黑龍江省虎林高級中學高三數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45

式式用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證明明不不等等二二.納納法法證證明明不不等等式式歸歸進進一一步步討討論論如如何何用用數(shù)數(shù)學學下下面面我我們們結(jié)結(jié)合合具具體體例例題題.,:;,:.?, 512256128643216842281644936251694112nnnnnbnaba證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論小小于于從從第第幾幾項項起起觀觀察察下下面面兩兩個個數(shù)數(shù)列列例例 .,.,的情形的情形步應證步應證第第猜想時猜想時用數(shù)學歸納法證明上述用數(shù)學歸納法證明上述即即項起項起從第從第由數(shù)列的前幾項猜想由數(shù)列的前幾項猜想分析分析515252 nnNnnbannn .,命題成立時有當證明522551 n .,kkkkn2522 即有時命題成立假設當 121122 kkkkn因為時當.kkkkk3222 2222kkk .1222 kk .,時命題成立即所以12112 knkk .,52212 nNnnn可知由?的理由中嗎的理由中嗎你能說出證明中每一步你能說出證明中每一步 .|sin|sin| Nnnn證明不等式證明不等式例例2.,對值不等式對值不等式用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕應注意利應注意利在證明遞推關系時在證明遞推關系時又與絕對值有關又與絕對值有關的三角函數(shù)問題的三角函數(shù)問題這是一個涉及正整數(shù)這是一個涉及正整數(shù)分析分析n .,|sin|,式成立不等右邊上式左邊時當證明 11n . |sin|sin|,kkkkn 即有不等式成立時假設當12,時當1 kn |sincoscossin|sin|kkk 1|sincos|cossin|kk |sin|cos|cos|sin| kk|sin|sin| k|sin|sin| k . |sin|1 k.時不等式成立所以當1 kn .,均成立不等式對一切正整數(shù)可知由n21?的理由中嗎的理由中嗎你能說出證明中每一步你能說出證明中每一步 .,:nxxnxxxBernoullin 111013那么有那么有的自然數(shù)的自然數(shù)為大于為大于且且是實數(shù)是實數(shù)如果如果不等式不等式證明貝努利證明貝努利例例.,進行歸納進行歸納對對我們用數(shù)學歸納法只能我們用數(shù)學歸納法只能的自然數(shù)的自然數(shù)是大于是大于的任意實數(shù)的任意實數(shù)且不等于且不等于于于表示大表示大個字母個字母貝努利不等式中涉及兩貝努利不等式中涉及兩分析分析nnx101 .,不等式成立得由于時當證明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有時不等式成立假設當 kkxxxkn 11111,時當 kxx 1121kxkxx . xk11 .時不等式成立所以當1 kn .,貝努利不等式成立可知由21?的的理理由由中中嗎嗎你你能能說說出出證證明明中中每每一一步步 .,.,成立成立的正整數(shù)的正整數(shù)對一切不小于對一切不小于到不等式到不等式由貝努利不等式不難得由貝努利不等式不難得時時且且是實數(shù)是實數(shù)當當例如例如揮作用揮作用法證明不等式中可以發(fā)法證明不等式中可以發(fā)這在數(shù)值故計和放縮這在數(shù)值故計和放縮形式形式縮小為簡單的縮小為簡單的方方式把二項式的乘式把二項式的乘人們經(jīng)常用貝努利不等人們經(jīng)常用貝努利不等在數(shù)學研究中在數(shù)學研究中nxnxxxxxxnxxnn211110111 :,一般的形式一般的形式它們是貝努利不等式更它們是貝努利不等式更有類似不等式成立有類似不等式成立仍仍時時改為實數(shù)改為實數(shù)整數(shù)整數(shù)把貝努利不等式中的正把貝努利不等式中的正事實上事實上n .,11101 xxx有有時時或者或者并滿足并滿足是實數(shù)是實數(shù)當當 .,11110 xxx有有時時并且滿足并且滿足是實數(shù)是實數(shù)當當.,泛地應用泛地應用貝努利不等式可以被廣貝努利不等式可以被廣函數(shù)范圍擴充到實數(shù)函數(shù)范圍擴充到實數(shù)隨著指數(shù)隨著指數(shù)結(jié)果的證明結(jié)果的證明我們不在這里給出上述我們不在這里給出上述.,.,時命題成立時命題成立來證明來證明充分利用這樣聯(lián)系充分利用這樣聯(lián)系時命題之間的關系時命題之間的關系納假設與納假設與注意發(fā)現(xiàn)或設法創(chuàng)設歸注意發(fā)現(xiàn)或設法創(chuàng)設歸重要不等式重要不等式一些一些和和種方法種方法的各的各式式如前面學習的證明不等如前面學習的證明不等他條件及相關知識他條件及相關知識還要靈活利用問題的其還要靈活利用問題的其設設不僅要正確使用歸納假不僅要正確使用歸納假為完成這步證明為完成這步證明一步一步時命題成立這時命題成立這時命題成立推出時命題成立推出由由難點往往出現(xiàn)在難點往往出現(xiàn)在等式等式使用數(shù)學歸納法證明不使用數(shù)學歸納法證明不111 knknknkn .,:naaaaaaaaannnnn 21212114那么它們的和那么它們的和積積的乘的乘個正數(shù)個正數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)如果如果證明證明例例.,.,要要遞遞推推的的目目標標心心中中有有數(shù)數(shù)由由它它并并對對什什么么是是歸歸納納假假設設和和的的條條件件正正數(shù)數(shù)的的乘乘積積為為個個應應注注意意利利用用用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證明明它它時時簡簡潔潔和和諧諧它它的的形形式式的的不不等等式式這這是是與與正正整整數(shù)數(shù)密密切切相相關關分分析析1n .,命題成立有時當證明1111 an .,kaaaaaakknkn 212112則個正數(shù)的乘積即若命題成立時當假設.,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足條件滿個正數(shù)已知時當.,.,命題成立其和為是則它們都都相等個正數(shù)若這111121 kaaaakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨設矛盾否則與的數(shù)也有小于的數(shù)則其中必有大于不全相等個正數(shù)若這.,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211歸納假設可以得到由的乘積是個正數(shù)樣就得到這看著一個數(shù)我們把乘積為利用歸納假設. 11321 kaaaaakk要證的目標是.,用用討論的作討論的作回味這樣回味這樣面的證明面的證明請結(jié)合下請結(jié)合下.就得到則 .,.,時命題成立當就是說這于是目標得證即得由110111121212121 knaaaaaaaa .,成立那么它們的和的乘積個正數(shù)如果對一切正整數(shù)可知由naaaaaaaaannnnn 212121121,12121 aaaa若有可以發(fā)現(xiàn)對比 .,它它們們起起了了什什么么作作用用了了哪哪些些式式子子變變形形證證出出遞遞推推關關系系做做為為了了利利用用歸歸納納假假設設以以及及體體會會其其中中的的證證明明過過程程回回顧顧例例探探究究41 ?),(,均均值值不不等等式式嗎嗎個個正正數(shù)數(shù)的的你你能能得得出出是是正正數(shù)數(shù)個個正正數(shù)數(shù)考考慮慮的的結(jié)結(jié)論論利利用用例例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 212121221142