2019屆高考數學總復習 模塊五 解析幾何 第14講 直線與圓學案 文.docx

第14講直線與圓1.(1)2015全國卷 一個圓經過橢圓x216+y24=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為.(2)2015全國卷 過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=()A.26B.8C.46D.10試做 命題角度圓的方程(1)解決圓的方程問題:關鍵一,通過研究圓的性質求出圓的基本量;關鍵二,設出圓的一般方程,用待定系數法求解.(2)圓的常用性質:圓心在過切點且垂直于切線的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內切或外切時,切點與兩圓圓心共線.2.(1)2018全國卷 直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP面積的取值范圍是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32(2)2016全國卷 已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=.試做 命題角度直線與圓的位置關系關鍵一:求直線被圓所截得的弦長時,一般考慮由弦心距、弦長的一半、半徑所構成的直角三角形,利用勾股定理求解;關鍵二:弦心距可利用點到直線的距離公式求解.小題1直線的方程及應用1(1)若直線mx+ny+3=0(m,nR)在y軸上的截距為-3,且它的傾斜角是直線3x-y=33的傾斜角的2倍,則()A.m=-3,n=1B.m=-3,n=-3C.m=3,n=-3D.m=3,n=1(2)如果直線l1:2x-y-1=0與直線l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么實數a的值是.聽課筆記【考場點撥】高考中關于直線的易失分點:(1)當直線的方程中存在字母參數時,不僅要考慮斜率存在的一般情況,也要考慮斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數不能同時為零;(2)求參數的值時,在計算結束后還要把參數的值代入兩個直線方程,看兩條直線是否重合.【自我檢測】1.已知直線l1:ax+2y-1=0,直線l2:8x+ay+2-a=0,若l1l2,則實數a的值為()A.4B.-4C.4D.22.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則實數k的值為()A.-24B.24C.6D.63.已知點A(1,-2),B(m,2),線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-n=0,則實數m,n的值分別是()A.-2,2B.-7,3C.3,2D.1,-2小題2圓的方程及應用2(1)已知M(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內的一點,則過點M最長的弦所在的直線方程是()A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0(2)在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,已知圓C:(x+1)2+y2=2,點A(2,0),若圓C上存在點M,滿足|MA|2+|MO|210,則點M的縱坐標的取值范圍是.聽課筆記 【考場點撥】高考中關于圓的?？键c:(1)由圓心和半徑可直接得到圓的標準方程;(2)過不在同一條直線上的三點可確定一個圓;(3)弦的垂直平分線一定過圓心.與圓上的點有關的問題常轉化為與圓心有關的問題去處理.考查有關圓的知識時,有時也通過構建方程或不等式去解決.【自我檢測】1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,3)的圓的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-3)2=1D.x2+(y+3)2=12.圓x2+y2-2x-4y+3=0的圓心到直線x-ay+1=0的距離為2,則實數a的值為()A.-1B.0C.1D.23.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知點P(1,3),Q(-1,1),則POQ外接圓的半徑為()A.102B.10C.52D.54.已知直線l:y=x+m,mR.若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上,則該圓的方程為.小題3直線與圓、圓與圓的位置關系3(1)動直線l:x+my+2m-2=0(mR)與圓C:x2+y2-2x+4y-4=0相交于A,B兩點,則弦AB最短為()A.2B.25C.6D.42(2)已知兩點A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圓x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P,使得APB=90,則實數a的取值范圍為()A.