0772《中學(xué)代數(shù)研究》2017秋《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)

單選題：1、用復(fù)數(shù)的棣莫弗公式，可以推導(dǎo)A. 一元二次方程的求根公式 B. 點到直線的距離公式 C. 三角函數(shù)的n倍角公式2.下列說法，哪一個是錯誤的：A. 戴德金分割和有理數(shù)區(qū)間套定義是等價的；B. 戴德金分割中對有理數(shù)集的分割滿足“不空”“不漏”“不亂”三個條件；C. 戴德金分割的下集存在最大數(shù)時，上集存在最小數(shù)。3、“等價關(guān)系”和“順序關(guān)系”的區(qū)別在于，前者具有：A. 反身性 B.對稱性 C.傳遞性4、高中代數(shù)課程的基本主線是： A. 方程 B. 函數(shù) C. 數(shù)列5、在中學(xué)代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)提倡的一個基本原則是：在注意形式化的同時，加強代數(shù)知識的-. A. 恒等變換 B. 形式推導(dǎo) C. 直觀理解6、點到直線的距離公式，可以用-推出：A. 排序不等式 B. 均值不等式 C. 柯西不等式7、有理數(shù)集可以與自然數(shù)集建立一一對應(yīng)的關(guān)系，這說明有理數(shù)集具有：A. 稠密性 B. 連續(xù)性 C. 可數(shù)性 D. 完備性8、加權(quán)平均不等式和下列哪種不等式有內(nèi)在聯(lián)系：A. 均值不等式 B. 柯西不等式 C. 排序不等式9、代數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)對象的運算的理論和方法的一門學(xué)科，根據(jù)數(shù)學(xué)對象的不同表現(xiàn)代數(shù)學(xué)可分為：A. 方程和函數(shù)；B. 數(shù)列和算法 C. 古典代數(shù)和近代代數(shù)；D. 抽象代數(shù)和近世代10、下列說法，哪個是正確的；A. 復(fù)數(shù)集是一個有序域；B. 復(fù)數(shù)可以排序；C. 復(fù)數(shù)可以比較大??；11、下列哪個說法是錯誤的:A. 用尺規(guī)作圖可以二等分角 B. 用尺規(guī)作圖可以畫出根號5的數(shù)C. 用尺規(guī)作圖可以三等分角 D. 用尺規(guī)作圖可以畫直線外一點到該直線的垂直線12、任意兩個有理數(shù)之間，均存在一個有理數(shù)，這說明有理數(shù)具有：A. 可數(shù)性；B. 連續(xù)性；C. 完備性 D. 稠密性精選文檔13、用下列哪種方法，對任意有限數(shù)列都可以給出該數(shù)列的通項表達式。A. 拉格朗日插值公式 B. 數(shù)列的母函數(shù) C. 高階數(shù)列的求和公式14、加權(quán)平均不等式和下列哪種不等式有聯(lián)系：A. 排序不等式 B. 均值不等式 C. 柯西不等式15、下列說法，哪一個是錯誤的：A. 自然數(shù)集是可數(shù)的；B. 有理數(shù)集是可數(shù)的；C. 實數(shù)集是可數(shù)的；16、兩個集合A和B的笛卡爾積的子集，被稱為A. 結(jié)構(gòu)；B. 關(guān)系；C. 序偶；D. 對偶17、不定方程求解的算理依據(jù)是：A. 孫子定理B. 單因子構(gòu)件法C. 輾轉(zhuǎn)相除法D. 拉格朗日插值法18、點到直線的距離公式，可以用-推出：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 加權(quán)平均不等式D. 排序不等式19、復(fù)數(shù)集按照“字典排序”關(guān)系，是一個 ：A.全序集B.有序域C.復(fù)數(shù)域20、兩個集合A和B的笛卡爾積的子集，被稱為 A. 序偶B. 結(jié)構(gòu)C. 對偶D. 關(guān)系21、一個收斂的有理數(shù)列，其極限可以不是有理數(shù)，這說明有理數(shù)不具有：A. 稠密性B. 可數(shù)性C. 連續(xù)性判斷題：22、在算法的教學(xué)中，應(yīng)當注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力。23、孫子算經(jīng)、周髀算經(jīng)、九章算術(shù)并稱為我國最古老的數(shù)學(xué)三大名著。24、“三等分角”是可解的。 (錯誤)25、在數(shù)學(xué)運算中，善于進行恒等變形是一項基本數(shù)學(xué)能力。26、在討論函數(shù)的復(fù)合運算時，使用函數(shù)的“變量說”定義比較方便。27、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大數(shù)，上集中有最小數(shù)。28、均值不等式和加權(quán)平均不等式是兩個不同的不等式，二者并沒有什么關(guān)系。29、實數(shù)集是可數(shù)的無窮集合30、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大數(shù)，上集中有最小數(shù)。精選文檔31、“孫子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。32、自然數(shù)的序數(shù)理論回答了一個集合含“多少個元”的問題。33、代數(shù)學(xué)一般有古典代數(shù)與近代代數(shù)之分。34、實數(shù)集是可數(shù)的。35、復(fù)數(shù)集是一個全序集。36、順序關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性。37、有理數(shù)集和自然數(shù)集具有相同的“勢”。38、斐波拉契數(shù)列和黃金分割數(shù)有密切的關(guān)系。39、0.999=1 （正確）40、形式冪級數(shù)的乘法運算定義是多項式乘法運算的推廣。