高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點(diǎn)總動員新課標(biāo)版 專題16 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析
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高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點(diǎn)總動員新課標(biāo)版 專題16 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析
【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【2013新課標(biāo)全國】設(shè)當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)sinx2cosx取得最大值,則cos=_【答案】;【解析】.2.【2013新課標(biāo)全國】函數(shù)在的圖像大致為( )【答案】C;3.【2014全國1高考理】如圖,圖O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù),則的圖像大致為( ) A B C D【答案】C4.【2014高考全國1卷文】在函數(shù), ,,中,最小正周期為的所有函數(shù)為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】中函數(shù)是一個偶函數(shù),其周期與相同,;中函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半,即; ; ,則選A5.【2015全國1理問】函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為( ).A,B,C,D,【答案】D【熱點(diǎn)深度剖析】 從近幾年的高考試題來看,三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值,三角函數(shù)圖像變換等是高考的熱點(diǎn),每年文理均涉及到一道三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的題目,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度屬于中、低檔;常與三角恒等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時,又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法 2013年文理試題一樣考查了三角最值問題,文科又與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,考查三角函數(shù)的奇偶性,2014年理科高考考查了三角函數(shù)的圖像,文科考查了三角函數(shù)的周期性,難度中等.2015年全國卷1文理試題相同,考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).都從近幾年的高考試題來看,三角函數(shù)的周期性,單調(diào)性,對稱性,最值,圖像變換等是高考的熱點(diǎn),常與三角恒等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時,又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法其特點(diǎn)如下:(1)考小題,重基礎(chǔ):小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識:解析式;圖象與圖象變換;兩域(定義域、值域);四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)(2)考大題,難度明顯降低:有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題,通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少,而著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能與方法的題目卻在增加在復(fù)習(xí)時要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.預(yù)測2016年高考很有可能出一道三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯題,重點(diǎn)考查運(yùn)算與恒等變換能力,文理科都也可能出一個大題【重點(diǎn)知識整合】1三角函數(shù)的定義域:(1) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R;(2) 正切函數(shù)定義域.2三角函數(shù)的值域:(1)正弦、余弦函數(shù)值域都是.對,當(dāng)時,取最大值1;當(dāng)時,取最小值1;對,當(dāng)時,取最大值1,當(dāng) 時,取最小值1.(2)正切函數(shù)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值.3.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(3) 在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).注意在整個定義域上不具有單調(diào)性.4.型單調(diào)區(qū)間的確定(A、0)的單調(diào)性,把看作一個整體,放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)解出,為上增函數(shù);放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間內(nèi)解出為上減函數(shù)()對與的單調(diào)區(qū)間的求解和上述類似.5.三角函數(shù)的周期性(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期都是2;正切函數(shù)的最小正周期是,它與直線的兩個相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個周期.(2)函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個周期;函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對稱中心,相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個周期;函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的與x軸的交點(diǎn)間的距離為其函數(shù)的個周期.6型周期和的最小正周期都是;最小正周期.7.三角函數(shù)的對稱性(1)正弦函數(shù)是奇函數(shù),對稱中心是,對稱軸是直線;(2)余弦函數(shù)是偶函數(shù),對稱中心是,對稱軸是直線.注意:正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線,對稱中心為圖象與軸的交點(diǎn).(3)正切函數(shù)是奇函數(shù),對稱中心是.注意:正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點(diǎn),另一類是漸近線與軸的交點(diǎn),但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處.8.