高中數(shù)學 第三節(jié) 變換的不變量與矩陣的特征向量課件 新人教A版選修42

第三節(jié) 變換的不變量與矩陣的特征向量1.1.矩陣的特征值與特征向量的定義矩陣的特征值與特征向量的定義對于矩陣對于矩陣 實數(shù)實數(shù)及非零向量及非零向量 ，abcd，A滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系定義定義_是矩陣是矩陣A的一個的一個_是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的的一個一個_特征值特征值特征向量特征向量 A2.2.特征向量的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)(1)(1)設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的一個特征向量，則對于任的一個特征向量，則對于任意的非零常數(shù)意的非零常數(shù)k k，_也是矩陣也是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量的特征向量. .(2)(2)屬于矩陣的不同特征值的特征向量屬于矩陣的不同特征值的特征向量_._.(3)(3)求矩陣求矩陣 的特征值、特征向量的步驟：的特征值、特征向量的步驟：第一步：列特征多項式第一步：列特征多項式f(f()=_.)=_.第二步：求第二步：求f(f()=0)=0的根，即特征值的根，即特征值. .第三步：針對不同的特征值，解相應的線性方程組，得一個非第三步：針對不同的特征值，解相應的線性方程組，得一個非零解，即特征向量零解，即特征向量. .不共線不共線abcdAabcdk3.3.特征向量的應用特征向量的應用(1)(1)設(shè)設(shè)A是一個二階矩陣，是一個二階矩陣， 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的任意一的任意一個特征向量，則個特征向量，則 _ (nN_ (nN* *) )(2)(2)性質(zhì)性質(zhì)1 1：設(shè)：設(shè)1 1，2 2是二階矩陣是二階矩陣A的兩個不同特征值的兩個不同特征值 是矩陣是矩陣A的分別屬于特征值的分別屬于特征值1 1，2 2的特征向量，對于任意的特征向量，對于任意的非零平面向量的非零平面向量 ，設(shè)，設(shè) ( (其中其中t t1 1,t,t2 2為實數(shù)為實數(shù)),),則對則對任意的正整數(shù)任意的正整數(shù)n n，有，有 _._.nA n 1 122ttnA nn111222tt12， ，判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)任意向量都可以作為特征向量任意向量都可以作為特征向量.( ).( )(2)(2)矩陣矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量是唯一的的特征向量是唯一的.( ).( )(3)(3)每一個二階矩陣都有特征值及特征向量每一個二階矩陣都有特征值及特征向量.( ).( )(4)(4)矩陣矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量共線的特征向量共線.( ).( )(5)(5)矩陣矩陣A的特征向量分別為的特征向量分別為 任意非零向量任意非零向量 均可均可以用以用 表示表示.( ).( )12， ，12，【解析【解析】(1)(1)錯誤，特征向量必須是非零向量錯誤，特征向量必須是非零向量. .(2)(2)錯誤，矩陣錯誤，矩陣A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量有無數(shù)個的特征向量有無數(shù)個. .(3)(3)錯誤，如矩陣錯誤，如矩陣 就沒有特征值，也就沒有特征就沒有特征值，也就沒有特征向量向量. .(4)(4)正確，若正確，若 是矩陣是矩陣A的特征向量，則的特征向量，則 都是矩陣都是矩陣A的特征向量，顯然是共線向量的特征向量，顯然是共線向量. .(5)(5)正確，都可以表示為正確，都可以表示為 ( (其中其中t t1 1，t t2 2為實數(shù)為實數(shù)) )的的形式形式. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (4) (5) 31221322k (k0)1 122tt 考向考向1 1 矩陣特征值、特征向量的求法矩陣特征值、特征向量的求法【典例【典例1 1】(2012(2012江蘇高考江蘇高考) )已知矩陣已知矩陣A的逆矩陣的逆矩陣A-1= 求矩陣求矩陣A的特征值的特征值【思路點撥【思路點撥】首先求出矩陣首先求出矩陣A，再按照求矩陣特征值的步驟求，再按照求矩陣特征值的步驟求矩陣矩陣A的特征值的特征值. .13441122，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】A-1-1A=E=E2 2，A=(=(A-1-1) )-1-1. .矩陣矩陣A的特征多項式為的特征多項式為 令令f(f()=0)=0，解得矩陣，解得矩陣A的特征值的特征值1 1=-1,=-1,2 2=4.=4.1113441122231.214 ，又，AAA 223f34,21 【互動探究【互動探究】本例中條件不變，試求矩陣本例中條件不變，試求矩陣A的屬于每個特征值的屬于每個特征值的一個特征向量的一個特征向量. .【解析【解析】對于特征值對于特征值1 1=-1=-1，解相應的線性方程組，解相應的線性方程組 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值1 1=-1=-1的一個特征向量；的一個特征向量；13x3y0 x12x2y0y1,11 ，得一個非零解，對于特征值對于特征值2 2=4=4，解相應的線性方程組，解相應的線性方程組 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值2 2=4=4的一個特征向量的一個特征向量. .2x3y02x3y0，2x3y2.32 ，得一個非零解【拓展提升【拓展提升】 求矩陣特征值、特征向量的四個注意點求矩陣特征值、特征向量的四個注意點(1)(1)求矩陣的特征值與特征向量可按照相應的步驟進行求矩陣的特征值與特征向量可按照相應的步驟進行. .(2)(2)特征值與特征向量相對應特征值與特征向量相對應, ,屬于不同特征值的特征向量一般屬于不同特征值的特征向量一般不共線不共線. .(3)(3)將特征值代入后得到的方程組若某一變量缺失將特征值代入后得到的方程組若某一變量缺失, ,實質(zhì)其系數(shù)實質(zhì)其系數(shù)為為0,0,該變量可任意取值該變量可任意取值. .(4)(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但屬于同求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但屬于同一特征值的特征向量都應該是共線向量一特征值的特征向量都應該是共線向量. .【變式備選【變式備選】(2013(2013福州模擬福州模擬) )設(shè)矩陣設(shè)矩陣M是把坐標平面上的點是把坐標平面上的點的縱坐標伸長到原來的的縱坐標伸長到原來的2 2倍，橫坐標保持不變的伸縮變換倍，橫坐標保持不變的伸縮變換(1)(1)求矩陣求矩陣M. .(2)(2)求矩陣求矩陣M的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量【解析【解析】(1)(1)由條件得矩陣由條件得矩陣 (2)(2)因為矩陣因為矩陣 的特征多項式為的特征多項式為令令f(f()=0)=0，解得特征值為，解得特征值為1 1=1=1，2 2=2=2，1002M1002M 10f02 12 ，設(shè)屬于特征值設(shè)屬于特征值1 1的矩陣的矩陣M的一個特征向量為的一個特征向量為e1 1= = 則由線性方程則由線性方程-y=0-y=0，得，得同理，對于特征值同理，對于特征值2 2，得一個特征向量為得一個特征向量為所以所以 是矩陣是矩陣M屬于特征值屬于特征值1 1=1=1的一個特征向量，的一個特征向量， 是矩陣是矩陣M屬于特征值屬于特征值2 2=2=2的一個特征向量的一個特征向量xy，110 ，e201 ，e110 e201 e考向考向2 2 矩陣的特征值、特征向量的應用矩陣的特征值、特征向量的應用【典例【典例2 2】已知矩陣已知矩陣 A的一個特征值的一個特征值=2=2，屬，屬于于的特征向量是的特征向量是 (1)(1)求矩陣求矩陣A. .(2)(2)求直線求直線y=2xy=2x在矩陣在矩陣A所對應的線性變換下的像的方程所對應的線性變換下的像的方程. .