41、戴德金分割中對有理數(shù)集的分割滿足“不空”、“不漏”、“不亂”三個條件。42、在自然數(shù)公理系統(tǒng)中“1”和“”是兩個沒有實質(zhì)意義的形式符號。43、代數(shù)基本定理所表現(xiàn)出的思想方法原則是“單因子構(gòu)件法。44、對于數(shù)軸上的有理數(shù)，我們有兩個相鄰的有理數(shù)的說法。45、代數(shù)學(xué)一般有古典代數(shù)與近代代數(shù)之分。46、在實數(shù)的定義方法上，“無窮小數(shù)定義說”和“有理數(shù)區(qū)間套定義說”并沒有本質(zhì)區(qū)別。47、無窮小不是一個理想的數(shù)。48、順序關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性。49、實數(shù)的有理數(shù)區(qū)間套定義和戴德金分割定義，兩種定義方法在本質(zhì)上是一致的。50、柯西不等式與余弦定理有內(nèi)在的聯(lián)系。51、算術(shù)到代數(shù)的演進加速了數(shù)系的形成。52、任何有理數(shù)的十進位小數(shù)表示式都是循環(huán)的。53、在討論函數(shù)的復(fù)合運算時，使用函數(shù)的“變量說”定義比較方便。54、自然數(shù)的基數(shù)理論反映了事物記數(shù)的順序性。55、三等分角問題、倍方問題和化圓為方問題被稱為古希臘的三大幾何作圖問題。精選文檔56、有理數(shù)對極限運算是封閉的。57、對于數(shù)軸上的有理數(shù)，我們有兩個相鄰的有理數(shù)的說法。58、對于有限數(shù)列來說，并不一定存在一個多項式函數(shù)，來表示它的通項。59、群是古典代數(shù)研究的對象。60、用尺規(guī)不能二等分角。61、我們可以把復(fù)數(shù)看成是滿足相應(yīng)運算法則的二元實數(shù)(a, b)。62、0與空集的基數(shù)相對應(yīng)，所以從集合論的角度看，0應(yīng)當是自然數(shù)。63、自然數(shù)系公理系統(tǒng)直接地保證了數(shù)學(xué)歸納法的合理性，所以，也可以把數(shù)學(xué)歸納法當作公理來看待。64、有理數(shù)對極限運算是封閉的。65、實數(shù)集是可數(shù)的。66、“中學(xué)代數(shù)教學(xué)”的一個基本原則是：在注意形式化的同時，加強代數(shù)知識的直觀理解。67、函數(shù)的“關(guān)系說”定義比“對應(yīng)說”定義更形式化。證明題：68、試用自然數(shù)（皮亞諾）公理系統(tǒng)證明數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)p(n)是關(guān)于自然數(shù)n 的命題，如果p(n)滿足下面的條件：（1）p(1)成立；（2）假定從P(k) 成立可以推出p(k+1)也成立，則命題p(n)對所有的自然數(shù)n 都成立。69、a b c 各不相等用柯西不等式證明下列不等式.docx精選文檔70、 試證明三維形式的均指不等式.docx71、在三角形ABC中排序不等式證明.docx在三角形ABC中，a,b,c為角A,B,C 所對的邊，求證：72、試證歐拉數(shù)e不是一個有理數(shù)精選文檔73、試證沒有一個有理數(shù)的平方等于5。證明：用反證法證明。 假設(shè)有理數(shù)滿足：，并且,于是。 因為5是素數(shù)，所以|。設(shè)。則有， 即得：，這說明5|。于是5是p,q的一個共因子，與(p,q)=1矛盾 故假設(shè)不成立。所以沒有一個有理數(shù)的平方等于5成立。74、試證任何一個有理數(shù)的平方都不等于5。證明：用反證法證明。 假設(shè)有理數(shù)滿足：，并且,于是。 因為5是素數(shù)，所以|。設(shè)。則有， 即得：，這說明5|。于是5是p,q的一個共因子，與(p,q)=1矛盾 故假設(shè)不成立。所以任何一個有理數(shù)的平方都不等于5成立。75、證明自然數(shù)的加法滿足交換律，即對于任意自然數(shù)a和b,有a+b=b+a.答案要點：我們要證交換律a+b=b+a.可以分以下兩步證明。.我們先證明等式a+1=1+a,因此對a用歸納法。設(shè)M是使等式成立的所有a的集合，顯然，1M，精選文檔如果aM,那么a+1=1+a,于是a+1=(a+1)+1=(1+a)+1=(1+a)=1+a,所以a M,由歸納公理，a+1=1+a.我們對b用歸納法，證明a+b=b+a,設(shè)M是對于給定a使得等式成立的所有b的集合，由已證知，1M，如果bM,那么a+b=b+a,利用已證過的結(jié)合律，得到a+b=(a+b)=(b+a)=b+a=b+(a+1)=b+(1+a)=(b+1)+a= b+a.所以b M,由歸納公理，故加法的交換律被證明。76、試用柯西不等式證明平面三角不等式.docx試用柯西不等式證明平面三角不等式精選文檔77、證明 pai與1/3的和是無理數(shù)。.docx證明與的和是無理數(shù)。論述題：78、試述算法學(xué)習(xí)的意義和作用答：算法是計算機理論和實踐的核心，也是是數(shù)學(xué)的最基本內(nèi)容之一?？梢赃@樣說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用之一是形成“算法思維”。算法有著悠久的發(fā)展歷史，中國古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)以算法為特色，取得了舉世矚目的輝煌成就。在已經(jīng)逐步進入信息化社會的今天，算法的基本知識、方法、思想日益融入人們社會生活的方方面面，已經(jīng)也應(yīng)該成為現(xiàn)代人所應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)。高中數(shù)學(xué)課程中的算法有以下幾個方面的作用：（1）算法學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生清晰思考問題、提高邏輯思維能力精選文檔在某種意義上，問題是數(shù)學(xué)的核心，對于很多數(shù)學(xué)問題，不論是代數(shù)問題還是幾何問題，算法框圖可以準確、清晰、直觀地展示解決問題的過程。