《小學(xué)奧數(shù)》小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)講義之精講精練第34講置換問(wèn)題含答案

第 34 講 置換問(wèn)題一、專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 置換問(wèn)題主要是研究把有數(shù)量關(guān)系的兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而幫助我們 找到解題方法的一類(lèi)典型的應(yīng)用題。“雞兔同籠”問(wèn)題就是一種比較典型的置 換問(wèn)題。解答置換問(wèn)題一般用轉(zhuǎn)換和假設(shè)這兩種數(shù)學(xué)思維方法。解答置換問(wèn)題應(yīng)注意下面兩點(diǎn)：1、根據(jù)數(shù)量關(guān)系把兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而找出解題方法；2、把兩種數(shù)量假設(shè)為一種數(shù)量，從而找出解題方法。二、精講精練例 1 20 千克蘋(píng)果與 30 千克梨共計(jì) 132 元， 2 千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)與 2.5 千克梨的 價(jià)錢(qián)相等。求蘋(píng)果和梨的單價(jià)。練習(xí)一1、6只雞和 8只小羊共重 78千克，已知 5 只雞的重量等于 2 只小羊的重量，求 每只雞和每只小羊的重量。12、商店里有甲種鋼筆和乙種圓珠筆，已知 2 支鋼筆的價(jià)錢(qián)與 15 支圓珠筆的價(jià) 錢(qián)相等。老師買(mǎi)了 4 支鋼筆和 6 支圓珠筆，共付 72元，每支鋼筆和每支圓珠筆 各多少元？例 2 用 2 臺(tái)水泵抽水，小水泵抽 6 小時(shí)，大水泵抽 8 小時(shí)，一共抽水 312 立方 米。小水泵 5 小時(shí)的抽水量等于大水泵 2 小時(shí)的抽水量，兩種水泵每小時(shí)各抽 水多少立方米？練習(xí)二1、學(xué)校買(mǎi)回 6 張桌子和 6張椅子共用去 192元。已知 3張桌子的價(jià)錢(qián)和 5把椅子的價(jià)錢(qián)相等，每張桌子和每把椅子各多少元？22、快慢兩車(chē)先后從相距 864千米的甲、乙兩地出發(fā)，快車(chē)行 12 小時(shí)，慢車(chē)行 4 小時(shí)后，兩車(chē)在途中相遇。已知快車(chē) 6 小時(shí)行的路程與慢車(chē) 7 小時(shí)行的路程相 等，求快、慢兩車(chē)的速度。例 3 一件工作，甲做 5 小時(shí)以后由乙來(lái)做， 3 小時(shí)可以完成；乙做 9 小時(shí)以后 由甲來(lái)做，也是 3 小時(shí)可以完成。那么甲做 1 小時(shí)以后由乙來(lái)做幾小時(shí)可以完 成？練習(xí)三1、王老師去買(mǎi)筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。他所帶的錢(qián)正好買(mǎi) 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆，或 者買(mǎi) 3 支鋼筆和 10 支圓珠筆。如果王老師買(mǎi) 1支鋼筆，剩下的錢(qián)可以買(mǎi)多少支 圓珠筆？2、一輛卡車(chē)最多能載 40 袋大米和 40袋面粉，或者載 10袋大米和 100袋面粉 現(xiàn)在卡車(chē)上已載有 20 袋大米，最多還能載多少袋面粉？例 4 5 輛玩具汽車(chē)與 3架飛機(jī)玩具的價(jià)錢(qián)相等，每架飛機(jī)玩具比每輛玩具汽車(chē)貴 8 元。這兩種玩具的單價(jià)各是多少元？