【名師教案1】5.6應(yīng)用一元一次方程--能追上小明嗎

5. 6應(yīng)用一元一次方程-能追上小明嗎教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點1進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟2能充分利用行程中的速度、路程、時間之間的關(guān)系列方程解應(yīng)用題(二)水平訓(xùn)練要求1借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程，解決實際問題，發(fā)展分析問題、解決問題的水平2進(jìn)一步體會方程模型的作用，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識3培養(yǎng)學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言的轉(zhuǎn)換的水平(三)情感與價值觀要求通過開放性的問題，為學(xué)生提供思維的空間，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，團(tuán)隊精神和克服困難的勇氣教學(xué)重點1借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系從而建立方程，解決實際問題 用“線段圖”分析復(fù)雜問題中的等量關(guān)系，從而建立方程教學(xué)方法教師啟發(fā)與學(xué)生自主探索相結(jié)合教師先從簡單問題出發(fā)，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生用“線段圖”去尋找路程問題中的等量關(guān)系，從而學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下自主探索復(fù)雜問題的解決過程，建立數(shù)學(xué)模型教具準(zhǔn)備投影片三張第一張：(記作56A)填空第二張：(記作56B)想一想、試一試第三張：(記作56C)議一議教學(xué)過程提出問題，引入新課出示投影片(56A)做一做：1若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_米2小明用4分鐘繞學(xué)校操場跑了兩圈(每圈400米)，那么他的速度為_米/分3小明家距離火車站1500米，他以4米/秒的速度騎車到達(dá)火車站需_分鐘師上面3個小題都是關(guān)于路程、速度、時間的問題，那么它們之間有何關(guān)系呢？ 生路程=速度時間知道這三個量中的兩個就能夠求出另一個師很棒那么我們就用這個同學(xué)所說的關(guān)系來解答上面的三個小問題生(1)已知速度、時間，求路程所以小明5秒能跑4米/秒5秒=20米(2)已知時間、路程求速度所以小明的速度為400米4分=100米/分(3)已知路程、速度求時間所以小明騎車到車站需要1500米4米/秒=375秒=625分師下面我們就來根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系來討論幾個較為復(fù)雜的問題講授新課出示投影片(56B)想一想，試一試?yán)?小明和小彬每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米(1)如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？(2)如果小明站在百米跑道的起跑處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明能追上小彬？師生共析已知小彬和小明的速度分別為4米/秒，6米/秒(1)兩人從百米跑道的兩端同時相向起跑，相遇時，兩人所跑的路程的和是100米所以要解決這個問題，必須抓住這個等量關(guān)系我們畫出線段圖，能夠使他們的關(guān)系更加直觀，等量關(guān)系更加清晰如下圖所以等量關(guān)系為：小明所跑的路程+小彬所跑的路程=100米接下來我們只要把這個等量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號方程表示出來即可設(shè)兩人x秒后可相遇，則小明跑的路程就為6x米，小彬跑的路程為4x米，由此得到方程4x+6x=100(2)如果小明站在百米跑道的起點處，而小彬在他前面10米處，當(dāng)小明追上小彬時，小彬比小明少跑10米在解決此問題時，只要抓住這個等量關(guān)系便可為了使問題更直觀，我們不妨也用線段圖來表示，使等量關(guān)系更清晰如下圖：所 以等量關(guān)系為：小明跑的路程-小彬跑的路程=10米如果設(shè)小明x秒可追上小彬，則小明跑的路程為6x，小彬跑的路程為4x，則得到方程6x-4x=10(由學(xué)生根據(jù)分析寫出解答過程)解：(1)設(shè)小明和小彬x秒后相遇，根據(jù)題意得6x+4x=100，解，得x=10所以經(jīng)過10秒兩人相遇(2)設(shè)小明x秒追上小彬，根據(jù)題意，得6x-4x=10解，得x=5所以小明5秒就追上了小彬師由例1我們能夠看到，在審題的過程中，如果能把文字語言變成圖形語言線段圖，能夠使題中的等量關(guān)系“浮”出水面，最后我們只需設(shè)出未知數(shù)，把等量關(guān)系用符號語言表示出來，便得到了方程在我們的生活中，一些同學(xué)養(yǎng)成一種很不好的習(xí)慣丟三落四常害得父母親操心小明今天就犯了這樣的錯誤：小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)一天，小明以80米/分的速度出發(fā)5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書于是，小明的爸爸立即為180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他問：(1)爸爸追上小明用了多長時間？