三角函數(shù)的最值求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界性,一般通過三角變換化為下列基本類型處理:(1),設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之;(2),引入輔助角,化為求解方法同類型(1);(3),設(shè),化為二次函數(shù)在上的最值求之;(4),設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之;(5),設(shè)化為用法求值;當(dāng)時,還可用平均值定理求最值;(6)根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,可轉(zhuǎn)換為解決;(7)的最值,可轉(zhuǎn)化為討論點(diǎn)與動點(diǎn)連線的斜率,而動點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動,利用幾何方法易得所求三角函數(shù)的最值.9.函數(shù)圖像的變換(平移變換和上下變換)平移變換:左加右減,上加下減把函數(shù)向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向右平移個單位,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向上平移個單位,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向下平移個單位,得到函數(shù)的圖像.伸縮變換:把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長到原來的,得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來的,得到函數(shù)的圖像.10.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑,只有區(qū)別開這兩個途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時,提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形,請切記每一個變換總是對字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少.途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?),便得的圖象途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換:先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?),再沿軸向左()或向右()平移個單位,便得的圖象.注意:函數(shù)的圖象,可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時)或向右(當(dāng)時)平行移動個單位長度而得到.【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1如何判斷函數(shù)的奇偶性根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性,利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性,常見的結(jié)論如下:(1)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有;(2)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有;(3)若為奇函數(shù)則有.2.如何確定函數(shù)當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,要特別注意的正負(fù),若為負(fù)值,需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號提出來,轉(zhuǎn)化為的形式,然后求其單調(diào)遞增區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi);若求其遞減區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).3.求三角函數(shù)的周期的方法(1)定義法:使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路,非常適合選擇題;(2)公式法:和的最小正周期都是,的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混;(3)圖象法:可以畫出函數(shù)的圖象,利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定,一般適應(yīng)于不易直接判斷,但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù);(4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響:一般說來,某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值,其周期性不變,其它不定. 如的周期都是, 但的周期為,而,的周期不變.4.掌握三種類型,順利求解三角最值三角函數(shù)的最值既是高考中的一個重點(diǎn),也是一個難點(diǎn),其類型豐富,解決的方法比較多.但是歸納起來常見的有下面三種類型:(1)可化為型函數(shù)值域:利用三角公式對原函數(shù)進(jìn)行化簡、整理,最終得到的形式,然后借助題目中給定的的范圍,確定的范圍,最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如:、等. (2)可化為型求函數(shù)的值域:首先借助三角公式,把函數(shù)化成型,然后采用換元法,即令,構(gòu)造關(guān)于的函數(shù),然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu),采取相應(yīng)的方法求解.如:、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域;,可轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域:此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu),有時也可以把函數(shù)圖象畫出來,直接觀察確定函數(shù)的值域.如,常轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解.【考場經(jīng)驗(yàn)分享】1閉區(qū)間上最值或值域問題,首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性,含參數(shù)的最值問題,要討論參數(shù)對最值的影響2三角函數(shù)的性質(zhì)問題,往往都要先化成f(x)Asin(x)的形式再求解要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的單調(diào)性,最值與周期3.