安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第4單元第27講 三角形中的三角函數(shù)課件 理

12能熟練利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)化掌握三角形形狀的判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明tantan33tantan3sin 2A BC D1.ABCABABAABC在中，且，則的形狀為非正三角形直角三角形等腰直角三角形正三角形tantan33tantantan313120 .sin606 0 2 ABABtanAtanBABtanAtanBABABCAAB 由，可得，所以由得，所以，解析：故的形狀為正三角形53cossin135cos 5616165616A. B. C. D6565665.6525ABCABC在銳角中，已知，則的值是或.2253cossin135124sin1 coscos1 sin135coscoscos54123coscossin 16.sin13516355ABAABBCABABABAB 因?yàn)?，所以，所以解析?ABC . 3 DabcABCpsinBsinCsinAqABCpq在中，設(shè)命題 ：，命題 ：是等邊三角形，則命題 是命題 的充分不必要條件 必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件 sinsinsin.CabcpsinBsinCsinAabcsinAsinBsinCABCABCabc：，由正弦定理，所解析： 以，故選所以 abcpsinBsinCsinAABC由條件 ：，以易錯(cuò)點(diǎn)：為推不出是等邊三角形2.212320 A 16 B 64C 124 4. D 156ABCABCxxABC在中，三個(gè)內(nèi)角滿足，且最大邊與最小邊分別是方程的兩根，則外接圓的面積為2222212320488423180602cos601641628448.43.24328321.4A6xxxxbcABCABCAAabcbcaaRRsinASR圓由方程，解得或，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以由正弦定理，得，所以?，析：故選245 . .5ABCaxbBx中，已知，若解此三角形有兩解，則 的取值范圍是452sin2445135902212242sinAxxAAxxx，因三角形有兩解，所以，且，所以，解得且，解析： 忽略大角易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)大邊 22222222212903901804090 .1abABbcaAabcAaabcAA 判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一三角形形狀的判斷依據(jù)：等腰三角形：或；直角三角形：或；鈍角三角形：，或；銳角三角形：若 為最大邊，且滿足或 為最大角，且 1_2 sin_ cos_tan_3 sin_24 cos_25 tantantan_.2ABCBCBCBCBABCCBCABC；，在中常用的一些基本；關(guān)系式sincostancossintantantan22AAAAAABC；【要點(diǎn)指南】；2222 s1insin.ABCABCabcabABabCABC在中， 、 、 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 、 、 ，且滿足，試判斷例的形狀題型一題型一 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀222222sinsinsinsincossinsincossincossinsinsincos.sinsin0sincossincossin 2sin 21 aABABbABABaABbABAABBABABAABBABABA 化成角的關(guān)系求解由條件可得，利用和差角公式展開，得，由方法正弦定理，上式化為因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?、 為三角形的內(nèi)：解：角，所以析2ABBACB故為等腰三角形或直角，或，三角形-2222222222222222222222222222sinsincoscos ()2 22. abABabCabaBbAabcacbbcaababccABCcabababcabcab解化為邊的關(guān)系求解由條件，析：故的形狀為直角三角形或等方法腰得或：可三角形- 三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問(wèn)題，要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角評(píng)析：變形之路1ABCabcacosBABCbcosAABC在中，已知 、 、 分別是角 、 、 的對(duì)變邊，式 ：若，試確定的形狀 22222222222222222222222222222coscos22 0acosBaAbBbcosAbcaacbabbcacabcabacbcababaAbababcabaBCbc由，得，所以，所以，所以，所以，所以或，解析：所以是等腰三角形或直角三角形sinsincossin0sincos202.ABCABBCBCABC在中，已知，求角 、 、例的大小題型二題型二 利用三角函數(shù)知識(shí)解三角形利用三角函數(shù)知識(shí)解三角形sinsincossin0sinsinsincossin0sinsinsincossincoscossin0sinsincos 0. 1 ABBCABABABABABABABBAA由，得，解析：所以，方即法 ：(0)sin0cossin3(0)443sincos20sincos2()04sinsi n 20sin2sincos0.15cos23 5.43 2211BBAAAABCBCBBBBBBBBACCBB因?yàn)榻馕觯核?，所以，從而，由，知，從而，由，得，即，亦即由此得，以，sincos203sincos2sin(2)230222232222sinsincossin0sinsinsin cossin0 2BCBCCBCBCBCBCCBABBCABABAB 由，得由、方法，所以或，即或，由，解：得：析，sinsinsincossincoscossin0sinsincos0.sin0cossin(0)43324252231 5.3122 4ABABABABBAABAAABAABCBCCBBCC所以，即因?yàn)?