(2)追上小明時，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？同學(xué)們可仿照例1的方法，畫出線段圖去分析題目中的等量關(guān)系生我認(rèn)為小明的爸爸追上小明時，他們父子二人所行駛的路程是相等的師你能到黑板上畫出這個問題的線段圖嗎？生能夠如果設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則可畫得線段圖：(黑板上板演)所以，根據(jù)題意，小明5分鐘行駛的路程為：805米；爸爸開始追小明到追上，小明行駛的路程為80x米；小明的爸爸追上小明行駛的路程180x米相等關(guān)系為：小明行駛的路程=爸爸行駛的路程即805+80x=180x師下面同學(xué)們在自己的練習(xí)本上完整地寫出解答過程生解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了x分根據(jù)題意，得180x=80x+805化簡，得100x=400x=4所以小明的爸爸用了4分鐘追上小明(2)因為爸爸追上小明行駛的路程為1804=720米，1000-720=280米所以，追上小明時，距離學(xué)校還有280米師通過做上面這個題，除了要學(xué)會用線段圖去尋找相等關(guān)系，從而建立模型方程，使問題得到解決外更重要的是有丟三落四的毛病的同學(xué)，要吸取小明的教訓(xùn)，自己的事自己處理好，免得父母操心議一議出示投影片(56C)育紅學(xué)校七年級的學(xué)生步行到郊外旅行(1)班的學(xué)生組成前隊，步行速度為4千米/時，(2)班的學(xué)生組成后隊，速度為6千米/時前隊出發(fā)1小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12千米/時根據(jù)上面的事實提出問題并嘗試解答(這是一個開放性問題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生交流、討論，然后大膽地提出問題，并試著利用方程去解決，并與同伴交流自己的問題和解決問題的過程)生我提出的問題是：后隊用多長時間可以追上前隊？生這個問題可用方程來解，只要找到這個問題等量關(guān)系即可根據(jù)題意畫線段圖如下：如果設(shè)后隊x小時可追上前隊，那么后隊行駛的路程為6x千米，前隊行駛的路程為(41+4x)千米根據(jù)線段圖可知：前隊行駛路程=后隊行駛的路程，由此可得方程6x=41+4x師這位同學(xué)分析得很到位下面請一位同學(xué)完整地寫出過程生解：設(shè)前隊被后隊追上用了x小時，根據(jù)題意，得6x=41+4x解，得x=2所以前隊被后隊追上需2小時生后隊在追前隊時，后隊派了一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車不停地在兩隊之間來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，那么這位聯(lián)絡(luò)員行了多少千米的路程師這個問題提得非常好如何解決呢？同學(xué)們可以先討論一下，也許解決起來不困難生我們認(rèn)為這個問題從整體上考慮較易因為聯(lián)絡(luò)員的速度是12千米/時，而且聯(lián)絡(luò)員是后隊出發(fā)時，派他在兩隊之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，由此我們知道聯(lián)絡(luò)員用去的時間恰好就是后隊追上前隊的時間即2小時，所以聯(lián)絡(luò)員行駛的路程為122=24千米師你真棒！我們祝賀你，在困難面前，你是一個勝利者大家應(yīng)該向你學(xué)習(xí)老師相信，我們每一位同學(xué)在遇到復(fù)雜的問題時，一定能樹立信心，樹立克服困難的勇氣生我還可以提出一個問題嗎？師完全可以我們歡迎他提出問題生當(dāng)聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊后，往回返，當(dāng)他和后隊相遇時，后隊離出發(fā)地有多遠(yuǎn)？師同學(xué)們可以討論，并相互交流一下自己的想法生我覺得這個問題要分兩步完成：第一步：設(shè)聯(lián)絡(luò)員x小時后可追上前隊，畫線段圖如下：根據(jù)題意，可得12x=41+4x解，得x=所以聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊用了小時第二步：這時，后隊離出發(fā)點6千米/時小時=3千米離前隊有(1+)4-3=3千米設(shè)y小時后，聯(lián)絡(luò)員又碰上了后隊，畫線段圖如下：根據(jù)題意，可得6y+12y=4(1+)-6解，得y=所以此時后隊離開出發(fā)點6+6=4千米師看來，同學(xué)們已能面對復(fù)雜問題祝賀你們關(guān)于這個題還能提出好多問題，同學(xué)們?nèi)粲信d趣，課余時間可繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，相信你們會有很大的收獲課時小結(jié)我們這節(jié)課學(xué)會了用線段圖來形象直觀地表達(dá)題意，找到等量關(guān)系更可喜的是，我們面對開放性的問題，能夠積極思維，大膽創(chuàng)新，這節(jié)課將是一節(jié)很難忘的課課后作業(yè)1習(xí)題592繼續(xù)合作完成P173議一議，大膽嘗試著去提出問題，解決問題活動與探究8個人分別乘兩輛小汽車趕往火車站，其中一輛小汽車在距離火車站15千米的地方出了故障，此時離火車站停止檢票的時間還有42分鐘，這時惟一可以利用的交通工具只有一輛小汽車，連司機在內(nèi)限乘5人，這輛小汽車的平均速度為60千米/時這8個人能趕上火車嗎？