一軸”，只不過討論要復雜一些而已3.分數(shù)指數(shù)冪 （，且）（1）.如；(2) . 如；（3）；（4）當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時，.4.有理指數(shù)冪的運算性質（）（1）； （2）； （3）5.指數(shù)函數(shù)（且），其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是Rxy01y圖象10x性質（1）定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)6.若，則 叫做以 為底的對數(shù)。記作：（，）其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做對數(shù)的真數(shù)。注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式：7.對數(shù)的性質（1）零和負數(shù)沒有對數(shù)，即中；（2）1的對數(shù)等于0，即 ；底數(shù)的對數(shù)等于1，即8.常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為：自然對數(shù)：以e(e=2.71828)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為：9.對數(shù)恒等式：10.對數(shù)的運算性質（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;(3) （注意公式的逆用）11.對數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論或； .12.對數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是圖像x1y01x0性質定義域：(0, )值域：R過定點（1，0）增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0<x<1時，y<0 x>1時，y>00<x<1時，y>0 x>1時，y<013.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；它們圖象關于直線對稱.14.冪函數(shù)（），其中是自變量。要求掌握這五種情況(如下圖)15.冪函數(shù)的性質及圖象變化規(guī)律：（）所有冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（）當時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)（）當時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)二、題之本：思想方法技巧1.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關于y軸對稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于x軸對稱.2.對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應滿足的條件是求解對數(shù)問題時必須予以特別重視的.3. 比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小4.比較幾個數(shù)的大小是對數(shù)函數(shù)性質應用的常見題型.在具體比較時，可以首先將它們與零比較，分出正負；正數(shù)通常都再與1比較分出大于1還是小于1，然后在各類中間兩兩相比較.5冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關系，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x2或x的交點縱坐標的大小反映一般地，在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠離x軸(不包括冪函數(shù)yx0)6冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在二、三象限內，則要看函數(shù)的定義域和奇偶性函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內，如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點7.判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)，一定要根據(jù)三種函數(shù)定義中的“標準”形式如f(x)2x2不是指數(shù)函數(shù)，而f(x)23x是指數(shù)函數(shù)，因為f(x)23x8x，此時a8，同樣f(x)2x1也不是指數(shù)函數(shù)，因為f(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a1)的形式8.若，則，。三、題之變：課本典例改編1. 原題（必修1第五十九頁習題2.1第8題）已知下列不等式，比較，的大?。?） (2)改編1 設，那么 （ ）A.aab B.a ba C.aab D.aba【答案】C.改編2 已知，則 （ ）A B. C. D.【答案】A.【解析】 由已知，因為在定義域內是單調遞增的，所以，故答案為A.改編3 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關于直線對稱，記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（） A B C D 【答案】D.【解析】 本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調性，結合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實數(shù)的取值范圍是，故答案為D.2. 原題（必修1第七十五頁習題2.2 B組第2題）若，且，求實數(shù)的取值范圍.改編1 若，則的取值范圍是 （ ）ABCD【答案】C.【解析】 當時，若，則，當時，若，則，此時無解！故選C.改編2 設，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C.3. 原題（必修1第七十五頁習題2.2 B組第4題）已知函數(shù)，且（1）求函數(shù)定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.改編1 已知是偶函數(shù)，定義域為.則 ， .【答案】，.【解析】 函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱.，.改編2 函數(shù)的圖象關于 （ ） A軸對稱 B軸對稱 C原點對稱 D直線對稱【答案】B.【解析】 函數(shù)定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關于軸對稱.故選B.改編3 若函數(shù)是奇函數(shù)，則 【答案】4.原題（必修1第八十二頁復習參考題A組第七題）已知，求證：（1），（2）.改編 給出下列三個等式：.下列選項中，不滿足其中任何一個等式的是（ ） ABCD【答案】B.【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的性質可知，滿足，滿足，滿足，而不滿足其中任何一個等式.故選B.5.原題（必修1第八十二頁復習參考題A組第八題）已知,求證:（2）.改編 定義在上的函數(shù)滿足對,都有成立,且當時，給出下列命題:；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)只有一個零點；,其中正確命題的個數(shù)是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C.6.原題（必修1第八十三頁復習參考題B組第一題）已知集合，則=（ ） A. B. C. D. 改編 在平面直角坐標系中，集合，且，設集合中的所有點的橫坐標之積為，則有（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】由圖知與圖象交于不同的兩點，設為，不妨設，則，在R上遞減，當時，;當時，故選B.7.原題（必修1第八十三頁復習參考題B組第三題）對于函數(shù)（a R）（1）探索函數(shù)f（x）的單調性；（2）是否存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)？改編1 對于函數(shù)f(x)=a+ (xR)，（1）用定義證明：f（x）在R上是單調減函數(shù)；（2）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0【解析】（1）：設，則f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是單調減函數(shù)（2）f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得f（x）在R上是單調減函數(shù)且是奇函數(shù)，f（2t+1）+f（t-5）0轉化為f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集為：t|t改編2 已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍8.原題（必修1第八十三頁復習參考題B組第四題）設，求證：（1）；（2）；（3）；改編1 設，給出如下結論：對任意，有；存在實數(shù)，使得；不存在實數(shù)，使得；對任意，有；其中所有正確結論的序號是【答案】.改編2 已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】.【解析】，得，即，解得，即得，參數(shù)分離得，因為（當且僅當，即時取等號，的解滿足），所以.改編3 已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足：，則 .【答案】