（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè) 二十三 3.6 正弦定理和余弦定理 文.doc

課時(shí)分層作業(yè) 二十三正弦定理和余弦定理一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=, c=2,cos A=,則b等于()A.B.C.2D.3【解析】選D.在ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018濰坊模擬)在ABC中,cos2=(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】選B.因?yàn)閏os2=,cos2=,所以(1+cos B)c=a+c,所以a=cos Bc=,所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,所以ABC為直角三角形.3.在ABC中,已知b=40,c=20,C=60,則此三角形的解的情況是()A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選C.因?yàn)?,所以sin B=>1,故此三角形無解.4.(2017山東高考)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解題指南】逆用兩角和的正弦公式將原式化簡(jiǎn),再結(jié)合正弦定理去判斷.【解析】選A.2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)=sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于ABC為銳角三角形,所以cos C0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b.5.(2018長(zhǎng)沙模擬)在ABC中,A=,b2sin C=4sin B,則ABC的面積為()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.因?yàn)閎2sin C=4sin B,所以b2c=4b,即bc=4,故SABC=bcsin A=2.【變式備選】在銳角ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin A=,a=3,SABC=2,則b的值為()A.6B.3C.2D.2或3【解析】選D.因?yàn)镾ABC=2=bcsin A,所以bc=6,又因?yàn)閟in A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=_.【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,又因?yàn)?<B<,所以B=.答案:7.(2018杭州模擬)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=, b=,ABC的面積為,則c=_,B=_.【解析】因?yàn)锳=,b=,ABC的面積為=bcsin A=c,所以解得:c=1+,所以由余弦定理可得:a=2,可得:cos B= =,又0<B<,故B=.答案:1+8.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B,則cos B的值為_.【解析】因?yàn)锳=2B,=,b=3,c=1,所以=,可得a=6cos B,由余弦定理可得:a=6,所以a=2,所以cos B=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018成都模擬)已知三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin 2A=cos 2A,且角A為銳角.(1)求三角形內(nèi)角A的大小.(2)若a=5,b=8,求c的值.【解析】(1)由題意,sin 2A=cos 2A,即tan 2A=.所以2A=或者2A=,因?yàn)榻茿為銳角,所以A=.(2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos A=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0,解得c=4+3或者4-3.10.(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c.(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.【解析】(1)因?yàn)閟in A+cos A=0,所以sin A=-cos A,所以tan A=-.因?yàn)锳(0,),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,代入a=2,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.(2)由(1)知c=4.因?yàn)閏2=a2+b2-2abcos C,所以16=28+4-222cos C,所以cos C=,所以sin C=,所以tan C=.在RtCAD中,tan C=,所以=,即AD=.則SADC=2=,由(1)知SABC=bcsin A=24=2,所以SABD=SABC-SADC=2-=.1.(5分)(2016全國(guó)卷)在ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A=()A.B.C.D.【解析】選D.設(shè)BC邊上的高為AD,且AD=m,因?yàn)锽=,則BD=m,AB=m,又因?yàn)锳D=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理=得sinBAC=.【變式備選】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b<c,則b等于()A.3B.2C.2D.【解析】選C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2.2.(5分)在ABC中,若=且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形【解析】選C.由正弦定理得=,又由已知得=,故b=c,又因?yàn)?b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故b2+c2-a2=bc,所以cos A=,因?yàn)?<A<,所以A=,故ABC是等邊三角形.3.(5分)(2018大連模擬)如圖,在四邊形ABCD中,ABD=45,ADB=30, BC=1,DC=2,cosBCD=,則BD=_;三角形ABD的面積為_.【解析】在CBD中,由余弦定理,可得BD=2,在ABD中,利用正弦定理,可得AD=2-2,所以三角形ABD的面積為2 (2-2)=-1.答案:2-14.(12分)(2018泉州模擬)已知a,b,c分別是ABC中角A,B,C的對(duì)邊,acsin A+4sin C=4csin A.(1)求a的值.(2)圓O為ABC的外接圓(O在ABC內(nèi)部),OBC的面積為,b+c=4,判斷ABC的形狀,并說明理由.【解析】(1)由正弦定理可知,sin A=,sin C=,則acsin A+4sin C=4csin Aa2c+4c=4ac,因?yàn)閏0,所以a2c+4c=4aca2+4=4a(a-2)2=0,可得a=2.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則ODBC,所以SOBC=BCOD.又因?yàn)镾OBC=,BC=2,所以O(shè)D=,在RtBOD中,tanBOD=,又0<BOD<180,所以BOD =60,所以BOC=2BOD=120,因?yàn)镺在ABC內(nèi)部,所以A=BOC=60,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A.所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4,所以bc=4,所以b=c=2,所以ABC為等邊三角形.5.(13分)(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C.(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)锳BC面積S=且S=bcsin A,所以=bcsin A,所以a2=bcsin2A,由正弦定理得sin2A=sin Bsin Csin2A,由sin A0得sin Bsin C=.(2)由(1)得sin Bsin C=,又cos Bcos C=,因?yàn)锳+B+C=,所以cos A = cos=-cos=sin Bsin C-cos Bcos C = ,又因?yàn)锳,所以A=,sin A=,cos A=,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9,由正弦定理得b=sin B,c=sin C,所以bc=sin Bsin C=8,由得b+c=,所以a+b+c=3+,即ABC的周長(zhǎng)為3+.