江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣4 數(shù)列、不等式學(xué)案.doc

4.數(shù)列、不等式 1．等差數(shù)列及其性質(zhì) (1)等差數(shù)列的判定：an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2)． (2)等差數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. ②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列． ③當(dāng)m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． ⑤為等差數(shù)列． [問題1]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為________． 答案　15 2．等比數(shù)列及其性質(zhì) (1)等比數(shù)列的判定：＝q(q為常數(shù)，q≠0)或＝(n≥2)． (2)等比數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)m＋n＝p＋q時，則有aman＝apaq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，則有aman＝a. ②Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比數(shù)列． [問題2]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 答案　(1)512　(2)10 3．求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型及方法 (1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法． (2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項(xiàng)公式． (3)若已知數(shù)列的遞推公式為an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法． (4)數(shù)列的遞推公式為an＋1＝anf(n)，則采用累乘法． (5)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an＝ 求an. (6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式． [問題3]　已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 答案　n2n 解析　令x＝2，y＝2n－1，當(dāng)n≥2時，f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)1＝n，即an＝n2n，當(dāng)n＝1時，滿足a1＝2. 4．?dāng)?shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯位相減法； (5)裂項(xiàng)法 如：＝－；＝. (6)并項(xiàng)法 數(shù)列求和時要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法． [問題4]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S21的值為________． 答案　 5．如何解含參數(shù)的一元二次不等式 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況．在解一元二次不等式時，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合． [問題5]　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 (a>0)． 解　原不等式化為(x－1)<0. ∴當(dāng)0<a<1時，不等式的解集為； 當(dāng)a>1時，不等式的解集為； 當(dāng)a＝1時，不等式的解集為?. 6．處理二次不等式恒成立的常用方法 (1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時，一般應(yīng)用此法． (2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零． (3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來． (4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握圖形． [問題6]　如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________． 答案　(－1,0] 解析　當(dāng)k＝0時，原不等式等價于－2<0，顯然恒成立，所以k＝0符合題意． 當(dāng)k≠0時，由題意，得 解得－1<k<0.所以－1<k≤0. 7．利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進(jìn)行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧： (1)對不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊． (2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元． (3)當(dāng)題中等號條件不成立時，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值． [問題7]　若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是__________． 答案　7＋4 解析　由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 8．解決線性規(guī)劃問題有三步 (1)畫：畫出可行域(有圖象)． (2)變：將目標(biāo)函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離． (3)代：將合適的點(diǎn)代入到原來目標(biāo)函數(shù)中求最值． 利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類值域(最值)問題 (1)截距型：如求z＝y(tǒng)－x的取值范圍． (2)條件含參數(shù)型： ①已知x，y滿足約束條件且z＝y(tǒng)－x的最小值是－4，則實(shí)數(shù)k＝2. ②已知x，y滿足約束條件且存在無數(shù)組(x，y)使得z＝y(tǒng)＋ax取得最小值，則實(shí)數(shù)a＝. (3)斜率型：如求的取值范圍． (4)距離型(圓半徑平方型R2)：如求(x－a)2＋(x－b)2的取值范圍． [問題8]　已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝________. 