2020高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 歸納推理與類比推理異同點比較

北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 歸納推理與類比推理異同點比較 合情推理是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式．在解決問題的過程中，合情推理具有猜側和發(fā)表結論，探索和提供思路的作用．有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．在能力高考的要求下，推理方法就顯得更加重要．在復習中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應手．合情推理包括歸納推理和類比推理. 一.歸納推理和類比推理的聯(lián)系: 歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理．由這兩種推理得到的結論都不一定正確,其正確性有待進一步證明. 二.歸納推理和類比推理的區(qū)別: (一) 歸納推理 1.歸納推理定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． 說明：歸納推理的思維過程大致如下： 2.歸納推理的特點: （1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結論超越了前提所包容的范圍． (2)由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學證明的工具． (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題． 歸納推理是從個別事實中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法. 3.歸納推理的一般步驟： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質； ②從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題． 說明：歸納推理基于觀察和實驗，像“瑞雪兆豐年”等農(nóng)諺一樣，是人們根據(jù)長期的實踐經(jīng)驗進行歸納的結果．物理學中的波義耳—馬略特定律、化學中的門捷列夫元素周期表、天文學中開普勒行星運動定律等，也都是在實驗和觀察的基礎上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的． (二).類比推理（以下簡稱類比） 1.類比推理定義:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 2. 類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）． 3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示： 類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式．類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物, 同時,類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創(chuàng)造性. 人類在科學研究中建立的不少假說和教學中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的．因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具. 例1. 如圖，①，②，③，…是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數(shù)an= ． 【答案】 an=3n2-3n+1. 【解析】仔細觀察發(fā)現(xiàn):圖案①的花盆數(shù)為:1個, a1=1; 圖案②的花盆中間數(shù)為3,上下兩行都是2個, a2=2+3+2; 圖案③的花盆中間數(shù)為5,上面兩行由下到上分別遞減1個,而且關于中間行上下對稱, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n個圖形中的花盆中間數(shù)為2n-1,上面每行由下到上分別遞減1個,最上面有n個,而且關于中間行上下對稱,因此an=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1. 【評析】上例是利用歸納推理解決問題的.歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現(xiàn)是十分有用的．觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學研究的最基本的方法之一. 例2.如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面交點． 求證：為定值． 分析 考慮平面上的類似命題：“過△ABC（底）邊 AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證為定值”．這一命題利用相似三角形性質很容易推出其為定值1．另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1．于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1． 證明：如圖，設平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．得 =。 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得： =1?！?1。 【知識小結】類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數(shù)來類比,平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等．我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理． 通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．數(shù)學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論；證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．