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容斥問題（一）
容斥問題涉及到一個重要的原理——包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復地計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。
這一講我們先介紹容斥原理1對n個事物，如果采用兩種不同的分類標準：按性質a分類與性質b分類（如圖1），那么，具有性質a或性質b的事物的個數(shù)=Na+Nb-Nab。
例1．一個班有55名學生，訂閱《小學生數(shù)學報》的有12人，訂閱《今日少年報》的有9人，兩種報紙都訂閱的有5人。（1）訂閱報紙的總人數(shù)有多少？（2）兩種報紙都沒訂閱的有多少人？
例2．一個旅行社有36人，其中會英語的有2
2、4人，會俄語的有18人，兩樣都不會的有4人，兩樣都會的有多少人？
例3．在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？
例4．藝術節(jié)那天，學校的畫廊里展了了每個年級學生的圖畫作品，其中有23幅畫不是五年級的，有21幅畫不是六年級的，五、六年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？
練習與思考
1.將邊長分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊，蓋在桌面上（如圖6），已知重疊的部分為9平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？
2．二（2）班有50名學生，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學作業(yè)的有40人，
3、兩種作業(yè)都做完的有多少人？
3．有62名學生，其中會彈鋼琴的有11名，會吹豎笛的有56名，兩樣都不會的有4名，兩樣都會的有多少名？
4．某校選出50名學生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學比賽，作文比賽獲獎的有14人，數(shù)學比賽獲獎的有12人，有3人兩項比賽都獲獎的，兩項比賽都沒獲獎的有多少人？
5．四（1）班有40個學生，其中有25人參加數(shù)學小組，23人參加航模水組，有19人兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個小組都沒有參加？
6．在一次數(shù)學測驗中，所有同學都答了第1、2兩題，其中答對第1題的有35人，答對第2題的有28人，這兩題都答對的有20人，沒有人兩題都答錯。一共有多少人參加了這次數(shù)學測驗？
4、
7．一個俱樂部里，會下中國象棋的有69人，會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有12人，都會下的有30人。這個俱樂部里有多少人？
8．某班上體育課，全班排成4行（每行的人數(shù)相等），小芳排的位置是：從前面數(shù)第6個，從后面數(shù)第7個。這個班共有多少名學生？
9．在1到200的全部自然數(shù)中，既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？
10．科技節(jié)那天，學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品，其中有114件不是一年級的，有96件不是二年級的，一、二年級參展的作品共32件。其他年級參展的作品共有多少件？
容斥問題（二）
這一講介紹容斥原理2 n個事物，如何采用三種不同的分類標準：
5、按性質a 分類、性質b分類與性質c分類（如圖1），那么，具有性質a或b或c的事物的個數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。
例1．五（1）班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目和人數(shù)如下表：
短跑
游泳
籃球
短跑、游泳
游泳、籃球
籃球、短跑
短跑、游泳、籃球
17人
18人
15人
6人
6人
6人
2人
求全班人數(shù)。
例2．某班有學生50人，參加無線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人，其中既參加無
6、線電小組又參加航模小組的有4人，既參加航模小組又參加生物小組的有5人，既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個小組中的某一個，那么，三個小組參加的學生有多少人？
例3．一個體育鍛煉小組有35名男生，規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個球隊中的一個。結果參加籃球隊的有16人，參加排球隊的有11人，參加足球隊的有20人，其中有4人既參加了排球隊又參加了籃球隊，有3人既參加了排球隊又參加了足球隊，沒有人三個球隊都參加。既參加籃球隊又參加足球隊的有多少人？
例4.松山小學45名學生參加數(shù)學、作文、美術競賽。有21人參加數(shù)學競賽，15人參加作文競賽，其中7人既參加作文
7、競賽又參加數(shù)學競賽，3人既參加作文競賽又參加美術競賽，但沒有一人既參加數(shù)學競賽又參加美術競賽。