答案　2 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若z＝ax＋y的最大值為4，則最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝2，y＝0符合題意，所以2a＋0＝4，此時a＝2. 易錯點(diǎn)1　忽視等比數(shù)列中q的范圍 例1　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 易錯分析　沒有考慮等比數(shù)列求和公式Sn＝中q≠1的條件，本題中q＝1恰好符合題目條件． 解析?、佼?dāng)q＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當(dāng)q≠1時，由S3＋S6＝S9， 得＋＝. ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. 答案　1或－1 易錯點(diǎn)2　忽視分類討論 例2　若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝21，公差d＝－4， 求Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 易錯分析　要去掉|an|的絕對值符號，要考慮an的符號，對n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯誤． 解　an＝21－4(n－1)＝25－4n. 令an≥0，得n≤6，n∈Z. 當(dāng)n≤6時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝－2n2＋23n； 當(dāng)n≥7時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an) ＝2n2－23n＋132. 所以Sn＝ 易錯點(diǎn)3　已知Sn求an時忽略n＝1 例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an. 易錯分析　an＝Sn－Sn－1成立的條件是n≥2，若忽略對n＝1時的驗(yàn)證則出錯． 解　因?yàn)閍n＋1＝2Sn， 所以Sn＋1＝3Sn，所以＝3. 因?yàn)镾1＝a1＝1， 所以數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn＝3n－1 (n∈N*)． 所以當(dāng)n≥2時，an＝2Sn－1＝23n－2(n≥2)， 所以an＝ 易錯點(diǎn)4　數(shù)列最值問題忽略n的限制 例4　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是__________． 易錯分析　求解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值，無論是利用Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因?yàn)閿?shù)列中可能出現(xiàn)零項(xiàng)，所以在利用不等式(組)求解時，不能漏掉不等式(組)中的等號，避免造成無解或漏解的失誤． 解析　因?yàn)閍n＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n＝n，當(dāng)n<7時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝7時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>7時，an＋1－an<0，即an＋1<an.故a1<a2<…<a7＝a8>a9>a10…， 所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)． 答案　第7項(xiàng)或第8項(xiàng) 易錯點(diǎn)5　裂項(xiàng)法求和搞錯剩余項(xiàng) 例5　在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為__________． 易錯分析　裂項(xiàng)相消后搞錯剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和錯誤．一般情況下剩余的項(xiàng)是對稱的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對應(yīng)的． 解析　由已知得an＝＋＋…＋ ＝(1＋2＋…＋n)＝， 從而bn＝＝＝4， 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為 Sn＝4 ＝4＝. 答案　 易錯點(diǎn)6　線性規(guī)劃問題最優(yōu)解判斷錯誤 例6　P(x，y)滿足|x|＋|y|≤1，求ax＋y的最大值及最小值． 易錯分析　由ax＋y＝t，得y＝－ax＋t，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號．忽視參數(shù)的符號變化，易導(dǎo)致最值錯誤． 解　P(x，y)滿足的線性區(qū)域如圖所示． ①當(dāng)a<－1時，直線y＝－ax＋t分別過點(diǎn)(－1,0)與(1,0)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為－a，a. ②當(dāng)－1≤a≤1時，直線y＝－ax＋t分別過(0,1)與(0，－1)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為1，－1. ③當(dāng)a>1時，直線y＝－ax＋t分別過點(diǎn)(1,0)與(－1,0)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為a，－a. 易錯點(diǎn)7　運(yùn)用基本不等式忽視條件 例7　函數(shù)y＝的最小值為________． 易錯分析　應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍柍闪⒌臈l件不成立時，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時注意函數(shù)的定義域． 解析　y＝＝＝＋ . 設(shè)t＝，則t≥2，所以函數(shù)變?yōu)閒(t)＝t＋(t≥2)．這時，f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)≥f(2)＝，所以函數(shù)y＝的最小值為. 答案　 1．不等式>1的解集是________． 答案　 解析　∵不等式>1， ∴2x2＋x－1<0，即(2x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<， ∴原不等式的解集為. 2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d的值為________． 答案　2 解析　因?yàn)閧an}成等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的平均數(shù)為a3，所以方差為[(－2d)2＋(－d)2＋0＋(d)2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝2. 3．已知數(shù)列{an}滿足＝9(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，則(a5＋a7＋a9)＝________. 