(0,3B.1,3C.2,3D.1,2聽課筆記【考場點撥】高考?？嫉挠嘘P直線與圓、圓與圓的位置關系問題的解題思路:(1)當直線與圓的位置關系問題中含有參數時,可以根據圓心到直線的距離或者判別式列出方程(不等式)去解決問題.(2)圓與圓的位置關系是比較復雜的位置關系,通常利用圓心距和兩圓半徑的差與和的關系去判斷、求解.【自我檢測】1.直線ax-y+3=0(aR)與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點,且|AB|=23,則a=()A.0B.3C.2D.32.已知圓O1的方程為x2+y2=1,圓O2的方程為(x+a)2+y2=4,如果這兩個圓有且只有一個公共點,那么實數a的所有取值構成的集合是()A.1,-1,3,-3B.5,-5,3,-3C.1,-1D.3,-33.已知P為直線x+y-2=0上的點,過點P作圓O:x2+y2=1的切線,切點為M,N,若MPN=90,則這樣的點P有()A.0個B.1個C.2個D.無數個4.直線y=ax+1(aR)與圓x2+y2+bx-y=1(bR)交于兩點,且這兩個交點關于直線x+y=0對稱,則a+b=()A.5B.4C.3D.2模塊五解析幾何第14講直線與圓 典型真題研析1.(1)x-322+y2=254(2)C解析(1)設圓心為(t,0)(t>0),則半徑為4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圓的標準方程為x-322+y2=254.(2)方法一:設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐標代入得方程組D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46.方法二:因為kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以ABBC,所以ABC為直角三角形,所以ABC的外接圓圓心為AC的中點(1,-2),半徑r=12AC=5,所以MN=225-1=46.方法三:由ABBC=0得ABBC,下同方法二.2.(1)A(2)4解析(1)由題意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為|2+0+2|2=22.設點P到直線AB的距離為d,圓(x-2)2+y2=2的半徑為r,則d22-r,22+r,即d2,32,又ABP的面積SABP=12|AB|d=2d,所以ABP面積的取值范圍是2,6.(2)直線l:m(x+3)+y-3=0過定點(-3,3),又|AB|=23,|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直線l的方程中,當x=0時,y=23.又(-3,3),(0,23)兩點都在圓上,直線l與圓的兩交點為A(-3,3),B(0,23).設過點A(-3,3)且與直線l垂直的直線為3x+y+c1=0,將(-3,3)代入直線方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得過點B且與直線l垂直的直線與x軸交點的橫坐標為xD=2,|CD|=4. 考點考法探究小題1例1 (1)D(2)-2解析(1)對于mx+ny+3=0(m,nR),令x=0得y=-3n,由題意得-3n=-3,n=1.直線3x-y=33的傾斜角為60,直線mx+ny+3=0的傾斜角是直線3x-y=33的2倍,直線mx+ny+3=0的傾斜角為120,即-mn=-3,m=3,故選D.(2)因為直線l1:2x-y-1=0與直線l2:2x+(a+1)y+2=0平行,所以2(a+1)=-2,-(a+1)-2,解得a=-2,故填-2.【自我檢測】1.B解析直線l1:ax+2y-1=0,直線l2:8x+ay+2-a=0,且l1l2,a2-16=0,且2(2-a)+a0,a=-4,故選B.2.A解析 設交點坐標為(a,0),由題意得2a-k=0,a+12=0,a=-12,k=-24,故選A.3.C解析線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-n=0,線段AB的中點在直線x+2y-n=0上,直線AB與直線x+2y-n=0互相垂直,1+m2+2-2+22-n=0,-2-21-m(-12)=-1,m=3,n=2,故選C.小題2例2(1)B(2)-72,72解析(1)由圓x2+y2-8x-2y+10=0,得其標準方程為(x-4)2+(y-1)2=7,所以已知圓的圓心坐標為(4,1),又M(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內的一點,所以過點M最長的弦所在的直線為經過M與圓心的直線,直線方程為y-01-0=x-34-3,整理得x-y-3=0,故選B.