同步優(yōu)化探究文數(shù)北師大版練習(xí)：第五章 第四節(jié)　數(shù)列求和 Word版含解析

課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．?dāng)?shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為(　　) A． 1＋2n　　　　　　　　　 B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 解析：由題意得an＝1＋2n－1， 所以Sn＝n＋＝n＋2n－1. 答案：C 2．(2018長(zhǎng)沙模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝35＝15. 答案：A 3．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若S10＝50，則數(shù)列{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為(　　) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋102＝120，故選C. 答案：C 4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)的圖像所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)，若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T10＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,0)，∴函數(shù)y＝loga(x－1)＋3的圖像過(guò)定點(diǎn)(2,3)，則a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選B. 答案：B 5.＋＋＋…＋的值為_(kāi)_________． 解析：設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，① 得Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得， Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－， ∴Sn＝＝2－. 答案：2－ 6．(2018山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列 {an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則S2 016＝________. 解析：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n　①，∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，anan－1＝2n－1　②，∵①②得＝2，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，∴S2 016＝＋＝321 008－3. 答案：321 008－3 7．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2， ∴a2k＋3＋a2k＋1＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3， ∴a1＝a5＝…＝a61. ∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(260－1)＝＝3061＝1 830. 答案：1 830 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求證：對(duì)任意的n∈N*，Tn＜. 解析：(1)當(dāng)n＞1時(shí)， a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，?、? a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2，?、? ①－②得nan＝(n－1)2n＋1－(n－2)2n＝n2n， 所以an＝2n，n＞1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2， 所以an＝2n，n∈N*. (2)證明：因?yàn)閍n＝2n，所以bn＝＝＝(－)． 因此Tn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－) ＝(1＋－－) ＝－(＋)＜， 所以，對(duì)任意的n∈N*，Tn＜. 9．(2018河南八市質(zhì)檢)已知遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中項(xiàng)為3a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為 q(q>0)， 由題意，得解得， 所以an＝2n. (2)因?yàn)閎n＝＝， 所以Tn＝＋＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 所以Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－， 故Tn＝－＝－. B組——能力提升練 1．(2018皖西七校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，則n＝(　　) A． 3 B．4 C．5 D．6 解析：由an＝＝1－得Sn＝n－＝n－，則Sn＝＝n－，將各選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證得n＝6. 答案：D 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＋2Sn－1＝n，則S2 017的值為(　　) A．2 017 B．2 016 C．1 009 D．1 007 解析：因?yàn)閍n＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，兩式相減得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故選C. 答案：C 3．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列{an}的前2 016項(xiàng)和S2 016＝(　　) A．22 017－2 B．22 017－1 C．22 017 D．22 017＋1 解析：由題意知an＋1－an＝2n，則an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3－a2＝22，a2－a1＝2，累加求和得an－a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝＝2n－2，n≥2，又a1＝2，所以an＝2n，則數(shù)列{ an}的前2 016項(xiàng)和S2 016＝＝22 017－2. 答案：A 4．設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3＝－，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：設(shè){an}的公差為d，因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1－，S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以2＝a1，整理得4a＋12a1＋5＝0，所以a1＝－或a1＝－.當(dāng)a1＝－時(shí)，公差d＝0不符合題意，舍去；當(dāng)a1＝－時(shí)，公差d＝＝－1，所以an＝－＋(n－1)(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以＝－＝－，所以其前n項(xiàng)和Tn＝－＝－＝－，故選C. 答案：C 5．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝＋，且a1＝，則該數(shù)列的前2 016項(xiàng)的和等于 __________． 解析：因?yàn)閍1＝，又an＋1＝＋，所以a 2＝1，從而a3＝，a4＝1，即得an＝故數(shù)列的前2 016項(xiàng)的和等于S2 016＝1 008＝1 512. 答案：1 512 6．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancos ，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則S120＝________. 解析：由nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)得＝＋1，所以數(shù)列{}是以1為公差的等差數(shù)列，且＝1，所以＝n，即an＝n2，所以bn＝n2cos ，所以 S120＝－12－22＋32－42－52＋62－…＋1202 ＝－(12＋22－232＋42＋52－262＋…－21202) ＝－ [(12＋22＋32＋…＋1202)－3(32＋62＋92＋…＋1202)] ＝39(12＋22＋…＋402)－(12＋22＋32＋…＋1202) ＝39－＝7 280. 答案：7 280 7．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. ∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， ∴ ∴d＝2，q＝2. ∴an＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)， ∴cn＝ ∴T2n＝(1－＋－＋…＋－)＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋. 8．已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)＋＋＋…＋＝n2＋n?、?， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1?、?， ①－②得，＝2n(n≥2)，∴an＝n2n＋1(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＋1，a1＝4也適合，∴an＝n2n＋1. (2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n，∴Sn＝1(－2)1＋2(－2)2＋3(－2)3＋…＋n(－2)n?、?， －2Sn＝1(－2)2＋2(－2)3＋3(－2)4＋…＋(n－1)(－2)n＋n(－2)n＋1　④， ③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1， ∴Sn＝－.