內蒙古呼倫貝爾市高三數學總復習《不等式的解法》課件

第十九講第十九講 不等式的解法不等式的解法走進高考第一關走進高考第一關 考點關考點關回回 歸歸 教教 材材1.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法任何一個一元一次不等式經化簡整理可得任何一個一元一次不等式經化簡整理可得axb(a0)的形式的形式.(1)當當a0時時,解集為解集為x|x ;(2)當當a0時時,解集為解集為x|x0(A0)或或AX2+BX+C0).(2)求出相應一元二次方程的根求出相應一元二次方程的根.(3)利用二次函數的圖象與利用二次函數的圖象與X軸的交點確定一元二次不等式的軸的交點確定一元二次不等式的解集解集.3.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集判別式判別式=b2-4ac0=00)的圖象的圖象一元二次方一元二次方程程ax2+bx+c=0(a0)的根的根有兩相異實有兩相異實根根x1,x2(x10(a0)的解集的解集x|xx2x|x- Rax2+bx+c0)的解集的解集 x|x1x0(A0)恒成立的條件是恒成立的條件是5.AX2+BX+C0(A0)恒成立的條件是恒成立的條件是6.在解不等式時應注意以下兩點在解不等式時應注意以下兩點(1)每步變形必須是等價的每步變形必須是等價的,即同解變形即同解變形,否則就會產生多解或否則就會產生多解或漏解的情況漏解的情況.(2)換元法是轉化復雜問題為簡單問題的重要手段換元法是轉化復雜問題為簡單問題的重要手段,要注意運要注意運用用. a00. a00考考 點點 訓訓 練練1.(2009北京卷北京卷)設集合設集合A=- x2,B=x|x21,則則AB=( )A.x|-1x2B.x|- x1C.x|x2D.x|1x21212答案答案:A解析解析:B=x|-1x1,AB=x|-1x2.2.(2009安徽卷安徽卷)若集合若集合A=X|(2X+1)(X-3)0,B=XN*|X5,則則AB是是( )A.1,2,3B.1,2C.4,5D.1,2,3,4,5答案答案:B解析解析:A=x|- x3,B=1,2,3,4,5,AB=1,2.123.(2009山東卷山東卷)在在R上定義運算上定義運算:AB=AB+2A+B,則滿足則滿足X(X-2)0的實數的實數X的取值范圍是的取值范圍是( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)答案答案:B解析解析:根據題意得根據題意得:x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-20,解得解得-2xF(1)的解集是的解集是( )A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3),2x4x6 x0 x6 x0答案答案:A :163,x3;,3x0.( )(, )( ,). 2f 114x0 x00 x1x24x63x1x3x0 x0 x63x3f xf 13 13解析或或的解集為5.(2009江西卷江西卷)若不等式若不等式 K(X+1)的解集為區(qū)間的解集為區(qū)間,且且B-A=1,則則K=_.24x32答案:,:,(),( ,),b2,a1.ba1.303k.1 122y4xyk x11 013解析 畫的圖象如圖由圖像可知只有當直線過時滿足此時解讀高考第二關解讀高考第二關 熱點關熱點關題型一題型一 不等式的解法不等式的解法例例1解下列不等式解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)x2-3x+52;(4)-6x2+3x-20.(5) 223x5x2x3: ( )(),1,2,21|x.2( )()5110,. 221222134222502x3x20 xxx x22341x3x50解方程有兩個實數根原不等式的解集為或方程沒有實數根原不等式的解集為()6 x20,()21 20,3,1,3x |1x1.()0 .()20 .R . 22122233 x6433x1x3333346 x3 x2346不 等 式 變 形 為方 程 有 兩 個 實 數 根原 不 等 式 的 解 集 為不 等 式 可 轉 化 為不 等 式 的 解 集 為 ()0.()()0,0()0,1. 22223x552x2x32xx1x2x3x2x32x1x1x3x1x3x原 不 等 式 可 化 為整 理 得，即且如圖所示如圖所示由圖可知由圖可知,原不等式的解集為原不等式的解集為X|X1.12點評點評:(1)解一元二次不等式解一元二次不等式,首先應把二次項系數化為正數首先應把二次項系數化為正數,然然后解方程后解方程AX2+BX+C=0(A0).利用二次函數利用二次函數Y=AX2+BX+C(A0)的圖象與的圖象與X軸交點情況軸交點情況,寫出不等式的解寫出不等式的解集集.(2)解分式不等式時解分式不等式時,要轉化為整式不等式要轉化為整式不等式,但要注意分母不為但要注意分母不為零零.:2 x30 ;x ;2 x130 ;3 x10 .()22211x2xx54x1變 式解 下 列 不 等 式解解:(1)不等式可化為不等式可化為X2-2X+30.