(1)在求三角函數(shù)的最值時,要注意自變量x的范圍對最值的影響,往往結(jié)合圖象求解(2)求函數(shù)f(x)Asin(x)的單調(diào)區(qū)間時,只有當(dāng)0時,才可整體代入并求其解,當(dāng)0時,需把的符號化為正值后求解【名題精選練兵篇】1【2016屆湖北省龍泉中學(xué)等校高三9月聯(lián)考】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則函數(shù)在的最小值為( )A B C D【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所的函數(shù)解析式為,此函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱,即,將解析式代入其中,利用三角恒等變換可求得,則在的最小值為,所以本題的正確選項(xiàng)為C.2【2016屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像沿軸( )A向左平移個單位 B向左平移個單位 C向右平移個單位 D向右平移個單位【答案】A3【2016屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?,則的值不可能是( )A. B. C. D.2【答案】D【解析】當(dāng)時,所以可令,又函數(shù)的最小值為,所以,所以,所以選項(xiàng)D不可能,故選D.4【2016屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù),的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照圖象從左到右的順序,對應(yīng)的函數(shù)序號正確的一組是( ) 【答案】A【解析】函數(shù)是偶函數(shù),所以對應(yīng)圖象應(yīng)為第一個圖象;函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值有正有負(fù),對應(yīng)圖象為第3個函數(shù)圖象;函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)在區(qū)間函數(shù)值,所以對應(yīng)圖象為第4個圖象;當(dāng)時,當(dāng)時,所以函數(shù)的圖象為第2個,故選A. 5【2016屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知函數(shù),如果存在實(shí)數(shù),使得對任意的實(shí)數(shù),都有成立,則的最小值為( )A B C D【答案】C【解析】因?yàn)?,設(shè)的最小正周期為,則,所以的最小值為,故選C.6【2016屆四川省成都市七中高三考試】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì),下列敘述不正確的是( )A的最小正周期為B是偶函數(shù)C的圖象關(guān)于直線對稱D在每一個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】A7【2016屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚒咳艉瘮?shù),函數(shù),則的最小值為( )A B C D【答案】B【解析】設(shè),則的幾何意義是兩曲線動點(diǎn)之間的距離的平方,取函數(shù)的導(dǎo)數(shù),直線的斜率為,由,即,解得,此時,即函數(shù)在處的切線與平行,則最短距離為,所以的最小值為,故選B.8【2016屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬考試】已知函數(shù)的最小正周期為,且,則的一個對稱中心是( )A B C D【答案】A9【2016屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知的部分圖象如圖所示,則=( )A B C D【答案】C【解析】由題意得,根據(jù)給定的圖象,可知,又,即,令,則,又,所以令,所以,故選C.10【2016屆福建省廈門一中高三下學(xué)期測試】已知函數(shù)的部分圖象,如圖所示,將函數(shù)的圖象向左平移個單位后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,則的值可能是( )A B C D【答案】D由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,可得則當(dāng)時,選D11. 【江西省九江市2015年第一次高考模擬】已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象,則的值為( )A. B. C. D.【答案】C.【解析】由題意得,又,即,故選C.12. 【湖北省黃岡市2015屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則的取值不可能是( )ABCD【答案】C13. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2015屆高三調(diào)研】設(shè)函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 【答案】【解析】因?yàn)?,所以由,由,因?yàn)?,所以,由,即函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為14. 【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】設(shè)常數(shù)使方程 在閉區(qū)間上恰有三個解,則 【答案】;【解析】,直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn),在上,當(dāng)時,直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點(diǎn),令或,即或,此時,15已知函數(shù)下列結(jié)論錯誤的是()A函數(shù)的最小正周期為B函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】C16. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體2015屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考】設(shè)函數(shù),且其圖像關(guān)于軸對稱,則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ) 【答案】C【名師原創(chuàng)測試篇】1. 若函數(shù)的最小正周期為,若對任意,都有,則的值為 A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知,此時,因最小正周期為,故,又對任意,都有,所以應(yīng)為的最值,即,所以2.已知函數(shù)的最小正周期是,若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖像 ( ) A.關(guān)于點(diǎn)對稱 B.關(guān)于直線對稱 C.關(guān)于點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線對稱【答案】C【解析】根據(jù)最小正周期為,知:,將圖像向右平移個單位得到為奇函數(shù),所以,解得:,因?yàn)?,只有?dāng)時,符合題意,所以,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知,所以C正確. 3.已知函數(shù)(其中),其部分圖像如下圖所示,將的圖像縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變成原來的2倍,再向右平移1個單位得到的圖像,則函數(shù)的解析式為() A. B. C. D.【答案】B4.函數(shù)的值域?yàn)椋?)A B C D【答案】D【解析】,為周期函數(shù),其中一個周期為,故只需考慮在上的值域即可,當(dāng)時,其中,當(dāng)時,的值域?yàn)?5. 已知函數(shù)ysinx(0)在區(qū)間上為增函數(shù),且圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱,則的取值集合為【答案】 【解析】由題意知,即,其中,則的取值集合為6. 設(shè)偶函數(shù)的部分圖象如圖所示, ,則的值為( )A B C D【答案】D6.已知函數(shù),求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)( )A2 B. 3 C 4 D.5【解析】C