高考真題理科數(shù)學 解析分類匯編10圓錐曲線

20xx年高考真題理科數(shù)學解析分類匯編10 圓錐曲線一、選擇題1.【20xx高考浙江理8】如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：（a,b0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是A. B。 C. D. 【答案】B【解析】由題意知直線的方程為：，聯(lián)立方程組得點Q，聯(lián)立方程組得點P，所以PQ的中點坐標為，所以PQ的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。故選B2.【20xx高考新課標理8】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【答案】C【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，拋物線的準線為，由,則,把坐標代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實軸長，選C.3.【20xx高考新課標理4】設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C【解析】因為是底角為的等腰三角形，則有,，因為，所以,，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選C.4.【20xx高考四川理8】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B【解析】設(shè)拋物線方程為，則點焦點，點到該拋物線焦點的距離為， ， 解得，所以.點評本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，d為點M到準線的距離).5.【20xx高考山東理10】已知橢圓的離心學率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因為橢圓的離心率為，所以，所以，即，雙曲線的漸近線為，代入橢圓得，即，所以，則第一象限的交點坐標為，所以四邊形的面積為，所以，所以橢圓方程為，選D.6.【20xx高考湖南理5】已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C ：-=1的半焦距為，則.又C 的漸近線為，點P （2,1）在C 的漸近線上，即.又，C的方程為-=1.【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運算能力，是近年來?？碱}型.7.【20xx高考福建理8】已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A. B. C.3 D.5【答案】考點：雙曲線的定義。難度：中。分析：本題考查的知識點為雙曲線的定義，焦點，漸近線，拋物線的定義?！窘馕觥坑蓲佄锞€方程易知其焦點坐標為，又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，所以，從而可得漸進線方程為，即，所以，故選8.【20xx高考安徽理9】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是原點，若，則的面積為（ ） 【答案】C【命題立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運算?！窘馕觥吭O(shè)及；則點到準線的距離為，得： 又，的面積為。9.【20xx高考全國卷理3】 橢圓的中心在原點，焦距為4 一條準線為x=-4 ，則該橢圓的方程為A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運用。通過準線方程確定焦點位置，然后借助于焦距和準線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程?！窘馕觥繖E圓的焦距為4，所以因為準線為，所以橢圓的焦點在軸上，且，所以，所以橢圓的方程為，選C.10.【20xx高考全國卷理8】已知F1、F2為雙曲線C：x-y=2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|=|2PF2|，則cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥侩p曲線的方程為，所以，因為|PF1|=|2PF2|，所以點P在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理得,選C.11.【20xx高考北京理12】在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60.則OAF的面積為 【答案】【解析】由可求得焦點坐標F(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此二、填空題12.【20xx高考湖北理14】如圖，雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為. 則（）雙曲線的離心率 ；（）菱形的面積與矩形的面積的比值 .【答案】考點分析：本題考察雙曲線中離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義，以及一般平面幾何圖形的面積計算. 【解析】（）由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點到直線的距離為，又由于虛軸兩端點為，因此的長為，那么在中，由三角形的面積公式知，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出（）設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故；菱形的面積，再根據(jù)第一問中求得的值可以解出.13.【20xx高考四川理15】橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當?shù)闹荛L最大時，的面積是_。【答案】3【命題立意】本題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、，考查推理論證能力、基本運算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.【解析】當直線過右焦點時的周長最大，；將帶入解得；所以.14.【20xx高考陜西理13】右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.【答案】.【解析】設(shè)水面與橋的一個交點為A，如圖建立直角坐標系則，A的坐標為（2，-2）.設(shè)拋物線方程為，帶入點A得，設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點坐標為，則，所以水面寬度為.15.【20xx高考重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= . 【答案】【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設(shè)A,B的坐標分別為的，則，設(shè)，則，所以有，解得或，所以.16.【20xx高考遼寧理15】已知P，Q為拋物線上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為_?！敬鸢浮?【解析】因為點P，Q的橫坐標分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標分別為8,2.由所以過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱坐標為4【點評】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法，屬于中檔題。曲線在切點處的導數(shù)即為切線的斜率，從而把點的坐標與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)鍵。17.【20xx高考江西理13】橢圓 的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若，成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.【答案】【命題立意】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)和運算以及橢圓的離心率。【解析】橢圓的頂點,焦點坐標為，所以，,又因為，成等比數(shù)列，所以有，即，所以，離心率為.18.【20xx高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2。【考點】雙曲線的性質(zhì)。【解析】由得。 ，即，解得。三、解答題19.【20xx高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點在橢圓上，得，。由點在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點在橢圓上知，。 同理。 由得， 。 是定值。20.【20xx高考浙江理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力?！窘馕觥?)由題：； (1)左焦點(c，0)到點P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線OP的方程：yx，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設(shè)直線AB的方程為l：y(m0)，代入橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當|m2|，即m3 或m0(舍去)時，(SABP)max此時直線l的方程y21.【20xx高考遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 ()求直線與直線交點M的軌跡方程; ()設(shè)動圓與相交于四點，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！久}意圖】本題主要考查圓的方程、橢圓方程、軌跡求法、解析幾何中的定值問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力，是難題.【解析】設(shè)，又知，則直線的方程為 直線的方程為 由得 由點在橢圓上，故可得，從而有，代入得 6分（2）證明：設(shè)，由矩形與矩形的面積相等，得，因為點均在橢圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值12分【點評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強，運算量較大。