練習(xí)四1、2 支鋼筆的價(jià)錢(qián)和 3支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相等，一支圓珠筆比一支鋼筆便宜6 元錢(qián)。兩種筆的單價(jià)各是多少元？2、師徒二人加工同樣多的零件，師傅用了 3小時(shí)，徒弟用了 5 小時(shí)。已知師傅 每小時(shí)比徒弟多做 6 個(gè)零件。二人各做了多少個(gè)零件？例 5 一段布料可做 18件同樣的上衣和 9 條同樣的褲子，或者做 14 件同樣的上 衣和 15 條同樣的褲子。那么，全做上衣能做多少件？4練習(xí)五1、一個(gè)籠子能容納 18只同樣在的兔子和 9 只同樣大的雞，或者容納 14只同樣大的兔子和 15 只同樣大的雞。如果這個(gè)籠子用了裝兔子，一共能容納多少只這樣的兔子？2、小明去買(mǎi)同一種筆和同一種橡皮，所帶的兒能買(mǎi) 8 支筆和 4 塊橡皮，或買(mǎi) 6 支筆和 12 塊橡皮。結(jié)果他用這些錢(qián)全部買(mǎi)了筆，請(qǐng)問(wèn)他能買(mǎi)幾支？三、課后作業(yè)1、用兩種汽車(chē)運(yùn)貨，如果 2 輛大汽車(chē)的載重正好等于 3 輛小汽車(chē)的載重，且 5 輛大汽車(chē)和 6 輛小汽車(chē)一次共運(yùn) 54 噸貨。求每輛大汽車(chē)比每輛小汽車(chē)多裝幾噸 貨？2、師徒二人加工一批零件，師傅加工 10 小時(shí)，徒弟加工 4 小時(shí)，二人共加工 了 198 個(gè)零件。如果師傅 4 小時(shí)的工作量與徒弟 5 小時(shí)的工作量相等，那么， 他們二人平均每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？3、買(mǎi) 2 條床單和 3 條毛巾共用 210元，買(mǎi)同樣的 3 條床單和 2 條毛巾共用 280 元。買(mǎi)一條床單用多少錢(qián)？買(mǎi)一條毛巾用多少錢(qián)？4、汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，行完全程用了 3小時(shí)，返回時(shí)用了 4 小時(shí)。已知這輛 汽車(chē)去時(shí)比返回時(shí)每小時(shí)快 12 千米，甲、乙兩地相距多少千米？5、一輛卡車(chē)正好裝滿(mǎn)了 12 箱蘋(píng)果和 25 箱桔子，搬下 3 箱蘋(píng)果后，空下的地方 正好能放 5 箱桔子。這輛卡車(chē)如果全部裝桔子要比全部裝蘋(píng)果多裝幾箱？第 34 周 置 換 問(wèn) 題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：置換問(wèn)題主要是研究把有數(shù)量關(guān)系的兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而幫助我們找到解題方法的一類(lèi)典型的 應(yīng)用題。“雞兔同籠”問(wèn)題就是一種比較典型的置換問(wèn)題。解答置換問(wèn)題一般用轉(zhuǎn)換和假設(shè)這兩種數(shù)學(xué)思 維方法。解答置換問(wèn)題應(yīng)注意下面兩點(diǎn)：1根據(jù)數(shù)量關(guān)系把兩種數(shù)量轉(zhuǎn)換成一種數(shù)量，從而找出解題方法；2,把兩種數(shù)量假設(shè)為一種數(shù)量，從而找出解題方法。例1 20千克蘋(píng)果與30千克梨共計(jì)132元，2千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)與 2.5千克梨的價(jià)錢(qián)相等。 求蘋(píng)果和梨的單 價(jià)。分析2千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)與 2.5千克梨的價(jià)錢(qián)相等，那么，20千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)就與 25千克梨的價(jià)錢(qián)相等。