(2)設點M(x,y),因為|MA|2+|MO|210,所以(x-2)2+y2+x2+y210,即x2+y2-2x-30.因為(x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2,所以x2+2-(x+1)2-2x-30,化簡得x-12.又點M在圓C上,所以x2-1,故-12x2-1.因為y2=2-(x+1)2,所以0y274,所以-72y72,故答案為-72,72.【自我檢測】1.C解析 圓心在y軸上,半徑為1,不妨設圓的方程為x2+(y-a)2=1(aR),因為圓過點(1,3),所以1+(3-a)2=1,解得a=3,所以圓的方程為x2+(y-3)2=1,故選C.2.B 解析 圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=2,即圓心為(1,2),所以圓心到直線x-ay+1=0的距離為|1-2a+1|1+a2=2,解得a=0,故選B.3.A解析 設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圓過O,P,Q 三點,得F=0,1+9+D+3E+F=0,1+1-D+E+F=0,解得D=-1,E=-3,F=0,所以圓的方程為x2+y2-x-3y=0,故半徑r=(-1)2+(-3)2-402=102,故選A.4.(x-2)2+y2=8解析 由題意可設點P(0,m)(mR),易知直線MP的斜率為-1,即m-00-2=-1,得m=2,可得點P(0,2),所以圓的半徑為|MP|=22,故圓的方程為(x-2)2+y2=8.小題3例3(1)D(2)B解析(1)直線l:x+my+2m-2=0(mR)即(x-2)+m(y+2)=0,則該直線過定點M(2,-2),可得M(2,-2)在圓C:x2+y2-2x+4y-4=0內,當MCAB時,AB最短,即|AB|取最小值.由x2+y2-2x+4y-4=0,可得(x-1)2+(y+2)2=9,C(1,-2),r=3,|MC|=1,|AB|min=29-1=42,故選D.(2)以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2.圓x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P,使得APB=90,圓x2+y2=a2與圓(x-3)2+(y-1)2=1有公共點.|a-1|3+1a+1,解得1a3,故選B.【自我檢測】1.A解析 圓的圓心為M(1,2),半徑r=2.因為|AB|=23,所以圓心到直線的距離d=r2-(|AB|2)2=4-(3)2=1,所以|a-2+3|a2+1=1,即|a+1|=a2+1,平方得a2+2a+1=a2+1,解得a=0,故選A.2.A解析 當兩圓外切或內切時,它們有且只有一個公共點,所以圓心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3,故選A.3.B解析 連接OM,ON,則MPN=ONP=OMP=90,|OM|=|ON|,四邊形OMPN為正方形,圓的半徑為1,|OP|=2,易求得原點(圓心)O到直線x+y-2=0的距離為2,符合條件的點P只有一個,故選B.4.D解析 圓的方程x2+y2+bx-y=1可化為x+b22+y-122=b2+54,則圓心為-b2,12.因為兩個交點關于直線x+y=0對稱,所以圓心在直線x+y=0上,且直線y=ax+1與直線x+y=0垂直,所以-b2+12=0,a(-1)=-1,解得a=1,b=1,所以a+b=2,故選D.備選理由 例1為求解點關于直線的對稱點問題,求解方法具有一般性.例2為直線與圓、圓與圓的位置關系的綜合題,涉及點到直線的距離、弦長公式、圓與圓位置關系的判斷等知識,知識點覆蓋較多,綜合性較強.例1配例1使用 點M(1,4)關于直線l:x-y+1=0對稱的點M的坐標是.答案(3,2)解析 設M(1,4)關于直線x-y+1=0對稱的點M的坐標為(m,n)(m,nR),則線段MM的中點坐標為1+m2,4+n2,n-4m-1=-1,1+m2-4+n2+1=0,m=3,n=2,故答案為(3,2).例2配例3使用 已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是()A.內切B.相交C.外切D.相離解析B圓M的標準方程為x2+(y-a)2=a2(a>0),則圓心M(0,a),半徑R=a,圓心M到直線x+y=0的距離d=a2.圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22,2R2-d2=2a2-a22=22,解得a=2,則圓心M(0,2),半徑R=2.圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的圓心N(1,1),半徑r=1,|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2,又R+r=3,R-r=1,R-r<|MN|<R+r,即兩個圓相交,故選B.