2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

1.1.1　正弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等． 即：＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓的半徑) 知識(shí)點(diǎn)二　正弦定理的變形公式 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圓的半徑)． 知識(shí)點(diǎn)三　解三角形 一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形． 1．正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(　√　) 2．在△ABC中，等式bsinC＝csinB總能成立．(　√　) 3．在△ABC中，已知a，b，A，則能求出唯一的角B.(　　) 4．任意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素．(　　)  題型一　已知兩角及一邊解三角形 例1　在△ABC中，已知A＝30，B＝60，a＝10，解三角形． 解　根據(jù)正弦定理，得b＝＝＝10. 又C＝180－(30＋60)＝90. ∴c＝＝＝20. 反思感悟　(1)正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：＝，＝，＝，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè)． (2)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角． 跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝45，C＝60，c＝1，則△ABC最短邊的邊長(zhǎng)等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由三角形內(nèi)角和定理，得A＝180－(B＋C)＝75，所以B是最小角，b為最短邊．由正弦定理，得＝，即＝，則b＝，故選A. 題型二　已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45，a＝2，解三角形． 解　∵＝，∴sinC＝＝＝， ∵c>a，C∈(0，180)，∴C＝60或C＝120. 當(dāng)C＝60時(shí)，B＝75，b＝＝＝＋1； 當(dāng)C＝120時(shí)，B＝15，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75，C＝60或b＝－1，B＝15，C＝120. 引申探究 若把本例中的條件“A＝45”改為“C＝45”，則角A有幾個(gè)值？ 解　∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A為小于45的銳角，且正弦值為，這樣的角A只有一個(gè)． 反思感悟　這一類型題目的解題步驟為 ①用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值； ②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角； ③根據(jù)正弦定理求出第三條邊． 其中進(jìn)行①時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值． 跟蹤訓(xùn)練2　在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30，則C＝. 答案　105或15 解析　由正弦定理＝， 得sinB＝＝＝. ∵B∈(0，180)，∴B＝45或135， ∴C＝180－45－30＝105或C＝180－135－30＝15. 題型三　正弦定理的證明 例3　△ABC的外接圓O的半徑為R，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，證明：＝＝＝2R. 證明?、偃簟螦為直角(如圖1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA； ②在銳角△ABC中，如圖2，連接BO并延長(zhǎng)，交外接圓于點(diǎn)A′，連接A′C， 則圓周角A′＝A. ∵A′B為直徑，長(zhǎng)度為2R，∴∠A′CB＝90， ∴sinA′＝＝， ∴sinA＝，a＝2RsinA. ③若∠A為鈍角(如圖3所示)，作直徑BA′，連接A′C，則∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中， BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA， 即a＝2RsinA. 由①②③得a＝2RsinA，即2R＝， 同理可證，2R＝，2R＝. 所以＝＝＝2R. 反思感悟　引入三角形的外接圓半徑，可以加深理解正弦定理的幾何意義，更加方便實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化． 三角形形狀的判斷 典例　在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C. 求證：△ABC為等腰直角三角形． 證明　∵＝， ∴＝， 又∵＝， ∴＝， ∴a2＝b2即a＝b， 設(shè)＝＝＝k(k≠0)， 則sin A＝，sin B＝，sin C＝， 又∵sin2A＋sin2B＝sin2C， ∴＋＝，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC為等腰直角三角形． [素養(yǎng)評(píng)析]　(1)正弦定理是以比例的形式給出來(lái)的，所以在應(yīng)用時(shí)要注意結(jié)合比例的基本性質(zhì)． (2)正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化． (3)判斷和證明要掌握推理的基本形式和規(guī)則，形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)，突出體現(xiàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　) A．a(chǎn)sinA＝bsinB B．a(chǎn)cosA＝bcosB C．a(chǎn)sinB＝bsinA D．a(chǎn)cosB＝bcosA 答案　C 解析　由正弦定理＝，得asinB＝bsinA，故選C. 2．在△ABC中，若sinA＝sinC，則△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 答案　B 解析　由sinA＝sinC及正弦定理，知a＝c， ∴△ABC為等腰三角形． 