一個算法常?？梢越鉀Q一類問題。因此，算法，一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度的抽象性、概括性和精確性。將解決具體問題的思路整理成算法的過程是一個條理化、精確化、邏輯化的過程，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。（2）算法學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的信息素養(yǎng)信息技術(shù)正在改變著人們的生活方式、學(xué)習(xí)方式和工作方式，掌握和使用信息技術(shù)已是現(xiàn)代人必備的素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)課程中已開設(shè)了信息技術(shù)課程。信息技術(shù)以計算機技術(shù)為核心，而計算機技術(shù)的核心則是算法。因此，算法的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解信息技術(shù)的本質(zhì)，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)。79、試述“中學(xué)代數(shù)研究”的研究方法？答：中學(xué)代數(shù)研究的一個主要目的就是將中學(xué)里“不嚴格的內(nèi)容”加以嚴格化。將中學(xué)代數(shù)知識嚴格化、系統(tǒng)化，有助于對數(shù)學(xué)知識有更深入地認識和了解；另外，還要為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，數(shù)學(xué)知識的講授應(yīng)當顧及到學(xué)生的心理，不應(yīng)只講究系統(tǒng)。中學(xué)代數(shù)研究的基本方法應(yīng)從如下三方面入手：(一).從較高的數(shù)學(xué)觀點來研究中學(xué)代數(shù)知識，加深對相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)理解；例：為什么復(fù)數(shù)不能比較大小在中學(xué)里，我們知道兩復(fù)數(shù)相等時當且僅當它們的實部等于實部，虛部等于虛部。如果問：兩復(fù)數(shù)不等時，它們有沒有大小關(guān)系？其實，復(fù)數(shù)之間能建立一種順序關(guān)系，即前后關(guān)系，但不能建立大小關(guān)系。我們可以將平面上的點“排隊”，即按照字典方法將復(fù)數(shù)排隊，兩個復(fù)數(shù)，先比較實部，實部較小的復(fù)數(shù)排在前面，如果實部相等，再比較虛部，以虛部小的復(fù)數(shù)排在前面。通過這種方式能將復(fù)平面上的點進行排序，由此可知復(fù)平面上的點是可以有順序的。那么為什么復(fù)數(shù)不能比較大小呢？要弄清這個問題，必須要弄清什么是大小關(guān)系？什么是有序域？在以后的學(xué)習(xí)中，我們會知道大小關(guān)系必須滿足兩種性質(zhì)，即加法保序性和乘法保序性，復(fù)數(shù)集是不能同時滿足這兩種性質(zhì)的，從而復(fù)數(shù)不能比較大小。在中學(xué)代數(shù)中，類似以上的例子還有很多，我們只有通過從較高的數(shù)學(xué)觀點出發(fā)，才能清楚地理解或回答類似的問題。(二).用有機聯(lián)系的觀點來研究，豐富對中學(xué)代數(shù)知識的理解；數(shù)學(xué)各知識間具有有機聯(lián)系性，這不僅表現(xiàn)在“高等數(shù)學(xué)”與“初等數(shù)學(xué)”之間，而且在數(shù)學(xué)知識的各分支中，尤其是“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。在以后有關(guān)不等式的學(xué)習(xí)中，我們會突出這一點，即抽象的代數(shù)形式一般具有直觀的幾何圖形給予說明和解釋。我們從幾何的角度去處理代數(shù)知識或反過來，當把這種方法用于教學(xué)中時，學(xué)生就不會感到代數(shù)只是一些抽象而枯燥的符號、公式、命題。這體現(xiàn)了“中學(xué)代數(shù)教學(xué)”的一個基本原則：形式化與直觀理解相結(jié)合。(三).適當注意對解題的研究，強化對中學(xué)代數(shù)知識理解的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)離不開解題，因此中學(xué)代數(shù)研究還要注意對解題方法的研究。當然，我們不主張“題海戰(zhàn)術(shù)”，只是適當注意對數(shù)學(xué)解題方法的研究而已。精選文檔80、進入21世紀之后，我國新頒布的高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）為什么要把“算法”列入必修課？答：算法由阿拉伯著名數(shù)學(xué)家阿爾花拉子米首先定義，其內(nèi)容包括加法、乘法、減法、除法等。算法是可定義為若干組含義明確的有窮規(guī)則，也是對特定問題求解步驟的一種描述，這種描述規(guī)定了解決某一特定類型問題的一系列運算。故算法具有五個特征：有窮性。確定性。可行性。輸入。輸出。算法具有許多的用途，在解答難易程度的題其算法往往不一，但算法擁有最核心的問題和最基礎(chǔ)的知識，如“先乘除，后加減”由內(nèi)向外去括號，通分母，利用分配律進行運算，運用計算公式等。算法作為一種核心觀念貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。故算法在高中課本上具有舉足輕重的作用，算法的教學(xué)框圖技能訓(xùn)練，是具有條理地，清晰的表達算法，也是因為框圖已經(jīng)為編程等也相當重要。