高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理

第8講數(shù)學(xué)歸納法1掌握“歸納猜想證明”這一基本思路2了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理3能利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題1運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))，兩步缺一不可2用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問題等條時，第一步檢驗第一個值 n0 等于()A1B2C3D4且 n1)時，在第二步證明從 nk 到 nk1 成立時，左邊增加的項數(shù)是()A2k B2k1 C2k1 D2k1CA3.凸 n 邊形有 f(n)條對角線，則凸 n1 邊形有對角線數(shù) f(n1)為()C5Af(n)n1Cf(n)n1Bf(n)nDf(n)n24若不等式 2nn21對于nn0的正整數(shù) n 都成立，則n0 的最小值為_.考點1對數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的認(rèn)識上述證法()A過程全都正確Bn1 驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從 nk 到 nk1 的推理不正確解析：上述證明過程中，在由nk 變化到nk1 時，不等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設(shè)故選 D.答案：D答案：B【規(guī)律方法】用數(shù)學(xué)歸納法證明時，要注意觀察下列幾個方面：n 的范圍以及遞推的起點；觀察首末兩項的次數(shù)(或其他)，確定nk 時命題的形式f(k)；從f(k1)和f(k)的差異，尋找由k 到 k1 遞推中，左邊要加(或乘)的式子.【互動探究】1用數(shù)學(xué)歸納法證明 1aa2an1an1(a1，1anN*)時，在驗證 n1 時，左邊計算所得的式子是()BA1C1aa2B1aD1aa2a4解析：n1 時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是 1a. 的2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 1n1 n21 13nn 24過 程中 ， 由 k 推 導(dǎo)到 k 1 時 ，不等式左 邊增加 的 式子 是.1(2k1)(2k2)答案：n(n1) (an2bnc)對一切正整數(shù) n 都成立？證明你考點2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題例2：是否存在常數(shù) a，b，c，使等式 1222322n(n1)12的結(jié)論思維點撥：從特殊入手，探求a，b，c 的值，考慮到有 3個未知數(shù)，先取 n1,2,3，列方程組求得，然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切 nN*，等式都成立(3n211n abc24，解：把 n1,2,3 代入得方程組 4a2bc44， 9a3bc70， a3，解得 b11， c10.猜想：等式122232n(n1)2n(n1)1210)對一切 nN*都成立(3k211k10)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng) n1 時，由上面可知等式成立(2)假設(shè) nk 時等式成立，即 122232k(k1)2k(k1)12k(k1)k(k1)則122232k(k1)2(k1)(k2)212(3k211k10)(k1)(k2)212(3k5)(k2)(k1)(k2)2(k1)(k2)12k(3k5)12(k2)(k1)(k2)123(k1)211(k1)10當(dāng) nk1 時，等式也成立綜合(1)(2)，對nN*等式都成立【規(guī)律方法】這是一個探索性命題，“歸納猜想證明”是一個完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式.對于探索命題特別有效，要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，敢于提出更一般的結(jié)論，最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證.從特殊入手，探求a，b，c 的值，考慮到有3個未知數(shù)，先取n1，2，3，列方程組求得，然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切nN*，等式都成立. ， ，左邊右邊，所以等式成立【互動探究】3用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) nN*時，1131351 n(2n1)(2n1) 2n1.證明：(1)當(dāng)n1 時，左邊1 113 3右邊121113k1 k1(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即有1131351(2k1)(2k1)k2k1，則當(dāng) nk1 時，1131351(2k1)(2k1)1(2k1)(2k3)k 12k1 (2k1)(2k3)k(2k3)1(2k1)(2k3)2k23k1(2k1)(2k3)2k3 2(k1)1，所以當(dāng) nk1 時，等式也成立由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立考點3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題例3：試證：當(dāng)n 為正整數(shù)時，f(n)32n28n9能被 64整除證明：方法一：(1)當(dāng)n1時，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1時命題也成立根據(jù)(1)(2)可知，對任意的nN*，命題都成立方法二：(1)當(dāng)n1時，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，f(k)32k28k9能被64整除由歸納假設(shè)，設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù))，將32k264m8k9代入到f(k1)中，得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，當(dāng)nk1時命題成立根據(jù)(1)(2)可知，nN*，命題都成立【互動探究】4求證：二項式 x2ny2n(nN*)能被 xy 整除證明：(1)當(dāng)n1時，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，顯然x2k2y2k2能被xy整除，即當(dāng)nk1時命題成立由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n命題均成立 難點突破數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例題：(2014年廣東)設(shè)數(shù)列an的前n和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式則Sk357(2k1)3(2k1)2kk(k2)解：S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.綜上所述，a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，當(dāng)n1時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，ak2k1，又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k.解得ak12k3.ak12(k1)1，即當(dāng)nk1時，結(jié)論成立由知，nN*，an2n1.【規(guī)律方法】猜想an2n1；根據(jù)猜想求出Sk；再利用Sk2kak13k24k求出ak1；驗證ak1也滿足猜想，得出結(jié)論.