（1）只參加數(shù)學競賽的有多少人？
（2）只參加作文競賽的有多少人？
（3）只參加美術競賽的有多少人？
練習與思考
1．有30名運動員、其中18人會三級跳遠，16人會撐桿跳高，10人三級跳遠、撐桿跳高都不會。既會三級跳遠又會撐桿跳高的運動員有多少名？
2．操場上的學生排成10路縱隊做操，每路縱隊的人數(shù)同樣多，小明站在第4路縱隊，從排頭數(shù)他是第13人，從后往前數(shù)他是第8人。操場上有多少人在做操？
3．一個年級有120人愛好數(shù)學，100人愛好語文，85人愛好美術，30人既愛好數(shù)學又愛好語文，
8、20人既愛好語文又愛好美術，35人既愛好美術又愛好數(shù)學，有18人三個學科都愛好。請問：這個年級中數(shù)學、語文、美術三個學科至少愛好一個學科的學生有多少人？
4．某班全體學生進行了數(shù)學、語文、英語三個科目的測試，有8名學生在這三個科目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個科目達到優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表：
數(shù)學
語文
英語
數(shù)學、語文
語文、英語
英語、數(shù)學
數(shù)學、語文、英語
20
16
16
4
4
5
3
全班一共有多少名學生？
5．第三小隊的學生有20人，手中分別拿有紅、黃藍三種顏色的球，已知手中有紅球、黃球、藍球折學生人數(shù)分別為10
9、人、10人、6人，其中手中既有紅球又有黃球的有3人，既有黃球又有藍球的有2人，既有藍球又有紅球的有4人。已知全隊每人手里都至少有一種顏色的球，那么，手中三種顏色的球都有多少人？
6．某班50名同學全部參加數(shù)學、語文、美術三個課外興趣小組，參加數(shù)學小組的有29人，參加語文小組的有21人，參加美術小組的有25人，有17人既參加數(shù)學小組又參加美術小組，有15人既參加數(shù)學小組又參加語文小組，有10人既參加語文小組又參加美術小組。三個小組都參加的有多少人？
7．有學生30名，他們中有部分學生參加了乒乓球，羽毛球、排球三個訓練小組，各組人數(shù)分別為14人、12人、10人，其中既參加羽毛球小組又參加排球小
10、組的有4人，既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人，既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人，三個小組都參加的有1人。這些學生中這三個小組都沒有參加的有幾人？
8．某外語學習班有40名學員，規(guī)定他們至少學習英語、日語、德語中的一咱。結果學習英語的有20人，學習日語的有12人，學習德語的有18人，其中有5人既學習了英語又學習了日語，有2人既學習了日語又學習了德語，沒有人同時學習三咱語言。既學習英語又學習德語的有多少人？
9．四（1）班有55名學生參加音樂、美術、體育興趣組。有22人參加美術組，有21人參加音樂組，其中15人既參加音樂組又參加美術組，3人既參加音樂組又參加體育組，但沒有一人既參
11、加美術組又參加優(yōu)育組。
（1）只參加美術組的有多少人？
（2）只參加音樂組的有多少人？
（3）只參加音樂組的有多少人？
能力測試（三）
（滿分100分，90分鐘完成）
一、填空題（每空6分，共54分）。
1．小英有2分、5分的硬幣共35枚，一共是1元1角5分，2分硬幣有（ ）枚，5分硬幣有（ ）枚。
2．從舊舊歷中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（ ）。
3．買5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克，用去71元。5元1千克的糖有（ ）千克，8元1千克的糖有（ ）千克。
4．
12、
圖中共有（ ）個正方形。圖中菜有（ ）個三角形。
5．新華小學四年級共40個學生采集標本，采集昆蟲標本的有27人，采集植物標本的有21人，兩種標本都采集的有（ ）人。
6．某班學生去圖書館借書，每人都借了語文或數(shù)學課外書，統(tǒng)計結果是：借語文書的39人，借數(shù)學書的32人，語文、數(shù)學兩種書都借的有26人，全班學生共（ ）人。
二、應用題（第1題10分，其余每題9分，共46分）。
1．英文字母A，B，C，D，按規(guī)則排列為ABAACCDABAACCD…共250個字母，最后一個字母是什么？A，B，C，D各有多少個？
2．四年級學
13、生進行數(shù)學比賽，規(guī)定算對一題得5分，錯一題扣2分。試卷上共有20道題，李華得了86分，他算對了多少道題？
3．一個停車場上共停汽車、三輪摩托車25輛，其中汽車有4個輪子，三輪摩托車有3個輪子。這些車共有90個輪子。三輪摩托車有多少輛？
4．某班學生會打籃球的有40人，會打排球的有32人，兩種球都會打的有30人，還有3個學生這兩種球都不會打。這個班有學生多少人？
5．有43位同學，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)都不相同，每個同學都把身上帶的全部錢各自買了畫片。畫片只有兩種：3分一張和5分一張。如果每人都盡量多買5分一張的畫片，那么，他們所買的3分一張是畫片的總數(shù)是多少張？
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小學四年級奧數(shù) 容斥問題