132+( 25+ 30) =2.4元，即每千克梨 2.4元。知道了梨的單價(jià)，再求蘋(píng)果的單價(jià)就方便了。蘋(píng)果的單價(jià)是：(132 2.4 X 30)+ 20=3元。練習(xí)一1, 6只雞和8只小羊共重78千克，已知5只雞的重量等于 2只小羊的重量， 求每只雞和每只小羊的重量。 答案設(shè)雞羊分別是x,y則 6x+8y=785x=2y解方程組得x=3,y=7.5所以雞羊分別重3,7.5kg2, 商店里有甲種鋼筆和乙種圓珠筆，已知2支鋼筆的價(jià)錢(qián)與15支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相等。老師買(mǎi)了4支鋼筆和6支圓珠筆，共付72元，每支鋼筆和每支圓珠筆各多少元？答案解:每支圓珠筆的價(jià)格:72 v (15 v 2x4+ 6)2(元)每支鋼筆的價(jià)格(2x15) v 2答:每支鋼筆15元海支圓珠筆2元解析首先根據(jù)2支鋼筆和15支圓珠筆的價(jià)錢(qián)一樣多，可得4支鋼筆和30支圓珠筆的價(jià)錢(qián)一樣多，所以30 + 6 = 36（支）圓珠筆的價(jià)格是72元;然后根據(jù)單價(jià)二總價(jià)數(shù)量,用72除以36,求出每支圓珠筆的價(jià)格，進(jìn)而求出每支鋼筆的價(jià)格是多少即可3,用兩種汽車(chē)運(yùn)貨，如果 2輛大汽車(chē)的載重正好等于3輛小汽車(chē)的載重，且 5輛大汽車(chē)和6輛小汽車(chē)次共運(yùn)54噸貨。求每輛大汽車(chē)比每輛小汽車(chē)多裝幾噸貨？答案兩輛大汽車(chē)二三輛小汽車(chē)所以一輛大汽車(chē)=1.5輛小汽車(chē)五輛大汽車(chē)=沂門(mén) = 7輛小汽車(chē)54 r - h = 4每輛小汽車(chē)的載重為噸每輛大汽車(chē)的載重為噸每輛大汽車(chē)比每輛小汽車(chē)多裝2噸貨例2用2臺(tái)水泵抽水，小水泵抽 6小時(shí)，大水泵抽8小時(shí)，一共抽水 312立方米。小水泵 5小時(shí)的抽水 量等于大水泵2小時(shí)的抽水量，兩種水泵每小時(shí)各抽水多少立方米？分析 因?yàn)榇笏?小時(shí)的抽水量等小水泵 5小時(shí)的抽水量，所以，大水泵 8小時(shí)的抽水量應(yīng)該等于小水 泵8十2X 5=20小時(shí)的抽水量。因此， 312立方米的水就相當(dāng)于小水泵（6+ 20）小時(shí)的抽水量了。小水泵每小時(shí)抽水是 312-（ 6+ 20） =12立方米，大水泵每小時(shí)抽水12X 5- 2=30立方米。1, 學(xué)校買(mǎi)回6張桌子和6張椅子共用去192元。已知3張桌子的價(jià)錢(qián)和5把椅子的價(jià)錢(qián)相等，每張桌子 和每把椅子各多少元？答案解:因?yàn)?張桌子+6把椅子ru元,所以3張桌子+3把椅子=元,， 又因?yàn)?張桌子的價(jià)錢(qián)和5把椅子的價(jià)錢(qián)相等， 所以8把椅子的價(jià)錢(qián)二汪I；元所以1把椅子12元,i張桌子的價(jià)錢(qián)(192-12x6)4-6m匸20元、12元.（元）.答:桌子和每把椅子各是解析根據(jù)題意6張桌子和6把椅子共用去192元得出,3張桌子和3把椅子共用去96元, 又因?yàn)?張桌子的價(jià)錢(qián)和5把椅子的價(jià)錢(qián)相等，把3張桌子的價(jià)錢(qián)換成5把椅子,得出5 把椅子和3把椅子共用去96元，得出1把椅子的價(jià)錢(qián)，然后求出1張桌子的價(jià)錢(qián). 