算法可以給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來方便，也可提高學(xué)生的邏輯思維能力。故高中數(shù)學(xué)課程引入“算法”是明智的抉擇。81、請說明為什么復(fù)數(shù)不能比較大小。答：復(fù)數(shù)之間能建立一種順序關(guān)系，即前后關(guān)系，但不能建立大小關(guān)系。我們可以將平面上的點“排隊”，即按照字典方法將復(fù)數(shù)排隊，兩個復(fù)數(shù)，先比較實部，實部較小的復(fù)數(shù)排在前面，如果實部相等，再比較虛部，以虛部小的復(fù)數(shù)排在前面。通過這種方式能將復(fù)平面上的點進行排序，由此可知復(fù)平面上的點是可以有順序的。大小關(guān)系必須滿足兩種性質(zhì)，即加法保序性和乘法保序性，復(fù)數(shù)集盡管按照字典排序法可構(gòu)成一個序集，但這個序關(guān)系不能同時滿足加法保序性和乘法保序性。在這個意義上說，復(fù)數(shù)不能比較大小。82、為什么有理數(shù)一定可以寫成循環(huán)小數(shù)的形式，反之，任何一個循環(huán)小數(shù)也可寫成有理數(shù)的形式？精選文檔83、方程的定義是什么？并說出這樣定義的好處？答：目前中學(xué)數(shù)學(xué)教科書通用的方程定義是：含有未知數(shù)的等式叫做方程。這個定義用的是“種+屬差”的邏輯定義方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知數(shù)的”等式。由于它簡潔明了，能為大家所認同和接受。這個定義注重外觀的描述，指出方程是通過已知數(shù)“求”未知數(shù)而產(chǎn)生的等量關(guān)系。但是“種+屬差”的定義方式往往只能識別一個對象是不是方程，但是卻無法從中獲得方程的思想實質(zhì)。識別不同于認識和理解。打個比方，我們可以通過照片識別一個人的外貌，卻無法了解一個人的全部特質(zhì)以及他的精神世界。這里我們給出一個可以取代的定義：“方程是為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系”。這樣定義的好處是：（1）它揭示了方程這一數(shù)學(xué)思想方法的目標：為了求未知數(shù)；（2）陳述了“已知數(shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系； （3）方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個等式關(guān)系。84、試述“中學(xué)代數(shù)研究”的研究方法？答：長期以來，對中學(xué)代數(shù)的研究存在一種單一的“嚴格化”傾向，即對中學(xué)代數(shù)知識用成熟的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，邏輯地建立起來，中學(xué)代數(shù)研究的一個主要目的就是將中學(xué)里“不嚴格的內(nèi)容”加以嚴格化。我們并不反對要將中學(xué)代數(shù)知識嚴格化、系統(tǒng)化，畢竟這有助于對數(shù)學(xué)知識有更深入地認識和了解，但是單純地為嚴格化而嚴格化，就失去了中學(xué)代數(shù)研究的重要目的。正如F.克萊因指出的，我們當然要用較高的觀點處理初等數(shù)學(xué)知識，只有觀點越高，事物越顯得簡單；另外，還要為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，數(shù)學(xué)知識的講授應(yīng)當顧及到學(xué)生的心理，不應(yīng)只講究系統(tǒng)。為此，我們認為中學(xué)代數(shù)研究的基本方法應(yīng)從如下三方面入手：精選文檔(一).從較高的數(shù)學(xué)觀點來研究中學(xué)代數(shù)知識，加深對相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)理解；例：為什么復(fù)數(shù)不能比較大小在中學(xué)里，我們知道兩復(fù)數(shù)相等時當且僅當它們的實部等于實部，虛部等于虛部。如果問：兩復(fù)數(shù)不等時，它們有沒有大小關(guān)系？其實，復(fù)數(shù)之間能建立一種順序關(guān)系，即前后關(guān)系，但不能建立大小關(guān)系。我們可以將平面上的點“排隊”，即按照字典方法將復(fù)數(shù)排隊，兩個復(fù)數(shù)，先比較實部，實部較小的復(fù)數(shù)排在前面，如果實部相等，再比較虛部，以虛部小的復(fù)數(shù)排在前面。通過這種方式能將復(fù)平面上的點進行排序，由此可知復(fù)平面上的點是可以有順序的。那么為什么復(fù)數(shù)不能比較大小呢？要弄清這個問題，必須要弄清什么是大小關(guān)系？什么是有序域？在以后的學(xué)習(xí)中，我們會知道大小關(guān)系必須滿足兩種性質(zhì)，即加法保序性和乘法保序性，復(fù)數(shù)集是不能同時滿足這兩種性質(zhì)的，從而復(fù)數(shù)不能比較大小。在中學(xué)代數(shù)中，類似以上的例子還有很多，我們只有通過從較高的數(shù)學(xué)觀點出發(fā)，才能清楚地理解或回答類似的問題。(二).用有機聯(lián)系的觀點來研究，豐富對中學(xué)代數(shù)知識的理解；數(shù)學(xué)各知識間具有有機聯(lián)系性，這不僅表現(xiàn)在“高等數(shù)學(xué)”與“初等數(shù)學(xué)”之間，而且在數(shù)學(xué)知識的各分支中，尤其是“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。在以后有關(guān)不等式的學(xué)習(xí)中，我們會突出這一點，即抽象的代數(shù)形式一般具有直觀的幾何圖形給予說明和解釋。