高一數(shù)學(xué)必修2 球的表面積和體積 課件

1.3.2球的表面積和體積人類的家地球人類未來(lái)的家火星探索火星的航天飛船 如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？為什么？為什么？ 一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？ 怎樣求球的表面積和體積？怎樣求球的表面積和體積？ 球既沒(méi)有底面，也無(wú)法象柱、錐、臺(tái)體一樣展成球既沒(méi)有底面，也無(wú)法象柱、錐、臺(tái)體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？mVVmh實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積曹沖稱象曹沖稱象H假設(shè)將圓n等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)(2113221AAAAAApn正多邊形pC21圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CCRpn,2221RRRS圓pA3回顧圓面積公式的推導(dǎo)回顧圓面積公式的推導(dǎo) 割割 圓圓 術(shù)術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)倍邊法割圓術(shù)”他用加倍的方式他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小割之彌細(xì)，所失彌小”這樣這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣”這是世界上最早的這是世界上最早的“極限極限”思想思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半徑為已知球的半徑為R,用用V表示球的體積表示球的體積.)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1OR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2, 1,)1(1232niinRRri,2, 1,)1(22nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是 在球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，使用了在球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，使用了“分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體積積”的方法：的方法： 即先將半徑即先將半徑 n 等分；再求出每一部分體積等分；再求出每一部分體積的近似值，并將這些近似值相加，得出半球的的近似值，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積；當(dāng)近似體積；當(dāng) n 無(wú)限變大時(shí)，就可得到半球的無(wú)限變大時(shí)，就可得到半球的體積體積 例例4 4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.97.9g/cmg/cm3 3），每個(gè)鋼球重），每個(gè)鋼球重145kg145kg，并且外徑等于，并且外徑等于50cm50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（徑（取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1cmcm） 解：解：由于外徑為由于外徑為50cm50cm的鋼球的質(zhì)量為：的鋼球的質(zhì)量為：)(517054250349 . 73g 街心花園中鋼球的質(zhì)街心花園中鋼球的質(zhì)量為量為145000g145000g，而，而145000517054145000517054，所以鋼，所以鋼球是空心的球是空心的 例例4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個(gè)鋼球重），每個(gè)鋼球重145kg，并且外徑等于，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（徑（取取3.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1cm） 解：解：)(517054250349 . 73g 設(shè)球的內(nèi)徑是設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：，那么球的質(zhì)量為：,42.112393x 解得：解得：.4 .22x.8 .442x 答：答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為鋼球是空心的其內(nèi)徑約為45cm 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢公式呢? ? 回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, , 得到啟發(fā)，得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式式第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSOO第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV,31343RSRRhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 .42RS從而 例例5 如圖表示一個(gè)用鮮花作成的花柱，它的下面如圖表示一個(gè)用鮮花作成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為是一個(gè)直徑為1m、高為、高為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體如果每平方米大約需要鮮花半球形體如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（取取3.1)？ 解：解：圓柱形物體的側(cè)面面積圓柱形物體的側(cè)面面積,3 . 9311 . 321mS半球形物體的表面積為半球形物體的表面積為,6 . 1211 . 32222mS所以所以.9 .106 . 13 . 9221mSS.16351509 .10朵答：答：裝飾這個(gè)花柱大約需要裝飾這個(gè)花柱大約需要16351635朵鮮花朵鮮花(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. .(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. .(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是 . .(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是 . .2422:134:1 影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是就是球的半徑球的半徑. . 1.1.球的體積和表面積的推導(dǎo)方法：球的體積和表面積的推導(dǎo)方法： 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和 2. .影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是素，就是球的半徑球的半徑. .