此題考查簡(jiǎn)單的等量代換，解決此題的關(guān)鍵是有 6張桌子和6把椅子共用去192元得 出,3張桌子和3把椅子共用去96元，把3張桌子的價(jià)錢(qián)換算成5把椅子的價(jià)錢(qián).2,快慢兩車(chē)先后從相距864千米的甲、乙兩地出發(fā)，快車(chē)行12小時(shí)，慢車(chē)行4小時(shí)后，兩 車(chē)在途中相遇。已知快車(chē)6小時(shí)行的路程與慢車(chē)7小時(shí)行的路程相等，求快、慢兩車(chē)的速度。 解：設(shè)設(shè)慢車(chē)速度為 4x，快車(chē)速度為5x .5x X12+4x >7=140888x=1 408x=164x=64， 5x=80答：快車(chē)的速度是每小時(shí)行 80千米，慢車(chē)的速度是每小時(shí)行 64千米.故答案為：80; 64本題考查相遇問(wèn)題基本的數(shù)量關(guān)系以及按比例分配的運(yùn)用.根據(jù)已知條件得出快慢車(chē)的速度比， 然后設(shè)未知數(shù)列方程解答 .這里相等的數(shù)量關(guān)系是快慢車(chē)的路程和等于總路 程.解析從題中可知快車(chē)與慢車(chē)的速度比是 5: 4,可以設(shè)慢車(chē)速度為4x，快車(chē)速度為5x,根 據(jù)題意列方程解答 .3，師徒二人加工一批零件，師傅加工 10 小時(shí)，徒弟加工 4 小時(shí)，二人共加工了 198 個(gè)零件。如果師傅 4 小時(shí)的工作量與徒弟 5 小時(shí)的工作量相等，那么，他們二人平均每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？答案解：設(shè)師傅每小時(shí)的工作量為 X,則徒弟每小時(shí)的工作量是 4/5 x.所以4x+ 10X 4/5 x= 180,解得x = 15, 4/5 x = 12, 15 + 12= 27,所以?xún)扇嗣啃r(shí)一共加工零件 27個(gè). 本題關(guān)鍵是找出師傅與徒弟每小時(shí)工作量的數(shù)量關(guān)系 .解析師傅和徒弟每小時(shí)的工作量都是未知數(shù)，師傅4 個(gè)小時(shí)的工作量與徒弟 5 小時(shí)的工作量相等，所以徒弟的工作量是師傅的 4/5 .根據(jù)已知條件列方程 .例 3 一件工作，甲做 5 小時(shí)以后由乙來(lái)做， 3 小時(shí)可以完成；乙做 9 小時(shí)以后由甲來(lái)做，也是 3 小時(shí)可 以完成。那么甲做 1 小時(shí)以后由乙來(lái)做幾小時(shí)可以完成？分析 把題中兩組已知條件進(jìn)行對(duì)比，甲少做（ 53）小時(shí)，乙就要多做（ 93）小時(shí)，也就是甲 2 小時(shí) 的工作量和乙 6 小時(shí)的工作量相等，甲 1小時(shí)的工作量和乙 3 小時(shí)的工作量相等。這件工作全部由甲做需 要用5 + 3- 3=6小時(shí)，現(xiàn)在甲先做1小時(shí)，剩下5小時(shí)的工作量由乙來(lái)做，乙必須用 5X 3=15小時(shí)才能完 成。練習(xí)三1 ,王老師去買(mǎi)筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。他所帶的錢(qián)正好買(mǎi)4 支圓珠筆和 5 支鋼筆,或者買(mǎi) 3 支鋼筆和 10 支圓珠筆。如果王老師買(mǎi) 1 支鋼筆,剩下的錢(qián)可以買(mǎi)多少支圓珠筆？ 解：王老師買(mǎi)帶的錢(qián)正好買(mǎi) 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆,或者買(mǎi) 3支鋼筆和 10 支圓珠筆 所以 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆的價(jià)錢(qián)與 3支鋼筆和 10 支圓珠筆相等 得到 2 支鋼筆與 6 支圓珠筆的價(jià)格相等所以1支鋼筆價(jià)錢(qián)3支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相等4支鋼筆的價(jià)錢(qián)可以買(mǎi)12支圓珠筆若王老師買(mǎi)1支鋼筆，它還可以買(mǎi)(12+4)支圓珠筆王老師買(mǎi)1支鋼筆，剩下的錢(qián)可以買(mǎi)16支圓珠筆答：剩下的錢(qián)可以買(mǎi)16支圓珠筆.