新編高中數學北師大版選修22教案：第1章 聚焦反證法

新編數學北師大版精品資料 聚焦反證法 反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問題的有力工具．對于一些用直接證明的方法難以證明的結論，常采用反證法．熟練掌握并運用反證法，對提高同學們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點進行歸納整理． 　　1．定義：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 　　2．反證法的基本思想是：否定結論就會導致矛盾．它可以用下面的程序來表示：“否定———推理———矛盾———肯定．” 　　“否定”———假設所要證明的結論不成立，而結論的反面成立． 　　“推理”———從已知條件和假設出發(fā)，應用一系列的論據進行推理． 　　“矛盾”———通過推導，推出與實際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設”矛盾、自相矛盾等． 　　“肯定”———由于推理過程正確．故矛盾是由假設所引起的，因此，假設是錯誤的，從而肯定結論是正確的． 　　3．應用反證法的原則：正難則反，即如果一個命題的結論難以用直接法證明時可考慮用反證法． 　　4．宜用反證法證明的題型：①易導出與已知矛盾的命題；②一些基本定理；③“否定性”命題；④“惟一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥“至少”、“至多”命題等． 　　5．注意事項：（１）應用反證法證明命題時，反設必須恰當．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個”的否定是“不存在”等． 　?。?）用反證法證明時最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評卷． 　　下面舉例說明“反證法”在證題中的應用． 　　例1　設的公比分別為． 　　假設是等比數列，則有只需證． 　　由于， 　　而． 　　從而有，而， 　　故有，即，這與已知相矛盾．因此假設不成立，故不是等比數列． 　　點評：當遇到結論為否定形式的命題時，常常采用反證法． 　　例2　求證：兩條平行線中一條與一個平面相交，那么另一條也與這個平面相交． 　　已知：平面，如圖1所示． 　　求證：直線和平面相交． 證明：假設和平面不相交，即或． 　　（1）若，因為， 　　所以，這與相矛盾． 　　（2）如果，因為，所以和確定一個平面，顯然平面與平面相交． 　　設，因為，所以． 　　又，從而且． 　　故，這與矛盾． 由（1），（2）可知，假設不成立．故直線與平面相交． 　　例3　求證：正弦函數沒有比小的正周期． 　　證明：假設是正弦函數的周期，且，則對任意實數都有成立． 　　令，得，即，從而對任意實數都有，這與矛盾． 所以正弦函數沒有比小的正周期． 　　例4　今有50位同學，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學左右兩側的兩位同學為一男一女？證明結論． 　　解：不存在這樣的座位安排． 　　證明：假設存在這樣的安排，則每一位同學必與一同性別的同學相鄰，若以Ｍ表示男同學，Ｗ表示女同學，則每一對相鄰而坐的男性（女性）同學的左右兩側必為兩對相鄰而坐的女性（或男性）同學，如圖2所示，因此男性或女性同學數應是偶數，這和男性或女性同學數各占25矛盾，所以這種安排方法不存在．