【思路點撥【思路點撥】利用特征值、特征向量的定義式利用特征值、特征向量的定義式 列出列出關(guān)于關(guān)于a,ba,b的關(guān)系式，即可求出的關(guān)系式，即可求出a,ba,b，即得矩陣，即得矩陣A，再利用圖形變換，再利用圖形變換的坐標變換公式，求變換后的方程的坐標變換公式，求變換后的方程. .1a,1bA2,1 ，A【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意由題意 解得解得a=2,b=4a=2,b=4，所以，所以 (2) (2) 代入到直線代入到直線y=2xy=2x中得中得7x=5y,7x=5y,故變換后的方程是故變換后的方程是7x-5y=0.7x-5y=0.A2，1a2221b112a42b2, 故，即12.14A12xxx2yx14yyx4yy ，由，得，2xyx3xyy6 ，則，【拓展提升【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩陣的關(guān)注點利用特征值、特征向量求矩陣的關(guān)注點(1)(1)利用特征值、特征向量求矩陣用待定系數(shù)法，列相應關(guān)系利用特征值、特征向量求矩陣用待定系數(shù)法，列相應關(guān)系的依據(jù)是特征值、特征向量的定義的依據(jù)是特征值、特征向量的定義. .(2)(2)在解題的過程中，還是要注意相關(guān)方程組的準確求解在解題的過程中，還是要注意相關(guān)方程組的準確求解. .(3)(3)此類問題往往與圖形變換等知識綜合考查此類問題往往與圖形變換等知識綜合考查. .【變式訓練【變式訓練】已知二階矩陣已知二階矩陣M屬于特征值屬于特征值3 3的一個特征向量為的一個特征向量為 并且矩陣并且矩陣M對應的變換將點對應的變換將點(-1,2)(-1,2)變成點變成點(9,15)(9,15)，求，求出矩陣出矩陣M. .【解析【解析】11 ，eabcd設(shè)，由題意得，M1119abab311215cdcda1ab 3b4c d314.c3a2b 936d6c 2d 15 ，且，則解得，M考向考向3 3 的簡單表示的簡單表示【典例【典例3 3】(2013(2013泉州模擬泉州模擬) )已知矩陣已知矩陣 的一個的一個特征值為特征值為1.1.(1)(1)求矩陣求矩陣M的另一個特征值的另一個特征值. .(2)(2)設(shè)設(shè)【思路點撥【思路點撥】(1)(1)列出矩陣列出矩陣M的特征多項式的特征多項式f(f() )，利用，利用1 1是是f(f()=0)=0的根求的根求a a及另一個特征值及另一個特征值. .(2)(2)將向量將向量 表示為表示為 的形式，再利用公式的形式，再利用公式nA a213M53.2 ，求M 1 122ttnnn5111222tt.表示A M 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)矩陣矩陣M的特征多項式的特征多項式又又矩陣矩陣M的一個特征值為的一個特征值為1 1，f(1)=0f(1)=0，a=0a=0，由由f(f()=(-3)+2=0)=(-3)+2=0，得，得1 1=1,=1,2 2=2=2，所以矩陣所以矩陣M的另一個特征值為的另一個特征值為2.2. a2f13 a32 ，(2)(2)矩陣矩陣M的一個特征值為的一個特征值為1 1=1=1，對應的一個特征向量為，對應的一個特征向量為 另一個特征值為另一個特征值為2 2=2=2，對應的一個特征向量為，對應的一個特征向量為121 ，211 ，12555512213412.1133 ，M M【拓展提升】【拓展提升】表示表示 的三個步驟的三個步驟第一步：求出矩陣第一步：求出矩陣A的特征值的特征值1 1,2 2，對應的特征向量，對應的特征向量第二步：設(shè)第二步：設(shè) 利用向量相等列方程組求利用向量相等列方程組求t t1 1,t,t2 2. .第三步：代入第三步：代入【提醒】【提醒】 的對應的對應要準確，避免對應錯誤要準確，避免對應錯誤. .nA 12.，1 122tt,nnnn111222tt. 中表示A A nnn111222111222tttt 公式中，A 【變式訓練】【變式訓練】已知矩陣已知矩陣M有特征值有特征值1 14 4及對應的一個特征向及對應的一個特征向量量 并有特征值并有特征值2 21 1及對應的一個特征向量及對應的一個特征向量 求矩陣求矩陣M及及M2 0132 013e2 2. .123 ，e211，e【解析】【解析】由由得得a a1 1，b b3 3，c c2 2，d d2 2，acac224bdbd33 設(shè)，則，M2a3c8,2b3d 12,ac11( 1)bd11ac1,bd 1, 即 又， 即 2 0132 0132 0132221232111.11 所以，則MMee