=(-2)2-413XX(X-1)0,方程方程X2-X=0有兩個實數根有兩個實數根X1=0,X2=1,不等式的解集為不等式的解集為X|X1. 3x12x10,11|x.321.()|1. 22x1303x1x xx50 x540 x5xx1x1x x5x不等式的解集為或且不等式的解集為且題型二題型二 含參數不等式的解法含參數不等式的解法例例2解關于解關于x的不等式的不等式:(m+3)x2+(m+2)x-10.分析分析:二次項系數中含有參數二次項系數中含有參數,正、負不能確定正、負不能確定,故應按故應按m+3等等于于0,大于大于0,小于小于0進行分類討論進行分類討論.:( ),x | x1 .( ),1 |x.m3 1m30m3x1012m3m30 xm31x100m3x x1解當即時 原不等式可化為故原不等式的解集為當時原不等式可化為又知故原不等式的解集為或( ),1xx10.m31,(),m3.,x |x1 .,1,x |1x. 23m3m30m41x1014m31m31m31m4m31m3當時 即原不等式可化為當時原不等式可化為原不等式的解集為當時原不等式的解集為當時故原不等式的解集為,1,x |1x;m3,;,1x |x1 ;1m,x | x1 ;,1|x.1m m4m44m3m3m3x x1綜上可知當時 原不等式的解集為當時 原不等式的解集為當時原不等式的解集為當時 原不等式的解集為當時原不等式的解集為或點評點評:解含有參數的不等式的基本解法是分類討論解含有參數的不等式的基本解法是分類討論,討論的關討論的關鍵是分類的標準鍵是分類的標準.如本例先以二次項系數為如本例先以二次項系數為0,大于大于0,小于小于0為分為分類標準類標準,當兩根的大小不定時當兩根的大小不定時,再以兩根的大小關系再以兩根的大小關系,再次分類再次分類.分類討論要做到不重、不漏分類討論要做到不重、不漏,標準統一標準統一.:.a x12x0 x1變 式解 關 于的 不 等 式:ax1x10.( ),x1;1( ),xx10,a11,x;aa 1a0 x102a01x1解原 不 等 式 等 價 于當時 由得當時 不 等 式 化 為解 得或1(),xx10.a11,x1;aa1,;a11,1x.aa 3a011a01a1x1a1當時 不 等 式 可 化 為若即時 則若即則若即則1,x |1x;a,;1,x |x1;a,x | x1 ;1,|x.a a1a11a0a0a0 xx1綜 上 所 述時 解 集 為時 原 不 等 式 無 解時 解 集 為時 解 集 為時 解 集 為或題型三題型三 求參數的范圍求參數的范圍例例3已知關于已知關于x的不等式的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集為空集的解集為空集,求實數求實數a的取值范圍的取值范圍.分析分析:本例中沒有明確該不等式是二次不等式本例中沒有明確該不等式是二次不等式.因此應分二次因此應分二次項系數項系數a2-4=0和和a2-40兩種情況討論兩種情況討論,在在a2-40時時,結合二次函結合二次函數的圖象進行分析數的圖象進行分析.解解:當當A2-4=0時時,A=2.當當A=2時時,不等式化為不等式化為4X-10,解集不是解集不是.當當A=-2時時,解集為解集為.當當A2-40時時,要使解集為要使解集為,則有則有解得解得-2A0對任意實數對任意實數X恒恒成立的條件是成立的條件是 .關于關于X的一元二次不等式的一元二次不等式AX2+BX+C2x+p.(1)當當|p|2時時,不等式恒成立不等式恒成立,求求x的范圍的范圍;(2)當當2x4時時,不等式恒成立不等式恒成立,求求p的取值范圍的取值范圍.解解:(1)題中不等式含有兩個字母題中不等式含有兩個字母x,p,由條件可知由條件可知,應視應視p為變?yōu)樽兞苛?x為常量為常量,利用數形結合求利用數形結合求x的范圍的范圍.不等式變形為不等式變形為(x-1)p+(x2-2x+1)0.令令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1(|p|2),其圖象為線段其圖象為線段.x3或或x-x2+2x-1.2x4,x-10. .當當2x4時時,1-x的最大值為的最大值為-1,p-1. 2x2x 1p1 xx 1點評點評:(1)不等式恒成立問題的解答思路不等式恒成立問題的解答思路:一是數形結合一是數形結合;二是分二是分離變量離變量.(2)PF(X)恒成立恒成立,P應大于應大于F(X)的最大值的最大值;PF(X)恒成立恒成立,P應小應小于于F(X)的最小值的最小值.變式變式4:設不等式設不等式MX2-2X-M+10,令令f(m)=(1-x2)m+2x-1,則問題轉化為則問題轉化為對一切對一切-2m2的值的值f(m)0恒成立恒成立.笑對高考第三關笑對高考第三關 技巧關技巧關函數與方程的思想函數與方程的思想不等式與函數與方程是密不可分的不等式與函數與方程是密不可分的,如一元二次不等式的解如一元二次不等式的解法就是借助相應的二次函數的圖象和一元二次方程的根來求法就是借助相應的二次函數的圖象和一元二次方程的根來求解的解的.其實一個不等式的解集的端點值往往就是相應方程的其實一個不等式的解集的端點值往往就是相應方程的根根,也是相應函數的圖象與也是相應函數的圖象與x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標.