江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《放縮法與反證法證明不等式 新人教A版選修45

不等式的證明不等式的證明復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法: 比較法、綜合法、分析法比較法、綜合法、分析法反證法反證法 先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件,應(yīng)應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到矛盾，說(shuō)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到矛盾，說(shuō)明假設(shè)不正確，從而間接說(shuō)明原命題成立的方法。明假設(shè)不正確，從而間接說(shuō)明原命題成立的方法。1.x y02.1 x 12.yxyyx例 已知 ，且試證：，中至少有一個(gè)小于例題例例2、已知、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求證：求證：a, b, c 0 證：設(shè)證：設(shè)a 0, bc 0, 則則b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾，矛盾， 必有必有a 0 同理可證：同理可證：b 0, c 0例例3、設(shè)、設(shè)0 a, b, c 641 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4, 在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：小，實(shí)現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是傳遞性。的依據(jù)就是傳遞性。放縮法放縮法例例1、若、若a, b, c, d R+，求證：，求證：21 caddbdccacbbdbaa證：記證：記m =caddbdccacbbdbaa a, b, c, d R+ 1 cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同時(shí) 1 m 2 即原式成立即原式成立2.111abab例 已知a,b是實(shí)數(shù)，求證:a+bab 法法： bbaababa111證明：在時(shí)，顯然成立.0ba當(dāng)時(shí)，左邊 0ba111ba1|11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法：函數(shù)的方法法：函數(shù)的方法*32.2()n n n 例 求證：111（ n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求證：，求證：R略解略解小結(jié) 在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有在證明不等式過(guò)程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是定理的依據(jù)就是定理2（傳遞性性質(zhì)）（傳遞性性質(zhì)）課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1、當(dāng)、當(dāng) n 2 時(shí)，求證：時(shí)，求證：1)1(log)1(log nnnn 證：證：n 2 0)1(log, 0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2時(shí)時(shí), 1)1(log)1(log nnnn課堂練習(xí)課堂練習(xí)2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2, 求證：求證：p+q2課堂小結(jié)課堂小結(jié) 證明不等式的特殊方法證明不等式的特殊方法: （1）放縮法：放縮法：對(duì)不等式中的有關(guān)式子進(jìn)行對(duì)不等式中的有關(guān)式子進(jìn)行 適當(dāng)?shù)姆趴s實(shí)現(xiàn)證明的方法。適當(dāng)?shù)姆趴s實(shí)現(xiàn)證明的方法。 （2）反證法：反證法：先假設(shè)結(jié)論的否命題成立，先假設(shè)結(jié)論的否命題成立， 再尋求矛盾，推翻假設(shè)，從而證明結(jié)再尋求矛盾，推翻假設(shè)，從而證明結(jié) 論成立的方法。論成立的方法。