我們從幾何的角度去處理代數(shù)知識或反過來，當把這種方法用于教學(xué)中時，學(xué)生就不會感到代數(shù)只是一些抽象而枯燥的符號、公式、命題。這體現(xiàn)了“中學(xué)代數(shù)教學(xué)”的一個基本原則：形式化與直觀理解相結(jié)合。(三).適當注意對解題的研究，強化對中學(xué)代數(shù)知識理解的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)離不開解題，因此中學(xué)代數(shù)研究還要注意對解題方法的研究。當然，我們不主張“題海戰(zhàn)術(shù)”，只是適當注意對數(shù)學(xué)解題方法的研究而已。85、為什么有理數(shù)一定可以寫成循環(huán)小數(shù)的形式，反之，任何一個循環(huán)小數(shù)也可寫成有理數(shù)的形式？答：有理數(shù)一定可以寫成循環(huán)小數(shù)：在一般地推公式：中，不妨設(shè)，由此得出：b是精選文檔86、試述函數(shù)概念的歷史發(fā)展，以及說明高中以函數(shù)為課程主線的具體體現(xiàn)及要求，并簡要闡述函數(shù)概念引入的教學(xué)策略。答：1.在函數(shù)概念發(fā)展史中，先后經(jīng)歷了“變量說”、“對應(yīng)說”及“關(guān)系說”三種不同定義方式的發(fā)展過程。首先，1755年，歐拉對函數(shù)作了如下定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”這是函數(shù)的早期定義之一，它比較直觀，現(xiàn)在，在初中數(shù)學(xué)教材就基本采用了這一定義。即一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x 與y ，如果變量y 隨著x 的變化而變化，那么就說x 是自變量，y 是因變量，也稱y 是x 的函數(shù)。我們把這一定義，稱為函數(shù)的“變量說”。其次，數(shù)學(xué)家康托爾的集合論出現(xiàn)后，人們開始用集合之間的“對應(yīng)”來定義函數(shù)概念，函數(shù)被明確地定義為集合之間的“對應(yīng)”?，F(xiàn)在，在高中的數(shù)學(xué)教材中，我們就基本采用了函數(shù)的這一定義：函數(shù)的“對應(yīng)說”定義：設(shè)A ,B為非空數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)法則f ，對A 中每個元x 按照對應(yīng)法則f ，在B中有唯一的一個元素y 與之對應(yīng)，則稱這樣的對應(yīng)f 叫做集合A到集合B上的函數(shù)，記為 f :AB。后來，1914年，法國數(shù)學(xué)家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合來定義函數(shù)，而不用對應(yīng)一詞。在序偶定義及二元關(guān)系的基礎(chǔ)上，形成了函數(shù)定義的“關(guān)系說”：設(shè)X 與Y是兩個集合，而f是X與Y笛卡爾積的子集，如果對于每一個x X,有唯一的y Y,使得（x ,y ）f ,則稱關(guān)系f 為X 到Y(jié)的函數(shù)，記作：f :XY。2、函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條課程主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中。特別是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。表現(xiàn)在：精選文檔（1）函數(shù)與方程：方程可看做函數(shù)的局部性質(zhì)，如何利用函數(shù)的整體性質(zhì)來討論函數(shù)的局部性質(zhì)？這是解決方程問題的基本思想。（2）函數(shù)與數(shù)列：等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。（3）函數(shù)與不等式用函數(shù)的觀點來討論不等式的問題，無論是對于理解函數(shù)的思想，還是解不等式的有關(guān)問題，都是非常有益的，有助于更好地理解這些知識本身和解決相關(guān)問題。（4）函數(shù)與線性規(guī)劃解線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵的就是以下三步：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。（5）函數(shù)與算法在算法中，最基本和重要的結(jié)構(gòu)之一是循環(huán)結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)是通過給循環(huán)變量賦值來實現(xiàn)循環(huán)的，用函數(shù)來刻畫循環(huán)變量，可把循環(huán)變量看做“運算次數(shù)”的函數(shù)。3、在高中函數(shù)概念的教學(xué)中，我們應(yīng)當注意以下教學(xué)策略：（1）在函數(shù)概念建構(gòu)之前，通過引發(fā)學(xué)生的認知沖突，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的“順應(yīng)”；（2）在建構(gòu)函數(shù)概念時，需要選擇適宜的數(shù)學(xué)原型，利用數(shù)學(xué)原型歸納概括概念；（3）在剖析函數(shù)概念時，將需要關(guān)注的問題和關(guān)鍵點融入到具體的問題中，請學(xué)生思考；（4）在鞏固函數(shù)概念時，提供類型豐富的題目（如表格對應(yīng)、圖形表示對應(yīng)以及其它集合對應(yīng)等），根據(jù)學(xué)生程度，設(shè)計有梯度的練習(xí)。87、試述函數(shù)概念的歷史發(fā)展，以及說明高中以函數(shù)為課程主線的具體體現(xiàn)及要求，并簡要闡述函數(shù)概念引入的教學(xué)策略。