黑龍江省虎林高級中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（第2課時）課件 新人教A版選修45

這種由某類事物的部分對象具有某些特征這種由某類事物的部分對象具有某些特征, ,推推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理, ,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理, ,稱為稱為歸納推理歸納推理.(.(簡稱：歸納簡稱：歸納) )歸納是立足于觀察、經(jīng)驗歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上析的基礎(chǔ)上. .提出帶有規(guī)律性的結(jié)論提出帶有規(guī)律性的結(jié)論. .需證明需證明一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)：什么是歸納推理？什么是歸納推理？例例如如已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的第的第1 1項項a a1 1=1=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),試歸納出這個數(shù)列的通項公式試歸納出這個數(shù)列的通項公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a1a1n1時，當(dāng)31211213n3a時，當(dāng)41311314n4a時，當(dāng)解：解：nan1猜想：猜想：211112n2a時，當(dāng)這個猜想對于前這個猜想對于前4項是項是成立的，但還不能對以成立的，但還不能對以后繼續(xù)的項也成立，因后繼續(xù)的項也成立，因此這個猜想要證明。此這個猜想要證明。費爾馬費爾馬(1601.81665.1)，法國數(shù)學(xué)家，法國數(shù)學(xué)家。 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)任何形如任何形如猜想猜想于是他用歸納推理提出于是他用歸納推理提出都是質(zhì)數(shù)，都是質(zhì)數(shù)，)( 126553712257121712512*222243212Nnn (費馬猜想費馬猜想)670041764142949672971225522 是一個合數(shù)：是一個合數(shù)：時，時，nn結(jié)論是錯誤的結(jié)論是錯誤的。對于某類事物，由它的一些特殊事例或其對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫法，叫歸納法歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點特點: :二、歸納法定義：二、歸納法定義：完全歸納法：完全歸納法：優(yōu)點：考查全面，結(jié)論正確。優(yōu)點：考查全面，結(jié)論正確。缺點缺點 ：工作量大，有些對象無法全面考查。：工作量大，有些對象無法全面考查。不完全歸法：不完全歸法：優(yōu)點：考查對象少，得出結(jié)論快。優(yōu)點：考查對象少，得出結(jié)論快。缺點缺點 ：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第一天先生教他個一天先生教他個“一一”字。第二天先生又教了個字。第二天先生又教了個“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三三”字。于是他得了一個結(jié)論：字。于是他得了一個結(jié)論：“四四”一定是一定是四橫，四橫，“五五”一定是五橫，以此類推，一定是五橫，以此類推，從此，從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：自豪地說：“我都會了我都會了”。家長要他寫出自己的。家長要他寫出自己的名字，名字，“萬百千萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。寫名字結(jié)果可想而知?！?” 萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯誤萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯誤?數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等式式第第四四講講 .,|sin|sin|:,., NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例如例如等式等式數(shù)多個正整數(shù)相關(guān)的不數(shù)多個正整數(shù)相關(guān)的不就出現(xiàn)了與無就出現(xiàn)了與無為表達(dá)這樣的關(guān)系為表達(dá)這樣的關(guān)系關(guān)系成立關(guān)系成立都有某種不等都有某種不等任意正整數(shù)任意正整數(shù)的的或不小于某個數(shù)或不小于某個數(shù)任意正整數(shù)任意正整數(shù)對于對于人們會遇到這樣的情況人們會遇到這樣的情況在數(shù)學(xué)研究中在數(shù)學(xué)研究中.,數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法方法方法用一種重要的數(shù)學(xué)推理用一種重要的數(shù)學(xué)推理我們將使我們將使式的證明式的證明這一講將討論這類不等這一講將討論這類不等數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法一一 .?, 97531753153131121531證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論嗎嗎的結(jié)果的結(jié)果你能猜出你能猜出通過計算下面式子通過計算下面式子思考思考nn ?.:,怎樣證明它呢怎樣證明它呢由此猜想由此猜想別是別是上面四個式子的結(jié)果分上面四個式子的結(jié)果分nnnn11215315432 .,.,.:成證明成證明通過驗證的方法無法完通過驗證的方法無法完所以所以證證我們無法對它們一一驗我們無法對它們一一驗但是正整數(shù)是無限多個但是正整數(shù)是無限多個時這個等式成立時這個等式成立甚至甚至雖然我們可以驗證雖然我們可以驗證任何正整數(shù)時都成立任何正整數(shù)時都成立為為在在要證不等式要證不等式這個問題的特點是這個問題的特點是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方法法能能夠夠處處理理完完無無限限多多個個對對就就驟驟必必須須尋尋找找一一種種有有限限個個步步要要證證明明這這個個問問題題.,;,.,.