，所以，由，知，從而，知不合要求，再由，得，解析：所以，sin sinABC本題主要考查三角形問(wèn)題等知識(shí)，關(guān)鍵是運(yùn)用代換及解題方向評(píng)析：的確定 2.3132sinsi.2s22ninBCABCabccCABCabCBAAABC在中，內(nèi)角 ， ，對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是 ， ， ，已知，若的面積等于，求變， ；若求式，的面積 22224.31sin 224.21344ababABCabCababababab由余弦定理及已知條件，得又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得聯(lián)立解析：解得，方程組， 22sinsin4sincossincos2sincos.4323cos0.2633cos0sin2s 123siin.242343.3322n.23BABAAABAAAAABabABAABCSabbaabababbaC由題意得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得由正弦定理得解析：所以的面積，聯(lián)立方程組，解得，1 33.m有一塊半徑為，中心角為的扇形鐵皮材料，為了獲得面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形上，然后作其最大的內(nèi)接矩形請(qǐng)求出最例大面積題型三題型三 三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用(0)3sincos .tan333sin333cossin3COBBCaADOBaADOAOAADAB如圖，設(shè)，則，又，所以解，以析： 所，23sin(cossin)3133sin 2cos226633sin(2)366sin(2)136.6 6ABCDmS矩形則，解析： 矩形面積取最值當(dāng)，大即時(shí)， ()與圓相關(guān)的最值問(wèn)題，常設(shè)角參數(shù) 注意范圍 ，把題目中出現(xiàn)的邊角用含角的三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的最值其中確定是什么樣的三角形，用哪些定理或哪些邊角關(guān)系，列出等式或不等式評(píng)析：是關(guān)鍵0101115 13.(2415260301025010)DABABAABCBAC年月日時(shí)許，位于上海某高層住宅發(fā)生火災(zāi)，為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍，如圖，是著火點(diǎn)， ，變分別是水槍位置，已知米，式全在 處看到著火點(diǎn)的仰角為，求兩支水槍的噴射距離至少國(guó)四校三模是多少？2245 .15.603015 362sin105sin(4560 3)015.41562.215 53.5ABCACBABACACsinACBsinABCCADADCDABBCBCsinACBsinBACBDBCCD 在中，可知由正弦定理得：解析：綜上可知兩，解得又因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，解得由勾股定理可得支水槍的噴射距離至少分別為米，3米 122212 12.()331()112ABCMNABACMNABCGMGAAGMAGNSSySS如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，、 分別是邊、上的點(diǎn)，線段經(jīng)過(guò)的重心設(shè)試將、的面積 分別備記為 與表示為 的函數(shù)；求的最大值與選例題最小值 12123332363.sinsin()6sin()6663sinsin()6sin1sinsin.212sin()61sin().2126661()6GABCAGMAGGMGSGM GAsinSGN GAsAGMGNGAGiNn因?yàn)?是邊長(zhǎng)為的正三角形的重心，所以，由正弦定理，得解又，得，析： 則則 2221maxmi22n11144sin ()261sin240216()72(3)62.22332233yyySSsintayny因解析： 取得最大值；取為，所以，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)得最，小值 12172(3)2 ytan本題第問(wèn)主要考查解三角形，涉及正弦定理的應(yīng)用；第問(wèn)考查三角恒等變形以及三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)評(píng)析：題，化簡(jiǎn)為加以解決12解斜三角形問(wèn)題往往用到正弦定理與余弦定理以及三角變換，解題時(shí)角度的選取是關(guān)鍵并關(guān)注角的取值范圍如已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形，要注意解的情況對(duì)于解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，要理解題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，抽象或構(gòu)造出三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形，要明確先用哪個(gè)公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法在演算過(guò)程中，要算法簡(jiǎn)練，算式工整、計(jì)算正確，還要注意近似計(jì)算的要求34對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵利用正、余弦定理可以進(jìn)行邊角互化，有利于判斷三角形的形狀解決三角形中的問(wèn)題，要從統(tǒng)一著手，或統(tǒng)一成角的關(guān)系，或統(tǒng)一成邊的關(guān)系，要視情況靈活處理在解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防失根tantan33tantan3sincos4ABCABABBBABC已知在中，且，試判斷的形狀tantan33 tantan3tan31tan360 .33sincossin 242260212030609060ABABtanAtanBABtanAtanBCCBBBBBBBAABC 因?yàn)椋?，所以，即，又，所錯(cuò)以，所以，或，所以或，故，或，所以是直角三角形或等邊解： 三角形“”90tanAAABCABC錯(cuò)解分以上解法看似一氣呵成，簡(jiǎn)捷流暢，似乎很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，然而題設(shè)中暗藏了 殺機(jī) ：當(dāng)時(shí)，不存在，故不可能是直角三角形，因而只能為等析： 邊三角形9060tan90AAAABC同上，或，但由于存在，故，正解： 只能為等邊三角形