答：1.在函數(shù)概念發(fā)展史中，先后經(jīng)歷了“變量說”、“對應(yīng)說”及“關(guān)系說”三種不同定義方式的發(fā)展過程。首先，1755年，歐拉對函數(shù)作了如下定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”這是函數(shù)的早期定義之一，它比較直觀，現(xiàn)在，在初中數(shù)學(xué)教材就基本采用了這一定義。即一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x 與y ，如果變量y 隨著x 的變化而變化，那么就說x 是自變量，y 是因變量，也稱y 是x 的函數(shù)。我們把這一定義，稱為函數(shù)的“變量說”。其次，數(shù)學(xué)家康托爾的集合論出現(xiàn)后，人們開始用集合之間的“對應(yīng)”來定義函數(shù)概念，函數(shù)被明確地定義為集合之間的“對應(yīng)”?，F(xiàn)在，在高中的數(shù)學(xué)教材中，我們就基本采用了函數(shù)的這一定義：函數(shù)的“對應(yīng)說”定義：設(shè)A ,B為非空數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)法則f ，對A 中每個元x 按照對應(yīng)法則f ，在B中有唯一的一個元素y 與之對應(yīng)，則稱這樣的對應(yīng)f 叫做集合A到集合B上的函數(shù)，記為 f :AB。后來，1914年，法國數(shù)學(xué)家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合來定義函數(shù)，而不用對應(yīng)一詞。精選文檔在序偶定義及二元關(guān)系的基礎(chǔ)上，形成了函數(shù)定義的“關(guān)系說”：設(shè)X 與Y是兩個集合，而f是X與Y笛卡爾積的子集，如果對于每一個x X,有唯一的y Y,使得（x ,y ）f ,則稱關(guān)系f 為X 到Y(jié)的函數(shù)，記作：f :XY。2、函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條課程主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中。特別是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。表現(xiàn)在：（1）函數(shù)與方程：方程可看做函數(shù)的局部性質(zhì)，如何利用函數(shù)的整體性質(zhì)來討論函數(shù)的局部性質(zhì)？這是解決方程問題的基本思想。（2）函數(shù)與數(shù)列：等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。（3）函數(shù)與不等式用函數(shù)的觀點來討論不等式的問題，無論是對于理解函數(shù)的思想，還是解不等式的有關(guān)問題，都是非常有益的，有助于更好地理解這些知識本身和解決相關(guān)問題。（4）函數(shù)與線性規(guī)劃解線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵的就是以下三步：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。（5）函數(shù)與算法在算法中，最基本和重要的結(jié)構(gòu)之一是循環(huán)結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)是通過給循環(huán)變量賦值來實現(xiàn)循環(huán)的，用函數(shù)來刻畫循環(huán)變量，可把循環(huán)變量看做“運算次數(shù)”的函數(shù)。3、在高中函數(shù)概念的教學(xué)中，我們應(yīng)當注意以下教學(xué)策略：（1）在函數(shù)概念建構(gòu)之前，通過引發(fā)學(xué)生的認知沖突，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的“順應(yīng)”；（2）在建構(gòu)函數(shù)概念時，需要選擇適宜的數(shù)學(xué)原型，利用數(shù)學(xué)原型歸納概括概念；（3）在剖析函數(shù)概念時，將需要關(guān)注的問題和關(guān)鍵點融入到具體的問題中，請學(xué)生思考；（4）在鞏固函數(shù)概念時，提供類型豐富的題目（如表格對應(yīng)、圖形表示對應(yīng)以及其它集合對應(yīng)等），根據(jù)學(xué)生程度，設(shè)計有梯度的練習(xí)。88、什么是數(shù)學(xué)表達能力？請在算法的教學(xué)中舉一例說明如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力答：所謂數(shù)學(xué)表達能力，是指將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點、思想、方法、過程等， 用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言（包括自然語言、數(shù)學(xué)圖形語言、數(shù)學(xué)符號語言等）準確流暢地表達出來的能力。數(shù)學(xué)語言根據(jù)其表達形式的不同，可分為自然語言、圖形語言和符號語言。這三種形式的數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，扮演著各自不同的作用。自然語言易表達，圖形語言直觀形象，而符號語言抽象、嚴謹、準確。讓學(xué)生掌握好這三種語言各自的特點，使培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)表達能力的基本條件。