過程：這是開放性的問題，為學(xué)生提供了思維的空間可以分多種情形討論第一種情形：小汽車分2批送8個人如果第2批人在原地不動第二種情形：如果在汽車送第一批人的同時，其他人先步行，可節(jié)省一點時間第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人使得兩批人同時到達(dá)火車站，比較省時結(jié)果：第一種情形：小汽車需來回走153=45(千米)，所需時間為4560= (小時)=45分>42分因此單靠汽車來回接送無法使8人趕上火車第二種情形：如果設(shè)這些步行的速度為5千米/時，汽車送完第1批人后，用了x小時與第二批人相遇，根據(jù)題意有：5x+60x=15-5，解得x=，從汽車出故障開始，第二批人到達(dá)火車站要用+2=小時<42分因此不計其他時間的話，這8人能趕上火車第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中，一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人，使得兩批人同時到達(dá)火車站，那么比較省時，需要37分板書設(shè)計能追上小明嗎一、問題提出三、議一議距離=速度時間問題一：二、想一想、試一試問題二：(學(xué)生板演)問題三備課資料(一)學(xué)會解開放題隨著素質(zhì)教育的不斷深入，考查學(xué)生靈活運用的綜合能力成為熱點而開放性問題有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運用能力和創(chuàng)造性思維能力例1按要求運用數(shù)字135和25%編一道應(yīng)用題，要求：(1)要聯(lián)系市場經(jīng)濟，其解符合實際(2)數(shù)25%要用兩次(3)列出的方程是一元一次方程，寫出這道應(yīng)用題的整個解的過程解：依據(jù)題目要求可編出應(yīng)用題：某個體商店同時出售兩件衣服，每件售價都是135元，按進(jìn)價核算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%試問在這次銷售中，商店是虧還是賺？解這道應(yīng)用題，設(shè)其中一件進(jìn)價x元，另一件進(jìn)價y元，由題意，得x(1+25%)=135，則x=108；y(1-25%)=135，則y=1802135-(x+y)=-18因此是虧，虧了18元根據(jù)題目要求還可編出一道應(yīng)用題：某商店降價25%后，又提價25%，該商品現(xiàn)價為135元，問該商品原價多少元？解：設(shè)該商品原價x元，則(1-25%)(1+25)x=135解，得x=144所以該商品原價是144元例2下面是工廠各部門提供的信息：人事部：明年生產(chǎn)工人不多于800人，每年每人工時按2400工時計算；市場部：預(yù)測明年的產(chǎn)品銷量是1000012000件；技術(shù)部：該產(chǎn)品平均每件需用120工時，每件需要裝4個某種主要部件；供應(yīng)部：今年年終庫存某種主要部件6000個，明年可采購到這種部件60000個請判斷：(1)工廠明年的生產(chǎn)量至多為多少件？(2)為減少積壓，至多裁減多少人用于開發(fā)其他新產(chǎn)品解：(1)據(jù)人事部、技術(shù)部、供應(yīng)部的信息，明年生產(chǎn)量為x件，則4x=6000+60000，解得x=16500120x=8002400，解得x=16000受工時限制x應(yīng)取16000(2)據(jù)市場部信息，設(shè)應(yīng)裁減y人，則2400(800-y)=12000120解，得y=200應(yīng)裁減200人(二)參考練習(xí)列方程解應(yīng)用題1甲、乙兩人騎自行車，同時從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為175千米/時，乙的速度為15千米/時，經(jīng)過幾小時兩人相距325千米？2在一直的長河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時75千米，水流速度為每小時25千米，A、C兩地間的距離為10千米如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時，問乙船從B地到達(dá)C地時，甲船駛離B地有多遠(yuǎn)？答案：1解：(1)相遇前經(jīng)過x小時，甲、乙二人相距325千米，根據(jù)題意，得：(175+15)x+325=65x=1 (2)相遇后甲乙繼續(xù)前進(jìn)，設(shè)從出發(fā)到相遇后經(jīng)過x小時相距325千米，根據(jù)題意，得(175+15)x-325=65x=3所以經(jīng)過1小時或3小時甲、乙兩人相距325千米2解：設(shè)乙船由B地航行到C地用了x小時，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了(4-x)小時(1)若C地在A、B兩地之間，有(4-x)(75+25)-x(75-25)=10解，得x=2102=20千米(2)若C地不在A、B兩地之間，有x(75-25)-(4-x)(75+25)=10解，得x=10千米所以乙船從B地到達(dá)C地時甲船駛離B地有20千米或千米