都能全部倒下都能全部倒下不論有多少塊骨牌不論有多少塊骨牌后后最最塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下而第而第塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下由于第由于第塊骨牌塊骨牌只要推倒第只要推倒第這樣這樣骨牌倒下骨牌倒下則一定導(dǎo)致后一塊則一定導(dǎo)致后一塊若前一塊骨牌倒下若前一塊骨牌倒下骨牌骨牌兩塊兩塊碼放時保證任意相鄰的碼放時保證任意相鄰的放骨牌的游戲放骨牌的游戲這是一種碼這是一種碼戲說起戲說起我們先從多米諾骨牌游我們先從多米諾骨牌游 32211:,件有兩個件有兩個使所有骨牌都倒下的條使所有骨牌都倒下的條可以看出可以看出 ;第一塊骨牌倒下第一塊骨牌倒下1 .,:,.,塊也倒下塊也倒下相鄰的第相鄰的第倒下時倒下時塊塊當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)谙迪凳聦嵣暇褪且粋€遞推關(guān)事實上就是一個遞推關(guān)條件條件其中其中倒下倒下一塊一塊前一塊倒下一定導(dǎo)致后前一塊倒下一定導(dǎo)致后任意相鄰的兩塊骨牌任意相鄰的兩塊骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保證證21., 1321kk一一隊隊到到大大依依次次排排列列為為無無限限長長由由小小我我們們設(shè)設(shè)想想將將全全部部正正整整數(shù)數(shù)類類比比多多米米諾諾骨骨牌牌游游戲戲 .,成成立立式式即即這這時時等等的的左左右右兩兩邊邊都都等等于于等等式式時時當(dāng)當(dāng)可可以以驗驗證證 111n ., ,的的自自動動遞遞推推關(guān)關(guān)系系由由前前到到后后的的諾諾骨骨牌牌那那樣樣則則可可以以建建立立一一種種像像多多米米也也成成立立式式時時等等能能推推出出成成立立時時等等式式若若從從可可以以想想象象 12knkn :,這這個個等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一種種證證明明綜綜合合21 ;成成立立時時等等式式首首先先證證明明 11 n .中中的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系然然后后證證明明 2 .,:,;,成成立立等等式式對對于于任任意意正正整整數(shù)數(shù)就就可可以以說說下下去去如如此此繼繼續(xù)續(xù)自自動動遞遞推推成成立立時時等等式式遞遞推推出出成成立立時時等等式式再再由由成成立立時時等等式式遞遞推推出出成成立立為為起起點點時時等等式式就就可可由由完完成成以以上上兩兩步步后后 nnnnn3221 : 證明等式證明等式下面按照上述思路具體下面按照上述思路具體 .,成立時等式即這左右兩邊都等于式時當(dāng)證明 111n .,kkkknkk112153112 即成立時等式假設(shè)當(dāng) .,的左右兩邊時式再考慮在這個假設(shè)下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左邊 11211 kkk 111 kk.右邊 .成立時等式所以當(dāng) 1kn . Nnnnnn1121531 可知由21 ,.:.,;,:,都成立都成立命題命題正整數(shù)正整數(shù)對于從起點向后的所有對于從起點向后的所有由這兩步保證由這兩步保證的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系由前向后由前向后證明證明然后然后先作歸納假設(shè)先作歸納假設(shè)第二步第二步立的一個起點立的一個起點從而奠定了命題成從而奠定了命題成時命題成立時命題成立證明證明第一步第一步我們用了兩個步驟我們用了兩個步驟總結(jié)上述過程總結(jié)上述過程 Nnn1什么是數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？對于某些與正整數(shù)對于某些與正整數(shù)n n有關(guān)的命題常常采用下面的有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：方法來證明它的正確性：1.1.先證明當(dāng)先證明當(dāng)n n取第一個值取第一個值n n0 0時命題成立；時命題成立；2.2.然后假設(shè)當(dāng)然后假設(shè)當(dāng)n=k(kn=k(k N N* *，knkn0 0) )時命題成時命題成立，證明當(dāng)立，證明當(dāng)n=k+1n=k+1時命題也成立。時命題也成立。這種證明方法就叫做。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法?,是什么數(shù)學(xué)歸納法的基本思想你認(rèn)為結(jié)合上面的證明思考;,.,.,水水沒有它遞推就成無源之沒有它遞推就成無源之后面遞推的出發(fā)點后面遞推的出發(fā)點成為成為時命題成立時命題成立第一步確定了第一步確定了可可缺一不缺一不這兩步都非常重要這兩步都非常重要二步是假設(shè)與遞推二步是假設(shè)與遞推第第第一步是奠基第一步是奠基驟中驟中在數(shù)學(xué)歸納法的兩個步在數(shù)學(xué)歸納法的兩個步00nnnn .,成證明成證明從而完從而完以后的每一個正整數(shù)以后的每一個正整數(shù)數(shù)無限傳遞到數(shù)無限傳遞到向后一個數(shù)一個向后一個數(shù)一個開始開始的范圍就能從正整數(shù)的范圍就能從正整數(shù)立立成成命題命題借助它借助它推關(guān)系推關(guān)系一種遞一種遞確認(rèn)確認(rèn)第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是數(shù)學(xué)歸納法的以上就是數(shù)學(xué)歸納法的握上握上的把的把在對有限情況在對有限情況沒有它我們就只能停留沒有它我們就只能停留的關(guān)鍵的關(guān)鍵限的飛躍限的飛躍遞推是實現(xiàn)從有限到無遞推是實現(xiàn)從有限到無因此因此,.歸納法的基本過程下面的框圖表示了數(shù)學(xué) .,命題成立對所有的0nnNnn 奠基假設(shè)與遞推 .:時命題成立證明 Nnnn001 .,:時命題也成立則時命題成立若證明120 knnkkn歸納小結(jié)歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個步驟，一個結(jié)論；數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個步驟，一個結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮由有限到無窮 、一定一定要用到歸納假設(shè)；要用到歸納假設(shè)；看清從看清從k到到k1中間的變化中間的變化。.,?