根據(jù)這三種語言的各自特點，使學(xué)生由易而難，依次掌握不同的數(shù)學(xué)語言是培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達能力的基本途徑。在算法教學(xué)中，我們可以用自然語言敘述算法，也可以用程序框圖表示算法，還可以用算法語句編寫程序使計算機執(zhí)行算法。自然語言描述的算法步驟、程序框圖和程序是不同形式的算法，依次由自然語言、精選文檔過渡到程序框圖，再到算法語句，這體現(xiàn)了算法逐漸“精確”的過程。例：設(shè)計一個計算1+2+3+100的值的算法，并畫出程序框圖。(高中人教版必修3 ，P13)首先，用自然語言表達：寫出1之后，先算1+2，所得的和再加3，所得的和再加4，所得的和再加5,以此類推，一直加到100。即，第1步，0+1=1.第2步，1+2=3.第3步，3+3=6.第4步，6+4=10.第100步，4950+100=5050.其次，用順序結(jié)構(gòu)程序框圖表示，并認識到對此進行簡化的必要性。如下圖：到這里，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，提出能否簡化順序結(jié)構(gòu)框圖。根據(jù)學(xué)生的認知，初步形成循環(huán)框圖，引出循環(huán)結(jié)構(gòu)的概念。精選文檔通過以上由易而難的教學(xué)程序，能使學(xué)生更好地理解所學(xué)的算法結(jié)構(gòu)，也為以后學(xué)習(xí)算法語句奠定了基礎(chǔ)。89、試述算法學(xué)習(xí)的意義和作用答：算法是計算機理論和實踐的核心，也是是數(shù)學(xué)的最基本內(nèi)容之一?？梢赃@樣說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用之一是形成“算法思維”。算法有著悠久的發(fā)展歷史，中國古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)以算法為特色，取得了舉世矚目的輝煌成就。在已經(jīng)逐步進入信息化社會的今天，算法的基本知識、方法、思想日益融入人們社會生活的方方面面，已經(jīng)也應(yīng)該成為現(xiàn)代人所應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)。高中數(shù)學(xué)課程中的算法有以下幾個方面的作用：（1）算法學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生清晰思考問題、提高邏輯思維能力在某種意義上，問題是數(shù)學(xué)的核心，對于很多數(shù)學(xué)問題，不論是代數(shù)問題還是幾何問題，算法框圖可以準確、清晰、直觀地展示解決問題的過程。一個算法常?？梢越鉀Q一類問題。因此，算法，一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度的抽象性、概括性和精確性。將解決具體問題的思路整理成算法的過程是一個條理化、精確化、邏輯化的過程，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。（2）算法學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的信息素養(yǎng)信息技術(shù)正在改變著人們的生活方式、學(xué)習(xí)方式和工作方式，掌握和使用信息技術(shù)已是現(xiàn)代人必備的素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)課程中已開設(shè)了信息技術(shù)課程。信息技術(shù)以計算機技術(shù)為核心，而計算機技術(shù)的核心則是算法。因此，算法的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解信息技術(shù)的本質(zhì)，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)。90、試述函數(shù)概念的歷史發(fā)展及中學(xué)兩種函數(shù)概念的異同，說明中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的認知難點及教學(xué)策略。精選文檔答：函數(shù)概念的歷史發(fā)展：在函數(shù)概念發(fā)展史中，先后經(jīng)歷了“變量說”、“對應(yīng)說”及“關(guān)系說”三種不同定義方式的發(fā)展過程。首先，1755年，歐拉對函數(shù)作了如下定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”這是函數(shù)的早期定義之一，它比較直觀，現(xiàn)在，在初中數(shù)學(xué)教材就基本采用了這一定義。即一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x 與y ，如果變量y 隨著x 的變化而變化，那么就說x 是自變量，y 是因變量，也稱y 是x 的函數(shù)。我們把這一定義，稱為函數(shù)的“變量說”。其次，數(shù)學(xué)家康托爾的集合論出現(xiàn)后，人們開始用集合之間的“對應(yīng)”來定義函數(shù)概念，函數(shù)被明確地定義為集合之間的“對應(yīng)”?，F(xiàn)在，在高中的數(shù)學(xué)教材中，就基本采用了函數(shù)的這一定義：函數(shù)的“對應(yīng)說”定義：設(shè)A ,B為非空數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)法則f ，對A 中每個元x 按照對應(yīng)法則f ，在B中有唯一的一個元素y 與之對應(yīng)，則稱這樣的對應(yīng)f 叫做集合A到集合B上的函數(shù)，記為 f :AB。后來，1914年，法國數(shù)學(xué)家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合來定義函數(shù)，而不用對應(yīng)一詞。