江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式復(fù)習(xí)》課件 新人教A版選修45

書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話 不等式定理及其重要變形不等式定理及其重要變形：),(222Rbaabba2baab2)2(ba),(Rba（定理）重要不等式（定理）重要不等式（推論）基本不等式（又叫均值不等式）（推論）基本不等式（又叫均值不等式）ab代數(shù)意義：代數(shù)意義：ab 如果把如果把 看做是兩正數(shù)看做是兩正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng), 看做是兩正數(shù)看做是兩正數(shù)a、b 的的等比中項(xiàng)等比中項(xiàng), 那么均值不等式可敘述為那么均值不等式可敘述為: 兩兩個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)不小于它們的不小于它們的等比中項(xiàng)等比中項(xiàng).2ba幾何意義：幾何意義： 均值不等式的幾何解釋是均值不等式的幾何解釋是: 半徑不小于半弦半徑不小于半弦. 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 均值不等式的左式為和均值不等式的左式為和結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu), 右式為積的形式右式為積的形式, 該不等式表明兩該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系, 運(yùn)用該不等式可作運(yùn)用該不等式可作和與積之間的不等變和與積之間的不等變換換.abab二、公式的拓展二、公式的拓展abbaab22222baba),(Rba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí)“=”成立成立),(222Rbaabbaabba4)(2222)()(2baba（1）abcaccbba8)()(三、公式的應(yīng)用（一）三、公式的應(yīng)用（一）證明不等式證明不等式（2）1 cba已知已知8) 11)(11)(11(cba求證求證（以下各式中的字母都表示正數(shù)）（以下各式中的字母都表示正數(shù)） 1:3cba。已知31cabcab求證：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222證明：證明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本題條件本題條件a,b,c為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)法解不等式法解不等式求證:a+ac+c+3b(a+b+c) 0 證明: 原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc) 0 設(shè)f(a)= a+(c+3b)a+(c+3b+3bc) = (c+3b)-4(c+3b+3bc) =-3(c+b) f(a) 0 (當(dāng)且僅當(dāng)-b=c=a取等號)四、公式的應(yīng)用（二）四、公式的應(yīng)用（二）求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值（2） 已知已知 是正數(shù)，是正數(shù)， （定值），（定值）， 求求 的最小值；的最小值； yx,yxSxy已知已知 是正數(shù)，是正數(shù)， （定值），（定值）， 求求 的最大值；的最大值； yx,Pyxxy（1）一正二一正二定三相定三相等等和定積最大和定積最大積定和最小積定和最小已知已知 ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值；的最大值； 310 x)31 (xxy（3）已知已知 是正數(shù)，滿足是正數(shù)，滿足 ， 求求 的最小值；的最小值； yx,（4）yx1112 yx創(chuàng)造條件創(chuàng)造條件注意取等號的條件注意取等號的條件（3 3 ）已知：）已知：0 0 x x31，求函數(shù)，求函數(shù)y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、分析一、原函數(shù)式可化為：原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隱含條件挖掘隱含條件即即x=x=61時(shí)時(shí) y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1為定值，且為定值，且0 0 x x31則則1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法配湊成和成配湊成和成定值定值（4 4）已知正數(shù)）已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值為的最小值為yx1124過程中兩次運(yùn)用了過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取均值不等式中取“=”=”號過渡，而這兩次取號過渡，而這兩次取“=”=”號的條件是不同的，號的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)。故結(jié)果錯(cuò)。錯(cuò)因：錯(cuò)因：解：解：（4 4）已知正數(shù)）已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解：正解：223當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)yxxy2即即:xy2時(shí)取時(shí)取“=”號號122yxxy而222221yx即此時(shí)即此時(shí)223minyyx11yyxxyx22yxxy23“1”代換法代換法特別警示特別警示：用均值不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)最值存在的用均值不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)最值存在的條件，特別地，如果多次運(yùn)用均值不等式求條件，特別地，如果多次運(yùn)用均值不等式求最值，則要考慮多次最值，則要考慮多次“”（或者（或者“”）中?。┲腥　?”=”成立的諸條件是否相容。成立的諸條件是否相容。閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯(cuò)，指出有錯(cuò)誤的地方。閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯(cuò)，指出有錯(cuò)誤的地方。1121.abRabab1.已知 ，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的的最最小小值值為為、及及解解法法二二：由由baababbababaRbaba （5）錯(cuò)題辨析）錯(cuò)題辨析. 6911211,31, 12,1211babababaabba又成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)解法三：正確解法一正確解法一“1”代換法代換法.1112的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知babaRba （5 5）已知正數(shù)）已知正數(shù)a a、b b滿足滿足a a+2b=1+2b=1，求，求ba11的最小值的最小值正解：正解：223當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)baab2即即:ba2時(shí)取時(shí)取“=”號號122baba而222221ab即此時(shí)即此時(shí)223minzba11bbaaba22baab23“1”的代換五五：公式應(yīng)用（三）解決實(shí)際問題例例3. 如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最大？APBHba例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最大？:,PxPHAPHBPH解 設(shè)學(xué)生 距黑板 米黑板上下邊緣與學(xué)生的水平視線的夾角分別為其中則學(xué)生看黑板的視角為,tan,tan由此可得由xbxa2tantanan1tantatn1ababxxababxxx,tan,22最大時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)因?yàn)閍bxabxabxxabx,為銳角由于,最大此時(shí).ab即學(xué)生距墻壁時(shí)看黑板的視角最大問問 題題 與與 思思 考考4。某種商品準(zhǔn)備兩次提價(jià)。某種商品準(zhǔn)備兩次提價(jià), 有三種方案有三種方案:A.第一次提價(jià)第一次提價(jià) m, 第二次提價(jià)第二次提價(jià) n ;B.第一次提價(jià)第一次提價(jià) n, 第二次提價(jià)第二次提價(jià) m ;C.兩次均提價(jià)兩次均提價(jià) .試問哪種方案提價(jià)后的價(jià)格高試問哪種方案提價(jià)后的價(jià)格高?2nm 設(shè)原價(jià)為設(shè)原價(jià)為M元元, 令令a = m, b = n, 則則按三種方案提價(jià)后的價(jià)格分別為按三種方案提價(jià)后的價(jià)格分別為:A. (1+a)(1+b)M =(1+a+b+ab)MC. (1+ )2 M =1+a+b+ M2ba2)2(ba只需比較只需比較 ab 與與 的大小的大小.2)2(ba042)2(222babaabba易知易知B. (1+b)(1+a)M =(1+a+b+ab)M5.5.某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為容積為 , ,深為深為3m3m，如果池底每平，如果池底每平方方米的造價(jià)為米的造價(jià)為150150元，池壁每平方米的造價(jià)為元，池壁每平方米的造價(jià)為120120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池才能使造價(jià)最低，元，問怎樣設(shè)計(jì)水池才能使造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？最低造價(jià)是多少元？34800 m問問 題題 與與 思思 考考實(shí)際問題實(shí)際問題抽象概括抽象概括引入變量引入變量數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解實(shí)際問題的解還原還原說明說明推推 理理演演 算算建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù)均值不等式均值不等式2 2、解應(yīng)用題思路、解應(yīng)用題思路反思研究反思研究1 1、設(shè)、設(shè) 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,2 2、設(shè)則的最大值為、設(shè)則的最大值為_。, 12, 0, 022baba21 ba、設(shè)、設(shè) 滿足滿足 ，且，且 則則 的最大值是（的最大值是（ ）yx,404 yx0, 0 yxyx lglg A、40 B、10 C、4 D、224423（）（）各項(xiàng)或各因式為各項(xiàng)或各因式為正正（）（）和或積為和或積為定值定值（）（）各項(xiàng)或各因式能取得各項(xiàng)或各因式能取得相等的值相等的值，必要時(shí)作適當(dāng)變形，必要時(shí)作適當(dāng)變形，以滿足上述前提，即以滿足上述前提，即“一正二定三相等一正二定三相等”、二元均值不等式具有將、二元均值不等式具有將“和式和式”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“積式積式”和將和將“積積式式”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為“和式和式”的的放縮功能放縮功能； 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)合理拆分項(xiàng)或或配湊因式配湊因式是常是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立使等號能夠成立；、應(yīng)用均值不等式須注意以下三點(diǎn)：、應(yīng)用均值不等式須注意以下三點(diǎn)：3、均值不等式在實(shí)際生活中應(yīng)用時(shí)，也應(yīng)注意取值范圍和能取到、均值不等式在實(shí)際生活中應(yīng)用時(shí)，也應(yīng)注意取值范圍和能取到等號的前提條件。等號的前提條件。乘積乘積倒數(shù)倒數(shù)其他其他平方平方1,baRba設(shè)設(shè)你能給出幾個(gè)含有你能給出幾個(gè)含有字母字母a a和和b b的不等式的不等式410 ab411ba21122ba9)11)(11 (ba425)1)(1(bbaa