到到較較好好的的效效果果用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法可可能能會會收收的的方方法法證證明明如如果果不不易易用用以以前前學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)過過相相關(guān)關(guān)的的命命題題數(shù)數(shù)整整些些與與無無限限多多個個正正對對于于一一呢呢題題用用于于證證明明什什么么樣樣的的命命學(xué)學(xué)歸歸納納法法適適數(shù)數(shù)?,為為什什么么為為何何值值應(yīng)應(yīng)取取對對于于全全體體正正整整數(shù)數(shù)都都成成立立明明某某命命題題如如果果要要用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證思思考考0n數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法命題的重要方法. .主要有兩個步驟一個結(jié)論主要有兩個步驟一個結(jié)論: : 【歸納奠基【歸納奠基】（1）證明當(dāng)）證明當(dāng)n取第一個值取第一個值n0（如（如 n0=1或或2等）時等）時結(jié)論正確結(jié)論正確（2）假設(shè)）假設(shè)n=k(kn0,nN*)時結(jié)論正確，證明時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論也正確時結(jié)論也正確（3）由（）由（1）、（）、（2）得出結(jié)論）得出結(jié)論【歸納遞推【歸納遞推】注注 意：意：例例1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時時,左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是等式是成立的。成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是時等式成立，就是 1+2+22+2k-1=2k-1那么，那么， 1+2+22+2k-1+2k=2k-1+ 2k =22k-1 =2k+1-1這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。時，等式也成立。 因此因此,根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對于任等式對于任何何nN*都成立。都成立。課本課本50頁練習(xí)頁練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+(2n 1)=n2 證明：證明：1.當(dāng)當(dāng)n=1時時左左1，右，右121n=1時，命題成立時，命題成立2.假設(shè)假設(shè)n=k時，命題成立，即時，命題成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時時左左1+3+5+(2k 1)(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1時命題成立時命題成立由由1、2知原命題對知原命題對n N*都成立都成立遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)遞推依據(jù)課本課本50頁頁2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：證明：1、當(dāng)、當(dāng)n=1時時,左左=12=1，右，右=n=1時，等式成立時，等式成立2、假設(shè)、假設(shè)n=k時，等式成立，即時，等式成立，即那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時時左左=12+22+k2+(k+1)2= =右右n=k+1時，原不等式成立時，原不等式成立由由1、2知當(dāng)知當(dāng)n N*時，原不等式都成立時，原不等式都成立6)12)(1(3212222 nnnn16)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk611211)1(6)1(6)12)(1(2kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk例例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設(shè)湊假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時命題成立時命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時，時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3nn)21(121212121232，求證：練習(xí)證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=1時，左邊時，左邊21右邊右邊212111 n=1時等式成立。時等式成立。假設(shè)假設(shè)n=k時，命題成立，即時，命題成立，即kk)21(12121212132 那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時，有時，有11322112121212121kkk？即即n=k+1時，命題成立。時，命題成立。根據(jù)根據(jù)問可知，對問可知，對nN，等式成立，等式成立。1、三個步驟缺一不可、三個步驟缺一不可:第一步第一步:奠基步驟奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為歸納歸納基礎(chǔ)基礎(chǔ)；第二步第二步:歸納步驟歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到確性能否由特殊推廣到 一般，它反映了無限一般，它反映了無限遞推遞推關(guān)關(guān)系，其中系，其中 “假設(shè)假設(shè)n=k時成立時成立” 稱為稱為歸納假設(shè)歸納假設(shè) (注意注意是是“假設(shè)假設(shè)”，而不是確認(rèn)命題成立，而不是確認(rèn)命題成立);第三步第三步:總體結(jié)論總體結(jié)論，也不可少。，也不可少。2、在第二步的證明中、在第二步的證明中必須用到歸納假設(shè)必須用到歸納假設(shè)，否則就不，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。是數(shù)學(xué)歸納法了。3、數(shù)學(xué)歸納法只適用于、數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)和正整數(shù)有關(guān)的命題。的命題。用數(shù)學(xué)歸納法需用數(shù)學(xué)歸納法需注意注意 ：