在序偶定義及二元關(guān)系的基礎(chǔ)上，形成了函數(shù)定義的“關(guān)系說”：設(shè)X 與Y是兩個集合，而f是X與Y笛卡爾積的子集，如果對于每一個x X,有唯一的y Y,使得（x ,y ）f ,則稱關(guān)系f 為X 到Y(jié)的函數(shù)，記作：f :XY。中學(xué)兩種函數(shù)概念的異同：初中定義函數(shù)：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x在某一范圍的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中定義函數(shù)：設(shè)A，B為兩個為非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)。記作y=f(x)，xA。區(qū)別在于初中描述比較抽象，用的是更自然的語言，高中隨著集合和映射的認識學(xué)習(xí)，對函數(shù)這一概念定義更為嚴謹。認知難點和教學(xué)策略：在高中函數(shù)概念的教學(xué)中，我們應(yīng)當注意以下教學(xué)策略：（1）在函數(shù)概念建構(gòu)之前，通過引發(fā)學(xué)生的認知沖突，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的“順應(yīng)”；（2）在建構(gòu)函數(shù)概念時，需要選擇適宜的數(shù)學(xué)原型，利用數(shù)學(xué)原型歸納概括概念；（3）在剖析函數(shù)概念時，將需要關(guān)注的問題和關(guān)鍵點融入到具體的問題中，請學(xué)生思考；（4）在鞏固函數(shù)概念時，提供類型豐富的題目（如表格對應(yīng)、圖形表示對應(yīng)以及其它集合對應(yīng)等），根據(jù)學(xué)生程度，設(shè)計有梯度的練習(xí)。91、寫出自然數(shù)（皮亞諾）公理系統(tǒng)的內(nèi)容。答：皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設(shè)，是數(shù)學(xué)家皮亞諾(皮阿羅)于1899年提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。包括以下五條公理：(1)1是自然數(shù)；(2)任一自然數(shù)都有唯一自然數(shù)為其后繼數(shù)；(3)沒有兩個相異自然數(shù)有同一后繼數(shù)；(4)1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；(5)如果1有性質(zhì)p，且任何具有性質(zhì)p的自然數(shù)其后繼數(shù)也具有性質(zhì)p，則一切自然數(shù)都有性質(zhì)p。上述(5)就是數(shù)學(xué)歸納法原理。所有自然數(shù)的性質(zhì)，都可由皮亞諾公理導(dǎo)出。精選文檔92、試給出函數(shù)的“變量說”、“對應(yīng)說”、“關(guān)系說”三種定義。答：函數(shù)的變量說定義：一般的，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果變量y隨著x的變化而變化，那么就說x是自變量，y是因變量，也稱y是x的函數(shù)。X的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的對應(yīng)說定義：設(shè)A為非空實數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)規(guī)律f，對A中每個元x按照對應(yīng)規(guī)律f，存在R中唯一的一個實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)律f是定義在A上的函數(shù)，表為f:AR。集合A稱為函數(shù)f的定義域，元x所對應(yīng)的y值稱為x的函數(shù)值，表為y=f(x).函數(shù)的關(guān)系定義說：93、什么是數(shù)學(xué)表達能力？請在算法的教學(xué)中舉一例說明如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力？答：所謂數(shù)學(xué)表達能力，是指將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點、思想、方法、過程等， 用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言（包括自然語言、數(shù)學(xué)圖形語言、數(shù)學(xué)符號語言等）準確流暢地表達出來的能力。數(shù)學(xué)語言根據(jù)其表達形式的不同，可分為自然語言、圖形語言和符號語言。這三種形式的數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，扮演著各自不同的作用。自然語言易表達，圖形語言直觀形象，而符號語言抽象、嚴謹、準確。讓學(xué)生掌握好這三種語言各自的特點，使培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)表達能力的基本條件。根據(jù)這三種語言的各自特點，使學(xué)生由易而難，依次掌握不同的數(shù)學(xué)語言是培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達能力的基本途徑。在算法教學(xué)中，我們可以用自然語言敘述算法，也可以用程序框圖表示算法，還可以用算法語句編寫程序使計算機執(zhí)行算法。自然語言描述的算法步驟、程序框圖和程序是不同形式的算法，依次由自然語言、過渡到程序框圖，再到算法語句，這體現(xiàn)了算法逐漸“精確”的過程。 （注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!） 精選文檔