江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《第四講：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》課件 新人教A版選修45

1.1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立驗(yàn)證第一個(gè)命題成立( (即即nn0 0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n的值，如的值，如n0 01 1) ) (歸納奠基）歸納奠基） ； 2.2.假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n= =k時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n= =k1 1時(shí)命題也時(shí)命題也成立成立(歸納遞推）歸納遞推）. .數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法: 關(guān)于正整數(shù)關(guān)于正整數(shù)n的命題的命題( (相當(dāng)于多米諾骨牌相當(dāng)于多米諾骨牌),),我們可我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：以采用下面方法來(lái)證明其正確性： 由由(1)(1)、(2)(2)知，對(duì)于一切知，對(duì)于一切nn0 0的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立！都成立！用上假設(shè)，遞推才真用上假設(shè)，遞推才真注意注意:遞推基礎(chǔ)不可少遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.答案答案證明貝努利不等式你有第二種方法嗎？證明貝努利不等式你有第二種方法嗎？例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N*，n2求證：求證：(1+x)n1+nx.（2）假設(shè)）假設(shè)n=k(k2)時(shí)，不等式成立，即時(shí)，不等式成立，即 (1+x)k1+kx當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)閤 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左邊左邊=(1+x)k+1證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)，左時(shí)，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右,n=2時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立 =(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊右邊=1+(k+1)x因?yàn)橐驗(yàn)閗x20，所以左邊右邊，即，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立時(shí)也成立根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)，原不等式對(duì)任何不小于，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立都成立.1答案答案2答案答案你能根據(jù)上面不等式推出均值不等式嗎？你能根據(jù)上面不等式推出均值不等式嗎？1.求證求證:222111112(,2).23nN nnn 證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= ,右邊右邊= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 215124 13222 53,42 (2)假設(shè)假設(shè)n=k( )時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即 ,2kN k 222111112.23kk 則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),222221111111223(1)(1)kkkk 211111111222()2.(1)(1)11kkkk kkkkk 即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題成立命題成立.由由(1)、(2)原不等式對(duì)一切原不等式對(duì)一切 都成立都成立. ,2nN n 1.求證求證:222111112(,2).23nN nnn