高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 數(shù)列的概念課件

2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第三章數(shù)列數(shù)列的概念 考點(diǎn)考 綱 解 讀1數(shù)列概念及幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)以an與Sn的關(guān)系為條件考查通項(xiàng)公式的求法.2數(shù)列的函數(shù)特征以函數(shù)為載體學(xué)會(huì)用函數(shù)的思想方法解決相關(guān)數(shù)列問題,考查數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì). 本節(jié)是數(shù)列整章的基礎(chǔ),也是高考?？嫉幕A(chǔ)知識(shí).在新課標(biāo)的要求中,降低了相應(yīng)問題的難度,明確提出要通過日常生活實(shí)例來了解數(shù)列的概念,并把通項(xiàng)公式歸為幾種簡單表示方法中其中一種,與列表法、圖象法放在同等地位,所以預(yù)測(cè)2013年高考中涉及本節(jié)知識(shí)的試題若為選擇題或填空題,屬于基礎(chǔ)題,難度不大,若為綜合題,難度一般也不大,當(dāng)然不排除出現(xiàn)難題.復(fù)習(xí)過程中注意解題的規(guī)范性,技巧性及效率,不能在基礎(chǔ)題中失分,注意用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題. 1.數(shù)列的概念數(shù)列是按一定的次序排列的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它有有限子集)的函數(shù)f(n),當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1),f(2),f(3),f(n),通常用an來代替f(n),其圖象是一群孤立點(diǎn).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系,如果可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示,那么我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一,且不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.3.數(shù)列的分類(1)按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分為:有窮數(shù)列、無窮數(shù)列;(2)按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分為:遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,常數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列;(3)按任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都大于某一正數(shù)分為:有界數(shù)列和無界數(shù)列;4.數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系:數(shù)列an中,Sn=a1+a2+a3+an;an= 由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an時(shí),要分n=1和n2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算,然后驗(yàn)證這兩種情形是否可用統(tǒng)一的式子表示,若不能,就采用類似分段函數(shù)的形式表示.5.數(shù)列的性質(zhì)11(1),(2).nnS nSSn(1)數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列an中,如果對(duì)于任意的nN*,都有an+1an成立,那么我們就說數(shù)列an為遞增數(shù)列;如果對(duì)于任意的nN*,都有an+1an成立,那么我們就說數(shù)列an為遞減數(shù)列;(2)數(shù)列的周期性在數(shù)列an中,若存在正整數(shù)k,對(duì)nN*都有an+k=an,則數(shù)列an是周期數(shù)列,且周期為k.6.Sn的最值(1)若已知Sn,則可依據(jù)函數(shù)最值的求法計(jì)算(其中nN*);(2)若已知an,則Sn取最值時(shí)n(nN*)的值可由 或 來確定. 10,0nnaa10,0nnaa1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=25-2n,下列各數(shù)中不是an的項(xiàng)的是( )(A)1. (B)-1. (C)2. (D)3.【解析】令1=25-2n,得n=12,同理-1和3都是數(shù)列中的項(xiàng),C不是.【答案】C2.觀察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,根據(jù)上述規(guī)律,第四個(gè)等式為 .【解析】第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和,右邊為1到i+1和的完全平方,所以第四個(gè)等式為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2 3.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為( )(A)15. (B)16. (C)49. (D)64.【解析】a8=S8-S7=64-49=15.【答案】A4.在數(shù)列an中,an+1= (nN*),且a7=,則a5等于( )(A). (B). (C)1. (D)-1.【解析】由an+1= (nN*)得an= ,又a7=,所以a6=,a5=1.【答案】C 22nnaa12232522nnaa1122nnaa1223 題型1歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式例1 (1)數(shù)列1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式是( )(A)n2-n+1. (B).(C)n(n-1). (D).(1)2n n(1)2n n(2)若數(shù)列的前四項(xiàng)為2,0,2,0,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不可能是( )(A)an=1+(-1)n+1. (B)an=1-cos n.(C)an=2sin2. (D)an=1+(-1)n.2n【分析】找出數(shù)列的通項(xiàng)公式,應(yīng)注意觀察數(shù)列中an和n的聯(lián)系與變化情況,應(yīng)特別注意:自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列,(-1)n和相關(guān)數(shù)列,等差、等比數(shù)列,以及由它們組成的數(shù)列,從中找出規(guī)律性,并分別寫出通項(xiàng)公式.在選擇題中,可以用特例法或排除法得到結(jié)果.【解析】(1)令n=1,2,3,4,驗(yàn)證答案.(2)當(dāng)n=1時(shí),D中a1=0不符合題意.【答案】(1)D (2)D【點(diǎn)評(píng)】(1)聯(lián)想和轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法.(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,應(yīng)運(yùn)用觀察、分析、歸納、驗(yàn)證的方法.易錯(cuò)之處在于每個(gè)數(shù)列由前幾項(xiàng)找規(guī)律不準(zhǔn)確,以及觀察、分析、歸納、驗(yàn)證這四個(gè)環(huán)節(jié)做得不夠多,應(yīng)注意對(duì)每一數(shù)列認(rèn)真找出規(guī)律并驗(yàn)證.變式訓(xùn)練1 (1)設(shè)數(shù)列 , ,2 , , ,則4 是這個(gè)數(shù)列的( )(A)第9項(xiàng). (B)第10項(xiàng).(C)第11項(xiàng). (D)第12項(xiàng).25211142(2)數(shù)列-,-,-,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .【解析】(1)由條件可知an= ,4 = = .1234781516313223(1)n23223(11 1)(2)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù),偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù),所以借助(-1)n來確定符號(hào).易看出各項(xiàng)分母分別為21,22,23,24,25,且每一項(xiàng)的分子比分母少1,所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)n.212nn【答案】(1)C (2)an=(-1)n 212nn例2 (1)(2011年豐臺(tái)二模)已知數(shù)列an中,a1=,an=1- (n2),則a2011等于( )(A)-. (B)-. (C). (D).3511na12233552 題型2數(shù)列的周期性(2)已知數(shù)列2012,2013,1,-2012,-2013,-1,這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)的和,則前2013項(xiàng)的和S2013的值為 .【分析】(1)由已知可知a2=-,a3=,a4=,a5=-,所以數(shù)列是周期數(shù)列,周期為3;(2)由題意可知an+1+an-1=an;an+an+2=an+1;兩式相加即可得到an+2=-an-1,an+3=-an,從而聯(lián)想到函數(shù)的周期性可以得到an+6=an,從而確定出數(shù)列an的周期性.23523523【解析】(1)由遞推公式得a2=-,a3=,a4=,a5=-,所以數(shù)列是周期數(shù)列,周期為3,于是a2011=a6703+1=a1=.2352352335(2)由題意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,兩式相加即可得到an+2=-an-1.an+3=-an可得到an+6=an;即是以6為周期的數(shù)列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又2013=3356+3,a1+a2+a3+a2013=a1+a2+a3=2012+2013+1=4026.即S2013=4026.【答案】(1)C (2)4026【點(diǎn)評(píng)】觀察是數(shù)學(xué)研究中最基本的方法,而“周期現(xiàn)象”又是數(shù)學(xué)規(guī)律中一個(gè)十分重要的規(guī)律,數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性類似,可以借鑒.解題中要總結(jié)規(guī)律,當(dāng)遇到遞推公式同時(shí)所求的項(xiàng)較大,往往就是數(shù)列的周期性變化規(guī)律,同學(xué)們要認(rèn)真分辨.變式訓(xùn)練2 (1)設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列xn滿足x0=5,且對(duì)任意nN均有xn+1=f(xn),則x2013的值為( )(A)1. (B)2. (C)4. (D)5.x12345f(x)41352(2)已知數(shù)列an滿足an+1=an-an-1(n2),a1=a,a2=b,設(shè)Sn=a1+a2+an,則下列結(jié)論正確的是( )(A)a100=-a,S100=2b-a. (B)a100=-b,S100=2b-a.(C)a100=-b,S100=b-a. (D)a100=-a,S100=b-a.【解析】(1)x1=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,所以x0=x4,可知是以4為周期的數(shù)列,所以x2013=x1=2.(2)an+1=an-an-1=an-1-an-2-an-1=-an-2,an+1=an-5.數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.a100=a616+4=a4=-a,S6=0,S100=S4=2b-a.【答案】(1)B (2)A 題型3數(shù)列的增減性與最值例3設(shè)f(n)=1+,g(n)=ln n(nN*).設(shè)an=f(n)-g(n),求a1,a2,a3,并證明an為遞減數(shù)列.【分析】由通項(xiàng)公式分別求出數(shù)列的前幾項(xiàng),根據(jù)遞減數(shù)列的定義證明數(shù)列的單調(diào)性.注意利用構(gòu)造函數(shù)法來解決問題,對(duì)復(fù)雜的函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解決其單調(diào)性問題.12131n【解析】(1)an=1+-ln n.由此a1=1,a2=-ln 2,a3=-ln 3.又an+1-an=ln n-ln(n+1)+ =ln(1- )+ .構(gòu)造函數(shù)h(x)=ln(1-x)+x,x(0,1).12131n3211611n11n11n由h(x)=1- =- 0時(shí),h(x)h(0)=0.取x= (0,1),有h( )0即an+1-an0.故an為遞減數(shù)列.11x1xx11n11n【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列的單調(diào)性等性質(zhì)是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容.有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、有界性等問題,都可以借助于數(shù)列的單調(diào)性來研究,必須牢固掌握這類問題的解決方法,常用方法有作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性等方法,特別要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與數(shù)列單調(diào)性的結(jié)合問題.變式訓(xùn)練3 (1)已知an= (nN*),則數(shù)列an的最大項(xiàng)是( )(A)第12項(xiàng). (B)第13項(xiàng).(C)第12項(xiàng)或第13項(xiàng). (D)不存在.2156nn (2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=,則an為( )(A)遞增數(shù)列. (B)遞減數(shù)列.(C)從某項(xiàng)后為遞減數(shù)列. (D)從某項(xiàng)后為遞增數(shù)列.【解析】(1)由已知得,an= = ;由函數(shù)的知識(shí)即可知n=12或13時(shí)an最大.!10nn2156nn 1156nn(2)an+1=an ,從第11項(xiàng)開始遞增.【答案】(1)C (2)D110n例4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=2-bn. 題型4利用an與Sn的關(guān)系解題(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí),cn+1cn.2na【分析】由an= 可求出an和bn,這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一,在求出an和bn后,進(jìn)而得到cn,接下來用作差法與作商法來比較大小,這也是一常用方法.【解析】(1)由于a1=S1=4,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-2(n-1)2+2(n-1)=4n,an=4n(nN*).又當(dāng)n2時(shí)bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn,2bn=bn-1.又b1=1.11(1),(2),nna nSSn數(shù)列bn是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為,bn=()n-1.1212(2)由(1)知c1=b1=16, = = ,由1得 1,即n3.又n3時(shí) 1成立,即 0恒成立.因此,當(dāng)且當(dāng)僅n3時(shí),cn+1cn.21a1nncc21 121116(1)( )2116( )2nnnn 22(1)2nn1nncc22(1)2nn22(1)2nn1nncc【點(diǎn)評(píng)】已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,相當(dāng)于間接給出了n2時(shí)的an,千萬要注意到不可忽視當(dāng)n=1時(shí),a1=S1從而進(jìn)一步求得nN*時(shí)的an,務(wù)必驗(yàn)證兩種情形是否可用統(tǒng)一的式子表示,若不能,就采用類似分段函數(shù)的形式表示.1.注意歸納總結(jié)通項(xiàng),分類討論思想等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.2.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是近幾年來命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn),an= 的考查,不僅要能夠靈活地運(yùn)用它來分析、解決問題,更重要的是掌握公式推導(dǎo)的思想方法,并能夠把這一思想類比遷移到其他問題,達(dá)到舉一反三的效果. 1*nn 1a (1),SS(2,N )nnn