(,)( ,),a_ . xa1x0 x114例 若關于 的不等式的解集為則實數答案答案:4:,.a4.xa0 x1xa01x14x1xa0解析依題意知和 是方程的兩根例例2關于關于X的二次不等式的二次不等式AX2+BX+C0的解集為的解集為X|MX0.(1)試判斷試判斷A,B,C的符號的符號;(2)求不等式求不等式CX2-BX+A0的解集的解集. : ( ),m, n,b0,f0c0.,a0, b0,c0.21a0axbxc0bb002a2ayx解由 不 等 式 的 特 點 及 解 集 形 式 易 知又方 程有 兩 個 正 根拋 物 線 對 稱 軸即再 根 據 開 口 向 下 與軸 的 交 點 應 在軸 下 方綜 上 知 bx10.abcmn, mn,aamnx10,11x.mn11,.mn 222c2 cxbxa0 xam nx又即 不 等 式 的 解 集 為考考 向向 精精 測測1.設設a0,不等式不等式|ax+b|c的解集為的解集為x|-2x1,則則a：b：c=_.答案答案:2：1：3:,x |2x1 .bccbx,aabc2,cb2a,acba.,31ca,ba,22: 3. a0axbccaxbccb1aa b c2 1解析且的解集為而2.關于關于X的方程的方程4X+(M-3)2X+M=0有兩個不等的實根有兩個不等的實根,求求M的取值范圍的取值范圍.:,m3 tm0,3m0,m0,0m1.().,. x21212t2t0ttttt tm3 24m0m0 1解令則原方程可化為即關于 的方程有兩個不等的正根則解得即的取值范圍是課時作業(yè)課時作業(yè)( (十九十九) ) 不等式的解法不等式的解法一、選擇題一、選擇題1.不等式不等式-6x2-x+20的解集是的解集是( )11. |. |221. |D. x | x2 22AxxBx xx332Cx x3 或 答案答案:B:1().2 226xx 2 06xx 2 03x 222x 10 xx3解析或 2.設集合設集合M=X|X2-X0,N=X|X|2,則則( )A.MN=B.MN=MC.MN=MD.MN=R答案答案:B解析解析:M=x|0 x1,B=x|-2x2,MN=x|0 x1=M.3.F(X)=AX2+AX-1在在R上恒滿足上恒滿足F(X)0,則則A的取值范圍是的取值范圍是( )A.A0B.A-4C.-4A0D.-40,-x+2x2.分別解得分別解得-1x0或或00成立成立,則實數則實數x的取值范圍是的取值范圍是_.1,3答案答案:x2或或x-1 :(),( )1,3f a0.,x20.x1.x1. 222f aa xx2x2f aax2x1f 1xx202f 33xx3x2解析 設則在上滿足或或綜上或7.設設A-1,則關于則關于X的不等式的不等式A(X-A)(X- )0的解集是的解集是_.1a: |xa1x xa答案或:,xa. 11a1a xax0 xax0aa11a1axaa解析又時或,.,_. 222x4x308M2xx6x 809x a0NMNa已知不等式組的解集為不等式的解集為若則實數 的取值范圍是答案答案:(-,9解析解析:不等式組的解集是不等式組的解集是x|2x3,設設f(x)=2x2-9x+a,則由題則由題意意,得得f(2)0,f(3)0,解得解得a9.12.()_ .29ylogx1函 數的 定 義 域 是 :,1,221答案12:(),|, |2. 222logx100 x111x21x2x2x11x解析 由 知定義域為或三、解答題三、解答題10.解關于解關于x的不等式的不等式:x2-(a+1)x+a0.解解:x2-(a+1)x+a0(x-a)(x-1)0當當a1時時,不等式的解集為不等式的解集為x|ax1時時,不等式的解集為不等式的解集為x|1x0;(2)當不等式當不等式F(X)0的解集為的解集為(-1,3)時時,求實數求實數A,B的值的值.解解:(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3.f(1)0,-a2+6a+b-30,=24+4b.當當b-6時時,0,f(1)0的解集為的解集為;當當b-6時時0,f(1)0的解集為的解集為|. a 3b 6 a 3b 6( )1,3 .a 6a13,6a60,3b9.,3,b9. 22223xa 6a xb0133xa 6a xb0ab133a3不等式的解集為和 是方程的兩根即解之 .()().( )0,1,;( )0,1 ,(),.xx 1012 2010f x93c c1xf x0c2xf x00c保定調研 已知函數為常數若當時 恒有成立 求實數 的取值范圍若存在使成立 求實數 的取值范圍 :(),.0,1,1,3 .1,3,.,( )1,3g 30,c0.(,0). 2xx221 f x3x3 3ct3xttg tt3tc0g t333c0c解令當時問題轉化為當時恒成立于是 只需在上的最大值即實數 的取值范圍是 ( )0,1 ,(),1,3 ,3tc0,3,( )1,3g0,2339(),c.2249(,).400222xf x0tg ttg t3c0c若存在使則存在使于是 只需在上的最小值即實數 的取值范圍是