湖北省荊州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念課件 新人教A版選修11

3.1.23.1.2導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-11-11 1、平均變化率、平均變化率 )(xf一般的，函數(shù)在區(qū)間上一般的，函數(shù)在區(qū)間上 的的平均變化率平均變化率為為 ,21xx xxfxxf)()(222121xxxfxf一一.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 其幾何意義是其幾何意義是 表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。曲線的割線）的斜率。 在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度為度為h（單位：（單位：m）與起跳后的時(shí)間）與起跳后的時(shí)間t(單位：單位：s )存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2時(shí)的瞬時(shí)速度？時(shí)的瞬時(shí)速度？2我們先考察我們先考察2附近的情況。附近的情況。任取一個(gè)時(shí)刻任取一個(gè)時(shí)刻2，是時(shí)間改變量，可以是正值，是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為也可以是負(fù)值，但不為0.當(dāng)當(dāng)0時(shí)，在時(shí)，在2之前；之前；當(dāng)當(dāng)0時(shí)，在時(shí)，在2之后。之后。0時(shí)時(shí)20時(shí)時(shí)2二二.新授課學(xué)習(xí)新授課學(xué)習(xí)2,22,2,.ttv計(jì)算區(qū)間和區(qū)間內(nèi)平均速度 可以得到如下表格t0時(shí)時(shí), 在在2, 2 +t 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當(dāng)t = 0.01時(shí),13.149v 當(dāng)t = 0.01時(shí),0951.13v當(dāng)t = 0.001時(shí),1049.13v當(dāng)t =0.001時(shí),13.09951v 當(dāng)t = 0.0001時(shí),13.10049v 當(dāng)t =0.0001時(shí),099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時(shí)時(shí),平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?,0,2,22,13.1.tt 我們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)趨近于 時(shí) 即無論 從小于 的一邊還是從大于 一邊趨近于 時(shí) 平均速度都趨近于一個(gè)確定的值,|,2.,213.1/ .tvttm s 從物理的角度看 時(shí)間間隔無限變小時(shí) 平均速度 就無限趨近于時(shí)的瞬時(shí)速度因此 運(yùn)動員在時(shí)的瞬時(shí)速度是 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時(shí)趨勢近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時(shí)的極限時(shí)的極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth 瞬時(shí)速度0limt 在局部以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過在局部以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。思考：思考：如何求瞬時(shí)速度？如何求瞬時(shí)速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的條件下求右面的極限值。在其下面的條件下求右面的極限值。運(yùn)動員在某一時(shí)刻運(yùn)動員在某一時(shí)刻0的瞬時(shí)速度如何表示的瞬時(shí)速度如何表示?0limt(2)(2)13.1htht 示？處的瞬時(shí)變化率怎么表在、函數(shù)xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函數(shù)的平均變化率怎么表示？、函數(shù)的平均變化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或記作：處的導(dǎo)數(shù)，在我們稱它為函數(shù)定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同的值有關(guān)，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關(guān)。與 xxf)(. 20一概念的兩個(gè)名稱。瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同. 3導(dǎo)數(shù)的作用：導(dǎo)數(shù)的作用：在例在例2中，高度中，高度h關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)是運(yùn)動員的的導(dǎo)數(shù)是運(yùn)動員的瞬時(shí)速度；瞬時(shí)速度；在例在例1中，我們用的是平均膨脹率，那么半徑中，我們用的是平均膨脹率，那么半徑r關(guān)于體積關(guān)于體積v的導(dǎo)數(shù)是氣球的的導(dǎo)數(shù)是氣球的瞬時(shí)膨脹率瞬時(shí)膨脹率導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為s=t2+3，求，求質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度.三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均變附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx 2()3xx 2()3yxxxx平均變化率3x /00( 1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度.三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 練習(xí)練習(xí):xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：.)0( |2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)：利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 當(dāng)時(shí).0101 xxy0,xyx當(dāng)時(shí)()1,yxxxxx則0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時(shí)變化率原油溫度時(shí)和第計(jì)算第為單位的溫度原油時(shí)如果在和加熱行冷卻油進(jìn)對原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfCxh,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時(shí)變化率時(shí)和第在第解 xxx152721527222 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.運(yùn)運(yùn)算算過過程程請請同同學(xué)學(xué)們們自自己己完完成成具具體體0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第與第時(shí) 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為與它說明：在第附近 原油溫度大約以的速率下降在附近 原油溫度大約以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油溫度在時(shí)刻 附近的變化情況計(jì)算第計(jì)算第3（h）和第）和第5（h）時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)）時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。變化率，并說明它們的意義。 35f 13f）（，解：這說明這說明:在第在第3小時(shí)附近，原油溫度大約以小時(shí)附近，原油溫度大約以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小時(shí)附近，小時(shí)附近，原油溫度大約以原油溫度大約以3的速率上升。的速率上升。練習(xí)：練習(xí)：小結(jié)：小結(jié)： 1 1求物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度：求物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(ts=s(t+t)-s(t) ) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求極限）求極限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx 思考：思考： 物體作自由落體運(yùn)動物體作自由落體運(yùn)動,運(yùn)動方程為：運(yùn)動方程為： 其中位移單位是其中位移單位是m,時(shí)間單位是時(shí)間單位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(s)時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，代入上式，得得: ./05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當(dāng)當(dāng)_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt