2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 2.1 實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

21實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問題加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)概念的理解.2.能利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義思考某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為WW(t)t34t210t.(1)t從1s到4s時(shí)W關(guān)于t的平均變化率是多少？(2)上述問題的實(shí)際意義是什么？(3)W(1)的實(shí)際意義是什么？答案(1)11 (J/s)(2)它表示從t1s到t4s這段時(shí)間內(nèi)，這個(gè)人平均每秒做功11J.(3)W(t)3t28t10，W(1)5表示在t1s時(shí)每秒做功5J.總結(jié)(1)功與功率：在物理學(xué)中，通常稱力在單位時(shí)間內(nèi)做的功為功率，它的單位是瓦特功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(2)降雨強(qiáng)度：在氣象學(xué)中，通常把單位時(shí)間(如1時(shí)，1天等)內(nèi)的降雨量稱作降雨強(qiáng)度，它是反映一次降雨大小的一個(gè)重要指標(biāo)降雨強(qiáng)度是降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(3)邊際成本：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際成本邊際成本f(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，需要增加f(x0)個(gè)單位的成本(4)瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度，它是位移s對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度(5)線密度：單位長度的物體質(zhì)量稱為線密度，它是質(zhì)量關(guān)于長度的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)解決的問題通常是變化率的問題()2位移對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度，速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為加速度()3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義與變量表示的實(shí)際含義有關(guān)，同一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，其導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義因變量實(shí)際含義的不同而不同()題型一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義例1某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為ss(t)2t23t，其中s是位移(單位：m)，t是時(shí)間(單位：s)(1)求當(dāng)t從1s變到3s時(shí)，位移s關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求s(1)，s(2)，并解釋它們的實(shí)際意義考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義解(1)當(dāng)t從1s變到3s時(shí)，s關(guān)于t的平均變化率為11(m/s)它表示從t1s到t3s這段時(shí)間內(nèi)，該質(zhì)點(diǎn)平均每秒的位移是11m.(2)由導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得s(t)4t3，則s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s)s(1)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是該質(zhì)點(diǎn)在t1s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為7m/s.s(2)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t2s時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是該質(zhì)點(diǎn)在t2s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為11m/s.反思感悟根據(jù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，在物理學(xué)中，除了我們所熟悉的位移、速度與時(shí)間的關(guān)系、功與時(shí)間的關(guān)系，還應(yīng)了解質(zhì)量關(guān)于體積的導(dǎo)數(shù)為密度，電量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度等因此，在解釋某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的物理意義時(shí)，應(yīng)結(jié)合這些導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義進(jìn)行理解跟蹤訓(xùn)練1某河流在一段時(shí)間xmin內(nèi)流過的水量為ym3，y是x的函數(shù)，且yf(x).(1)當(dāng)x從1變到8時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率是多少？(2)求f(27)，并解釋它的實(shí)際意義考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義解(1)當(dāng)x從1變到8時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率為 (m3/min)(2)f(x)，于是f(27) (m3/min)，實(shí)際意義為當(dāng)時(shí)間為27min時(shí)，水流量增加的速度為m3/min，也就是當(dāng)時(shí)間為27min時(shí)，每增加1min，水流量增加m3.題型二導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用例2某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為C(x)x260x2050.求當(dāng)日產(chǎn)量由10件提高到20件時(shí)，總成本的平均改變量，并說明其實(shí)際意義考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用解當(dāng)x從10件提高到20件時(shí)，總成本C從C(10)2675元變到C(20)3350元此時(shí)總成本的平均改變量為67.5(元/件)，其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時(shí)平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量引申探究1若本例條件不變，求當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本，并說明其實(shí)際意義解因?yàn)镃(x)x60，所以C(75)756097.5(元/件)，它指的是當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元2若本例的條件“C(x)x260x2050”變?yōu)椤癈(x)x2ax2050，當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本大于97.5”，求a的取值范圍解因?yàn)镃(x)xa，所以日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本大于97.5，即C(75)75a>97.5，解得a>60.反思感悟生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)yf(x)中，f(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，需增加f(x0)個(gè)單位的成本跟蹤訓(xùn)練2已知某商品的成本函數(shù)為C(Q)100(Q為產(chǎn)品的數(shù)量)(1)求當(dāng)Q10時(shí)的總成本、平均成本及邊際成本；(2)當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時(shí)，平均成本最小？最小為多少？考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用解(1)當(dāng)Q10時(shí)的總成本C(10)100125；Q10時(shí)的平均成本12.5.邊際成本即成本函數(shù)C(Q)對產(chǎn)量Q的導(dǎo)數(shù)，故邊際成本C(Q)Q，Q10時(shí)的邊際成本是C(10)5.(2)由(1)得，平均成本，而210，當(dāng)且僅當(dāng)，即Q20時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)產(chǎn)量Q為20時(shí)，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.題型三導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用例3一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量y(單位：g)是工作時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)為yf(x)4.(1)求x從1h變到4h時(shí)，y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求f(1)，f(4)，并解釋它的意義考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解(1)當(dāng)x從1h變到4h時(shí)，產(chǎn)量y從f(1)g變到f(4)g，此時(shí)平均變化率為 (g/h)，它表示從1h到4h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn)g產(chǎn)品(2)f(x)，于是f(1) (g/h)，f(4) (g/h)，分別表示在第1小時(shí)和第4小時(shí)這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品g和g.反思感悟在不同的實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義是不相同的，要結(jié)合具體問題進(jìn)行分析，在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義是當(dāng)自變量在該點(diǎn)處的改變量趨近于零時(shí)，平均變化率所趨近的值，問題不同有不同的意義跟蹤訓(xùn)練3某年高考，某考生在參加數(shù)學(xué)考試時(shí)，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時(shí)間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)2.(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求f(64)，f(100)，并解釋它的實(shí)際意義考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解(1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關(guān)于x的平均變化率為.它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答道題(2)f(x)，f(64)，f(100).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答和道題.1某公司的盈利y(元)和時(shí)間x(天)的函數(shù)關(guān)系是yf(x)，假設(shè)f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()A公司已經(jīng)虧損B公司的盈利在增加，且增加的幅度變大C公司在虧損且虧損幅度變小D公司的盈利在增加，但增加的幅度變小考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用答案D解析導(dǎo)數(shù)為正說明盈利是增加的，導(dǎo)數(shù)變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的2某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù)，即WW(t)，則W(t0)表示()Att0時(shí)做的功Btt0時(shí)的速度Ctt0時(shí)的位移Dtt0時(shí)的功率考點(diǎn)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用答案D解析W(t0)表示tt0時(shí)的功率3某收音機(jī)制造廠的管理者通過對上午上班工人工作效率的研究表明：一個(gè)中等技術(shù)水平的工人，從8：00開始工作，t小時(shí)后可裝配晶體管收音機(jī)的臺(tái)數(shù)為Q(t)t39t212t，則Q(2)_，它的實(shí)際意義是_考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用答案36臺(tái)/小時(shí)10：00時(shí)，工人裝配晶體管收音機(jī)的速度為36臺(tái)/小時(shí)解析Q(t)3t218t12，則Q(2)36，由題意知10：00時(shí)，工人裝配晶體管收音機(jī)的速度為36臺(tái)/小時(shí)4某物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)2t21，則t2時(shí)的加速度為_考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案8解析v(t)4t，v(2)8.5建造一幢長度為xm的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關(guān)系為yf(x)(x2x3)(x>0)(1)當(dāng)x從100變到200時(shí)，平均每米的成本為_萬元；(2)f(100)_萬元/m，其實(shí)際意義為_答案(1)30.1(2)20.1當(dāng)長度為100m時(shí)，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元解析(1)f(100)1010.3，f(200)4020.3，30.1(萬元/m)，即平均變化率為30.1萬元/m.(2)f(x)(2x1)，f(100)20.1(萬元/m)，即當(dāng)長度為100m時(shí)，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元1解決實(shí)際問題的一般思路：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題的結(jié)論回到實(shí)際問題的結(jié)論2解決實(shí)際問題的一般步驟(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解(4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案一、選擇題1一次降雨過程中，降雨量y是時(shí)間t的函數(shù)，用yf(t)表示，則f(10)表示()At10時(shí)的降雨強(qiáng)度Bt10時(shí)的降雨量Ct10時(shí)的時(shí)間Dt10時(shí)的溫度考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用答案A解析f(t)表示t時(shí)刻的降雨強(qiáng)度2圓的面積S是半徑r的函數(shù)S(r)r2，那么在r3時(shí)，面積的變化率是()A6B9C9D6考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的意義答案D解析面積S在r3時(shí)的變化率為S(3)236.3設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為vv(t)t33t，則tt0s時(shí)轎車的加速度為()At3t0B3t3C3t3t0Dt3考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案B解析v(t)3t23，則當(dāng)tt0s時(shí)的速度變化率為v(t0)3t3(m/s2)，則tt0s時(shí)轎車的加速度為(3t3) m/s2.4某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為s(t)t34t220t15，則s(1)的實(shí)際意義為()A汽車剎車后1s內(nèi)的位移B汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C汽車剎車后1s時(shí)的瞬時(shí)速度D汽車剎車后1s時(shí)的位移考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案C5從時(shí)刻t0開始的ts內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：C)可由公式q2t23t表示，則第5s時(shí)電流強(qiáng)度為()A27C/s B20 C/sC25C/s D23 C/s考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案D解析某導(dǎo)體的電量q在5s時(shí)的瞬時(shí)變化率就是第5s時(shí)的電流強(qiáng)度q4t3，當(dāng)t5時(shí)，電流強(qiáng)度為45323(C/s)6汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖像可能是()考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案A解析開始啟動(dòng)，從原點(diǎn)開始；加速行駛，則路程的增速較快；勻速行駛，路程的增速是常數(shù)；減速行駛，路程的增速減慢，所以只有選項(xiàng)A合適7已知一根金屬棒的質(zhì)量y(單位：kg)是長度x(單位：m)的函數(shù)：yf(x)3，則從4m到9m這一段金屬棒的平均線密度是()A.kg/mB.kg/mC.kg/mD.kg/m答案B解析(kg/m)8如圖所示，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖像大致是()考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用答案D解析由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對增速較快選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符；選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，與實(shí)際不符；選項(xiàng)C表示開始和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段面積的增速快，與實(shí)際不符；選項(xiàng)D表示開始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快，符合實(shí)際二、填空題9某物體的位移s是時(shí)間t的函數(shù)s2t3at，物體在t1時(shí)的速度為8，則a的值為_考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案2解析s6t2a，由題意知612a8，a2.10已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為_萬件考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用答案9解析令yx2810，得x9或9(舍去)，當(dāng)x9時(shí)，ymax252.11一物體沿直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)t4t32t2，那么速度為0的時(shí)刻為(s單位：m，t單位：s)_考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義答案0s,1s,4s解析s(t)t35t24t，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可知vs(t)，令t35t24t0，解得t0或t1或t4.三、解答題12在F1賽車中，賽車位移s與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s10t5t2(s的單位為m，t的單位為s)求：(1)當(dāng)t20，t0.1時(shí)的s與；(2)當(dāng)t20時(shí)的瞬時(shí)速度考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義解(1)因?yàn)閟s(20.1)s(20)(1020.1520.12)(10205202)21.05(m)，所以210.5(m/s)(2)因?yàn)閟1010t，所以當(dāng)t20時(shí)，s101020210(m/s)，即t20時(shí)的瞬時(shí)速度為210m/s.13某食品廠生產(chǎn)某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產(chǎn)量x(單位：kg)的函數(shù)，分別為C(x)1002x0.02x2，R(x)7x0.01x2，試求邊際利潤函數(shù)以及當(dāng)日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時(shí)的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟(jì)意義考點(diǎn)實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)的意義題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用解(1)根據(jù)定義知，總利潤函數(shù)為L(x)R(x)C(x)5x1000.01x2，所以邊際利潤函數(shù)為L(x)50.02x.(2)當(dāng)日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時(shí)，邊際利潤分別為L(200)1，L(250)0，L(300)1.其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)日產(chǎn)量為200kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤可增加1元；當(dāng)日產(chǎn)量為250kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤無變化；當(dāng)日產(chǎn)量為300kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤減少1元由此可得：當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超過了邊際利潤的零點(diǎn)時(shí)，反而會(huì)使企業(yè)“無利可圖”14向高為8m，底面邊長為8m的倒置四棱錐形的容器內(nèi)注水，其速度為每分鐘m3，則當(dāng)水深為5m時(shí)，水面上升的速度為_m/min.答案解析設(shè)注水tmin時(shí)，水的深度為hm，則容器內(nèi)水的體積為th2h，則h2t，所以h(t)t.當(dāng)h5時(shí)，t，故vh(m/min)15日常生活中的飲用水通常是通過凈化得到的，隨著水純凈度的增加，所需凈化費(fèi)用不斷增加，已知將1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x) (80<x<100)，求凈化到下列(1)90%；(2)98%純凈度時(shí)，所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率解c(x)，c(90)52.84，c(98)1321.故純凈度為90%時(shí)，凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為52.84元/t；純凈度為98%時(shí)，凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為1321元/t.