3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60，C＝75，則b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D．4 答案　C 解析　易知A＝45，由＝得 b＝＝＝4. 4．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，則A＝. 答案　或 解析　由正弦定理，得sinA＝＝＝， 又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或. 5．在△ABC中，已知a＝，sinC＝2sinA，則c＝. 答案　2 解析　由正弦定理，得c＝＝2a＝2. 1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R， 或a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(其中R為△ABC外接圓的半徑)． 2.正弦定理的應(yīng)用范圍 (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角． (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其余兩角． 3.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值． (2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角． (3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論. 一、選擇題 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA∶sinB的值是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　根據(jù)正弦定理，得＝＝. 2．在△ABC中，若A＝105，B＝45，b＝2，則c等于(　　) A．1B．2C.D. 答案　B 解析　∵A＝105，B＝45，∴C＝30. 由正弦定理，得c＝＝＝2. 3．在△ABC中，a＝bsinA，則△ABC一定是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　由題意可知＝b＝，則sinB＝1， 又B∈(0，π)，故B為直角，△ABC是直角三角形． 4．在△ABC中，若＝，則C的值為(　　) A．30B．45C．60D．90 答案　B 解析　由正弦定理知＝， ∴＝，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1， 又∵C∈(0，180)，∴C＝45. 5．在△ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A>B B．A<B C．A≥B D．A，B的大小關(guān)系不確定 答案　A 解析　設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， ∵sinA>sinB， ∴2RsinA>2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)， 即a>b，故A>B. 6．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，則c的值為(　　) A．1B．2C.－1D. 答案　B 解析　由正弦定理＝， 可得＝，∴sinB＝， 由a>b，得A>B，∴B∈，∴B＝. 故C＝，由勾股定理得c＝2. 7．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，則cosB等于(　　) A．－B.C．－D. 答案　D 解析　由正弦定理，得＝， ∴sinB＝＝＝. ∵a>b，∴A>B，又∵A＝60，∴B為銳角． ∴cosB＝＝＝. 8．(2018北京高二檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于(　　) A. B.－ C. D. 答案　A 解析　因?yàn)樵凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，所以cos B＝，又B為三角形內(nèi)角，所以sin B＝＝. 所以sinC＝sin2B＝2＝. 又cosB＞cos45，所以B<45，C＝2B<90， cosC＝＝. 二、填空題 9．在△ABC中，已知a＝2，A＝60，則△ABC的外接圓的直徑為． 答案　 解析　△ABC外接圓直徑2R＝＝＝. 10．在△ABC中，若－＝0，則△ABC的形狀一定是三角形． 答案　等腰 解析　由正弦定理，＝， 得－＝－＝0， ∴a2＝b2，a＝b. ∴△ABC為等腰三角形． 11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足B＝60，c＝2的三角形有兩解，則b的取值范圍為． 答案　(，2) 解析　在△ABC中，B＝60，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有兩解，則必須滿足的條件為c>b>csinB，即2>b>，故答案為(，2)． 三、解答題 12．已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝10，A＝45，C＝30，求a，b和B. 解　∵＝， ∴a＝＝＝10. B＝180－(A＋C)＝180－(45＋30)＝105. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75 ＝20＝5(＋)． 13．在△ABC中，acos＝bcos，試判斷△ABC的形狀． 解　方法一　∵acos＝bcos， ∴asinA＝bsinB. 由正弦定理，可得a＝b， ∴a2＝b2，∴a＝b， ∴△ABC為等腰三角形． 方法二　∵acos＝bcos， ∴asinA＝bsinB. 由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B， 又∵A，B∈(0，π)， ∴sinA＝sinB， ∴A＝B(A＋B＝π不合題意，舍去)． 故△ABC為等腰三角形． 14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，則b＝. 答案　 解析　在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，又a＝1，由正弦定理得b＝＝. 15．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，則sinA＝，a＝. 答案　　2 解析　由tanA＝2，得sinA＝2cosA， 由sin2A＋cos2A＝1及0<A<π，得sinA＝， ∵b＝5，B＝，由正弦定理＝， 得a＝＝＝2.