黑龍江省虎林高級中學高三數(shù)學 第三講 一般形式的柯西不等式（第1課時）課件 新人教A版選修45

.,等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則都都是是實實數(shù)數(shù)若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221 ., |,等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數(shù)數(shù)是是零零向向量量當當且且僅僅當當則則個個向向量量是是兩兩設設式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2復習一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式二二 .,是三維的形式是三維的形式空間向量的坐標空間向量的坐標是二維形式是二維形式平面上向量坐標平面上向量坐標我們知道我們知道zyxyx?,么么結結論論呢呢關關于于柯柯西西不不等等式式會會有有什什問問題題從從三三維維的的角角度度思思考考聯(lián)聯(lián)系系前前一一節(jié)節(jié)的的內內容容思思考考xyo 21aa ,12,b bxyo 321aaa,123,b b bz123 .圖圖xyo 21aa ,12,b bxyo 321aaa,123,b b bz123 .圖圖222221212112212213.21,| |.,.aabba ba ba ba b 觀察圖從平面向量的幾何背景能得到將平面向量的坐標代入 化簡后得二維形式的柯西不等式當且僅當時 等號成立 ,. |,2332211232221232221babababbbaaa 化化簡簡得得將將空空間間向向量量的的坐坐標標代代入入也也能能得得到到從從空空間間向向量量的的幾幾何何背背景景類類似似地地 .,等等號號成成立立時時得得使使或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)即即共共線線時時當當且且僅僅當當3210 ikbakii.等等式式叫叫做做三三維維形形式式的的柯柯西西不不我我們們把把不不等等式式?,西西不不等等式式嗎嗎能能猜猜想想出出一一般般形形式式的的柯柯你你式式柯柯西西不不等等式式對對比比二二維維形形式式和和三三維維形形探探究究 .,222112222122221nnnnbabababbbaaa 為為柯柯西西不不等等式式的的一一般般形形式式我我們們猜猜想想?如如何何證證明明以以上上猜猜想想.,我我們們采采用用下下面面的的證證法法并并比比較較左左右右比比較較麻麻煩煩直直接接展展開開中中括括號號內內含含較較多多的的項項由由于于不不等等式式,nnnbababaBaaaA 221122221如果設如果設,22221nbbbC ,2BAC 就是就是不等式不等式那么那么.,.不不等等式式應應的的判判別別式式來來證證明明并并通通過過討討論論相相二二次次函函數(shù)數(shù)這這就就啟啟發(fā)發(fā)我我們們可可以以構構造造密密切切相相關關判判別別式式這這正正好好與與二二次次函函數(shù)數(shù)ACBCBxAxy44222 .式顯然成立時或當證明002121 nnbbbaaa,002222121 nnaaaaaa則中至少有一個不為當考慮二次函數(shù) .2222122112222212nnnnbbbxbababaxaaaxf ,02212211 nnbxabxabxaxfx因為對于任意實數(shù) 即的判別式所以二次函數(shù), 0 xf .044222212222122211 nnnnbbbaaabababa .,以上不等式取等號判別式零點時有唯一當且僅當于是得0222112222122221 xfbabababbbaaannnn .,nibxaxii 210使有唯一實數(shù)此時.,由此再利用判式由此再利用判式方和方和出現(xiàn)了后面的平出現(xiàn)了后面的平了配方了配方這里構造的函數(shù)考慮到這里構造的函數(shù)考慮到于于是是有有得得知知猜猜想想成成立立通通過過以以上上證證明明, nibi, 210當且僅當總之.,;,iinbxaxbbbx100021 則有若式成立則若 .,等號成立時或nikbaii 21 .),(,),(,時時等等號號成成立立使使得得或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)當當且且僅僅當當則則是是實實數(shù)數(shù)設設定定理理nikbaknibbabababbbaaabbbbaaaaiiinnnnnn 21210222112222122221321321以以上上不不等等式式稱稱為為.一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式.?們們自自己己進進行行探探究究請請同同學學不不等等式式證證明明它它何何應應用用一一般般形形式式的的柯柯西西如如怎怎樣樣的的形形式式的的三三角角不不等等式式應應是是一一般般探探究究.西不等式的一些應用西不等式的一些應用下面介紹一般形式的柯下面介紹一般形式的柯 .,222212212111nnnaaaaaanaaa 求證求證是實數(shù)是實數(shù)已知已知例例.,這這就就引引出出證證明明思思路路式式顯顯符符合合柯柯西西不不等等式式的的形形能能使使式式子子變變成成明明乘乘要要證證的的式式子子的的兩兩邊邊用用分分析析n ,22122221nnaaaaaan 所以 .222212211nnaaaaaan 即根據(jù)柯西不等式有證明 ,22122221222111111nnaaaaaa 個n調和平均數(shù)調和平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)算術平均數(shù)算術平均數(shù)平方平均數(shù)平方平均數(shù) 附：介紹平均數(shù)不等式附：介紹平均數(shù)不等式naaan11121nnaaa21naaan22221naaan21練習練習41頁頁322222212312321 1223 3() ()()aaabbbaba ba b小節(jié)小節(jié)1.（三維形式的柯西不等式）（三維形式的柯西不等式）:22222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b定理定理 設設nnbbbbaaaa,.,.,321321是實數(shù)，則是實數(shù)，則當且僅當當且僅當 (i=1,2,n) 或或 存在一個存在一個 數(shù)數(shù)k使得使得 (i=1,2,n) 時等號成立。時等號成立。 以上不等式稱為以上不等式稱為一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。0ibiikba 2.（n維形式的柯西不等式）維形式的柯西不等式）:).,.,2, 1,()(.)()(.)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn3.一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式作業(yè)作業(yè)41頁頁1.,.,應應用用它它就就能能更更靈靈活活地地掌掌握握它它的的結結構構特特點點式式柯柯西西不不等等解解正正確確理理解解往往往往是是簡簡明明的的用用柯柯西西不不等等式式對對于于許許多多不不等等式式問問題題