答案?。? 解析　由已知，所以an＋1＝an＋2，所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列， a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋92＝27，(a5＋a7＋a9)＝＝－3. 4．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－8,0] 解析　當(dāng)a＝0時，－2≤0，不等式顯然成立； 當(dāng)a≠0時，由題意知解得－8≤a<0. 綜上可知，－8≤a≤0. 5．(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}與均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，則a10＝________. 答案　20 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則an＝nd＋2－d， 所以＝， 因?yàn)闉榈炔顢?shù)列， 所以d＝2，故a10＝20. 6．若x，y滿足約束條件則z＝2x－y的取值范圍是________． 答案　(－4,0] 解析　由z＝2x－y，得y＝2x－z， 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)如圖， 平移直線y＝2x－z，由圖象可知當(dāng)直線y＝2x－z經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)時，直線y＝2x－z的截距最大，此時z最?。? 當(dāng)直線y＝2x－z經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)時，直線y＝2x－z的截距最小，此時z最大． 所以z的最小值為－4，最大值為0. 即－4<z≤0. 7．(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a8＝3，則a5的值為________． 答案?。? 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. ∵S3，S9，S6成等差數(shù)列， ∴2S9＝S3＋S6，且q≠1. ∴＝＋， 即2q6－q3－1＝0. ∴q3＝－或q3＝1(舍去)， ∵a8＝3，∴a5＝＝＝－6. 8．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍為________． 答案　[27,30] 解析　方法一　由題意可得 設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則 所求可轉(zhuǎn)化為t＝3x＋8y. 又可化為 可行域如圖所示，當(dāng)直線t＝3x＋8y與曲線y＝相切時有最小值，當(dāng)直線t＝3x＋8y經(jīng)過點(diǎn)A時有最大值． 由解得A(2,3)，即tmax＝30. 又y＝，所以y′＝＝－， 解得x＝3，y＝，即切點(diǎn)坐標(biāo)為， 所以tmin＝27，即t的取值范圍為[27,30]． 方法二　因?yàn)椋堋埽? 所以8＋＋≤16，即＋≤8， 解得≤≤2， 所以≤ ＝8＝8≤30； 由＋≤可知，≥＋， 則≥(3a＋8b)＝15＋＋≥27， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即3a＝4b時，取等號． 故的取值范圍為[27,30]． 9．已知a＋b＝2，b>0，當(dāng)＋取最小值時，實(shí)數(shù)a的值是________． 答案?。? 解析　方法一?。剑剑荩? ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a<0，且＝，即a＝－2，b＝4時取等號． 方法二　因?yàn)閍＋b＝2，b>0， 所以＋＝＋，a<2. 設(shè)f(a)＝＋，a<2， 則f(a)＝ 當(dāng)a<0時，f(a)＝－－， 從而f′(a)＝－＝， 故當(dāng)a<－2時，f′(a)<0；當(dāng)－2<a<0時，f′(a)>0， 故f(a)在(－∞，－2)上是減函數(shù)，在(－2,0)上是增函數(shù)， 故當(dāng)a＝－2時，f(a)取得極小值；同理，當(dāng)0≤a<2時，函數(shù)f(a)在a＝處取得極小值. 綜上，當(dāng)a＝－2時，f(a)min＝. 10．若a，b均為正實(shí)數(shù)，且＋≤m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是________． 答案　 解析　由于a，b均為正實(shí)數(shù)， 且＋≤m， 顯然有m>0，b≥a， 兩邊平方得a＋b－a＋2≤m2b， 即b＋2≤m2b， 于是m2≥1＋2 ， 令＝t(0<t≤1)， 則m2≥1＋2在0<t≤1時恒成立， 即m2≥1＋2 ， 從而m2≥2，故m的最小值為. 11．已知函數(shù)f(x)＝. (1)若f(x)>k的解集為{x|x<－3或x>－2}，求k的值； (2)對任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范圍． 解　(1)f(x)>k?kx2－2x＋6k<0. 由已知{x|x<－3或x>－2}是其解集， 得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知，(－2)＋(－3)＝， 即k＝－. (2)因?yàn)閤>0，f(x)＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號． 由已知f(x)≤t對任意x>0恒成立，故t≥， 即t的取值范圍是. 12．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在常數(shù)a>0且a≠1，使得數(shù)列{an－logabn}(n∈N*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)當(dāng)n＝1時，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3. 當(dāng)n≥2時，8Sn－1＝a＋4an－1＋3， an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)， 從而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an－an－1＝4. 所以，當(dāng)a1＝1時，an＝4n－3； 當(dāng)a1＝3時，an＝4n－1. 又因?yàn)楫?dāng)a1＝1時，a1，a2，a7分別為1,5,25，構(gòu)成等比數(shù)列，所以bn＝5n－1. 當(dāng)a1＝3時，a1，a2，a7分別為3,7,27，不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去． 所以數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝4n－3，bn＝5n－1，n∈N*. (2)存在滿足條件的a，理由如下： 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，從而an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.由題意，得4－loga5＝0，所以a＝.