在求解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【20xx高考湖北理】（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因為點在單位圓上運動，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因為，所以當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，；當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，. （）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達定理可得，即.因為點H在直線QN上，所以.于是，. 而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點共線，所以，即. 于是由式可得.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. 23.【20xx高考北京理19】（本小題共14分）已知曲線.（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）設(shè)，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點，直線與直線交于點，求證：，三點共線.解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點共線得證。24.【20xx高考廣東理20】（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請說明理由【答案】本題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，意在考查學生的綜合分析問題與運算求解的能力。【解析】（1）設(shè) 由，所以設(shè)是橢圓上任意一點，則，所以 當時，當時，有最大值，可得，所以 當時， 不合題意故橢圓的方程為： （2）中， 當且僅當時，有最大值， 時，點到直線的距離為 又，此時點。25.【20xx高考重慶理20】（本小題滿分12分（）小問5分（）小問7分） 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段 的中點分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標準方程；（）過 做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程【命題立意】本題考查橢圓的標準方程，平面向量數(shù)量積的基本運算，直線的一般式方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題.解：設(shè)所求橢圓的標準方程為，右焦點為。 因是直角三角形，又,故為直角，因此,得。結(jié)合得，故，所以離心率。 在中，故由題設(shè)條件，得，從而。因此所求橢圓的標準方程為：（2）由（1）知，由題意知直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得， 設(shè)，則是上面方程的兩根，因此,又，所以 由,得,即，解得，所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：和。26.【20xx高考四川理21】(本小題滿分12分) 如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設(shè)動點的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。【答案】本題主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想 解析（1）設(shè)M的坐標為（x,y），顯然有x>0,.當MBA=90時，點M的坐標為（2，, 3）當MBA90時；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化簡得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過（2，,3）綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）5分(II)由方程消去y，可得。（*）由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內(nèi)，設(shè)所以解得，m>1,且m2設(shè)Q、R的坐標分別為，由有所以由m>1，且m2，有所以的取值范圍是. 12分點評本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識，考察思維能力、運算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴謹性。27.【20xx高考新課標理20】（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值.【答案】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設(shè)，則 點關(guān)于點對稱得： 得：，直線 切點 直線坐標原點到距離的比值為.28.【20xx高考福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.（）求橢圓E的方程.（）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.解答：（）設(shè) 則 的周長為 橢圓的方程為（）由對稱性可知設(shè)與 直線 （*） （*）對恒成立， 得29.【20xx高考上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值.解（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：. 過點A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組，得. 2分 所以所求三角形的面積1為. 4分 （2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切， 故，即. 6分 由，得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.（lb ylfx） 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）當直線ON垂直于x軸時， |ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時， 設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為. 由，得，所以.同理. 13分 設(shè)O到直線MN的距離為d，因為， 所以，即d=. 綜上，O到直線MN的距離是定值. 16分【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標準方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 30.【20xx高考陜西理19】本小題滿分12分）已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)O為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。 【解析】（）由已知可設(shè)橢圓的方程為，其離心率為，故，則，故橢圓的方程為（）解法一 兩點的坐標分別為，由及（）知，三點共線且點不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為.將代入中，得，所以，將代入中，得，所以，又由，得，即，解得 ，故直線的方程為或解法二 兩點的坐標分別為，由及（）知，三點共線且點不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為.將代入中，得，所以，又由，得，將代入中，得，即，解得 ，故直線的方程為或31.【20xx高考山東理21】（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為.（）求拋物線的方程；（）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值.解：（）依題線段為圓的弦，由垂徑定理知圓心的縱坐標，又到拋物線準線的距離為，所以. 所以為所求.（）假設(shè)存在點，又，設(shè)，.變形為因為直線為拋物線的切線，故，解得，即，.又取中點，由垂徑定理知，所以，所以存在，.（）依題，圓心，圓的半徑， 圓心到直線的距離為，所以，.又聯(lián)立，設(shè)，則有，. 所以，.于是， 記，所以在，上單增，所以當，取得最小值，所以當時，取得最小值.32.【20xx高考江西理20】 （本題滿分13分）已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足.（1） 求曲線C的方程；（2） 動點Q（x0，y0）（-2x02）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。解：（1）依題意可得，由已知得，化簡得曲線C的方程： （2）假設(shè)存在點P（0，t）（t<0）滿足條件，則直線PA的方程是，直線PB的方程是，曲線C在點Q處的切線l的方程為它與y軸的交點為，由于，因此當時， ，存在，使得，即l與直線PA平行，故當時不符合題意當時，所以l 與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標分別是則，又，有，又于是對任意，要使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)，只需t滿足，解得t=-1，此時QAB與PDE的面積之比為2，故存在t=-1，使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2?！军c評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，定點，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標準方程，準線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，中點坐標公式，定點，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大，因為它們都是考綱要求理解的內(nèi)容.33.【20xx高考天津理19】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點.（）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足【答案】（1）取，；則（2）設(shè)；則線段的中點