河北省保定市物探中心學(xué)校第一分校高中數(shù)學(xué) 1.5.1曲邊梯形的面積課件 蘇教版選修22

微積分在幾何上有兩個(gè)基本問(wèn)題微積分在幾何上有兩個(gè)基本問(wèn)題1.如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；2.如何求曲線下方如何求曲線下方“曲線梯形曲線梯形”的面積。的面積。xy0 xy0 xyo直線直線幾條線段連成的折線幾條線段連成的折線曲線？曲線？1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積直線直線x 0、x 1、y 0及曲線及曲線y x2所圍成的圖形（曲邊三所圍成的圖形（曲邊三角形）面積角形）面積S是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2方案方案3為了計(jì)算曲邊三角形的面積為了計(jì)算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，將它分割成許多小曲邊梯形對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊直邊”代替代替“曲邊曲邊”（即（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積 A1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A近似為近似為A1AiAn分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積S。下面用第一種方案下面用第一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作過(guò)程的具體操作過(guò)程（1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間00，11等分成等分成n n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1,0 n1n1inix 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 （2） 近似代換近似代換n1)n1i(x)n1i(fS2i （3）求和）求和)n)(n()n(n)n(n1)1n(210n1 n1)n1-i(n1)n1-if( SSSSS322223n1i2n1in1iin2121111316121 （4）取極限）取極限。面面積積為為，即即所所求求曲曲邊邊三三角角形形的的所所以以，從從而而趨趨向向時(shí)時(shí)，亦亦即即當(dāng)當(dāng)分分割割無(wú)無(wú)限限變變細(xì)細(xì)，即即3131S)n)(n(lim)ni(fnlimSlimSS)n)(n(S)n(0 xnninnnn 3121111311121111311 分割分割近似代換近似代換求和求和取極限取極限分割，求和，取極限分割，求和，取極限 當(dāng)分點(diǎn)非常多（當(dāng)分點(diǎn)非常多（n非常大）時(shí)，可以認(rèn)為非常大）時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化（或變化非常小），從在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化（或變化非常小），從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是f(xi) x來(lái)近似表示來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積小曲邊梯形的面積x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲邊梯形面積的近似值表示了曲邊梯形面積的近似值 y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)得得n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲邊梯形分成把曲邊梯形分成 n 個(gè)窄曲邊梯形個(gè)窄曲邊梯形任取任取x xi xi 1，xi ，以，以f (x x i) xi近似代替第近似代替第i個(gè)窄曲邊梯形的面?zhèn)€窄曲邊梯形的面積積區(qū)間區(qū)間xi 1 , xi 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度度 xi xi xi 1 曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A niiixf1)(x曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A niiixf1)(x y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)得得n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)區(qū)間區(qū)間xi 1 , xi 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度度 xi xi xi 1 分割演示分割演示例例1：火箭發(fā)射后：火箭發(fā)射后ts的速度為的速度為v(t)(單位單位:m/s),假定假定0t10,對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)v(t)按上式所作的和具有怎樣的實(shí)按上式所作的和具有怎樣的實(shí)際意義？際意義？例例2：如圖，有兩個(gè)點(diǎn)電荷：如圖，有兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B，電量分別為，電量分別為qA,qB,固定電荷固定電荷A，將電荷，將電荷B從距從距A為為a處移到距處移到距A為為b 處，求庫(kù)侖力對(duì)電荷處，求庫(kù)侖力對(duì)電荷B所做的功。所做的功。練習(xí)練習(xí) ：P46 1小結(jié)小結(jié)觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。