故答案為：16支本題考查我們同學(xué)關(guān)于加減乘除的簡(jiǎn)單運(yùn)算，本題中，要求出答案，必須計(jì)算出1支鋼筆的價(jià)錢(qián)與多少支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相當(dāng)，做題要細(xì)心，看清楚本題描述的鋼筆與圓珠 筆的個(gè)數(shù).解析王老師買(mǎi)帶的錢(qián)正好買(mǎi) 4支圓珠筆和5支鋼筆，或者買(mǎi)3支鋼筆和10支圓珠筆，所以4支圓珠筆和5支鋼筆的價(jià)錢(qián)與3支鋼筆和10支圓珠筆相等，求出1支鋼筆與幾支圓 珠筆的價(jià)格相等2, 一輛卡車(chē)最多能載 40袋大米和40袋面粉，或者載10袋大米和100袋面粉。現(xiàn)在卡車(chē)上已載有 20袋 大米，最多還能載多少袋面粉？答案設(shè)卡車(chē)載重量為y,大米重a,面粉重bH = 40a + 4仙=1 帥 + UH)b右邊的等式得，代入上式現(xiàn)有20袋大米,即20a設(shè)還需要x袋面粉，y = 2( )a + b 工120b = 40& + hr3, 買(mǎi)2條床單和3條毛巾共用210元，買(mǎi)同樣的3條床單和2條毛巾共用280元。買(mǎi)一條床單用多少錢(qián)？買(mǎi)一條毛巾用多少錢(qián)？ 答案解：一條毛巾和一條床單的價(jià)錢(qián)（210+280）少=490 吒=98（元）一條毛巾的價(jià)錢(qián)210-98 邀=210 - 196=14（元 ）一條床單的價(jià)錢(qián)280-98 邀=280-196=84（元）答：買(mǎi)一條床單用 84 元，買(mǎi)一條毛巾用 14元.解析根據(jù)題意可知，5條床單和5條毛巾共490元，則1條床單和1條毛巾為490話=98元, 2條床單和2條毛巾為98=196（元），所以一條毛巾的價(jià)等于 2條床單和3條毛巾的 價(jià)錢(qián)210元減去196元.同理求得床單價(jià)錢(qián)即280-98邀=84（兀）.此題主要考查了物品單價(jià)問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是求出一條毛巾和一條床單的價(jià)錢(qián)， 再用給出的已知條件分別求出每條毛巾的價(jià)錢(qián)和每條床單的價(jià)錢(qián) .例4 5 輛玩具汽車(chē)與 3架飛機(jī)玩具的價(jià)錢(qián)相等，每架飛機(jī)玩具比每輛玩具汽車(chē)貴 8元。這兩種玩具的單 價(jià)各是多少元？分析 因?yàn)槊考芡婢唢w機(jī)比每輛玩具汽車(chē)貴8元，所以，3架玩具飛機(jī)就比 3輛玩具汽車(chē)貴8X 3=24元。由于 5 輛玩具汽車(chē)與 3 架玩具飛機(jī)的價(jià)錢(qián)相等，因此，這 24 相當(dāng)于（ 53）輛玩具汽車(chē)的價(jià)錢(qián)，每輛玩具汽車(chē)是24十2=12元，每架玩具飛機(jī)的價(jià)錢(qián)就是 12+ 8=20元。練習(xí)四1，2 支鋼筆的價(jià)錢(qián)和 3 支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相等，一支圓珠筆比一支鋼筆便宜 6 元錢(qián)。兩種筆的單價(jià)各是多少元？ 答案解：設(shè)鋼筆的單價(jià)是 X那么圓珠筆的單價(jià)是（X-6）元，依題意可列方程：2x=（X- 5）*32x= 3X- 18X=18X 6 = 18-6 = 12（元）.答：鋼筆的單價(jià)是18元，圓珠筆的單價(jià)是12元.故答案為：18元；12元.列方程解決求兩個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，一般的我們?cè)O(shè)一個(gè)未知數(shù)為X根據(jù)兩者之間的關(guān)系，用含X的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)等量關(guān)系列方程求解解析根據(jù)2支鋼筆的價(jià)錢(qián)和3支圓珠筆的價(jià)錢(qián)相等，可以找出題中的等量關(guān)系，即：鋼筆的單價(jià)& =圓珠筆的單價(jià)X3假設(shè)鋼筆的單價(jià)是 x那么圓珠筆的單價(jià)是（-6）元，列方程求解.2, 師徒二人加工同樣多的零件，師傅用了3小時(shí)，徒弟用了 5小時(shí)。已知師傅每小時(shí)比徒弟多做6個(gè)零件。二人各做了多少個(gè)零件？答案解：3 >6 訊5 3） = 9（個(gè)）9+ 6= 15（個(gè)）徒弟9個(gè)，師傅15個(gè)解析先算出師傅3小時(shí)比徒弟3小時(shí)多做多少個(gè)，即為徒弟2小時(shí)做的數(shù)量.尋找置換中等量關(guān)系.3, 汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，行完全程用了3小時(shí)，返回時(shí)用了 4小時(shí)。已知這輛汽車(chē)去時(shí)比返回時(shí)每小時(shí)快12千米，甲、乙兩地相距多少千米？答案設(shè)甲乙兩地相距 X千米這輛汽車(chē)去時(shí)比返回時(shí)每小時(shí)快12千米答:甲乙兩地相距144千米例5 一段布料可做18件同樣的上衣和 9條同樣的褲子，或者做14件同樣的上衣和15條同樣的褲子。那 么，全做上衣能做多少件？分析 把兩組條件進(jìn)行比較，做（18- 14）件上衣的布料可以做（15- 9）條褲子，也就是 2件上衣的布 料和3條褲子的布料同樣多。9條褲子的布料可以做 9- 3 X 2=6件上衣，所以，一共能做18+ 6=24件上衣。 練習(xí)五1, 一個(gè)籠子能容納18只同樣在的兔子和 9只同樣大的雞，或者容納14只同樣大的兔了和15只同樣大的雞。如果這個(gè)籠子用了裝兔子，一共能容納多少只這樣的兔子？答案（18+9+14+15 ） /2=16 兔+12 雞 18 兔 +9 雞=16 兔 +12 雞 2 兔=3 雞 9 雞=6 兔18+6=242, 小明去買(mǎi)同一種筆和同一種橡皮，所帶的兒能買(mǎi) 8支筆和4塊橡皮，或買(mǎi)6支筆和12塊橡皮。結(jié)果他用這些錢(qián)全部買(mǎi)了筆，請(qǐng)問(wèn)他能買(mǎi)幾支？答案解屯丸社耳U =鉗專(zhuān)區(qū)=尬II= 8+1答結(jié)果他用這些錢(qián)全部買(mǎi)了筆，他能買(mǎi)9支.因此，本題正確答案是9解析所帶的錢(qián)能買(mǎi)8支筆和4塊橡皮，或買(mǎi)6支筆和12塊橡皮,由此可以知道:買(mǎi). 支 筆的錢(qián)可以買(mǎi)塊橡皮,由此可以得出買(mǎi)1支筆的錢(qián)可以買(mǎi)4塊橡皮，然后根據(jù)所帶的錢(qián)能買(mǎi)8支筆和4塊橡皮”即可得出所帶的錢(qián)全部買(mǎi)了筆，他能買(mǎi)支；由此即可得出答案.3, 一輛卡車(chē)正好裝滿(mǎn)了 12箱蘋(píng)果和25箱桔子，搬下3箱蘋(píng)果后，空下的地方正好能放 5箱桔子。這輛卡 車(chē)如果全部裝桔子要比全部裝蘋(píng)果多裝幾箱？答案吃箱蘋(píng)果_3箱蘋(píng)果_ /亠倍 9（4倍 箱橘子-箱橘子總共能裝:20藥=G箱橘子25箱橘了 _ .匚箱橘r 計(jì)倍5倍箱蘋(píng)果 箱蘋(píng)果寫(xiě)財(cái)吃箱蘋(píng)果多裝箱15