高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 必考部分 第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 文 北師大版

第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來【教材導(dǎo)讀【教材導(dǎo)讀】數(shù)列求和有哪些方法數(shù)列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯(cuò)位相減法公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯(cuò)位相減法. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列 a an n 滿足與首末兩項(xiàng)等滿足與首末兩項(xiàng)等“距離距離”的兩項(xiàng)的和相等的兩項(xiàng)的和相等( (或等或等于同一常數(shù)于同一常數(shù)),),那么求這個(gè)數(shù)列的前那么求這個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差, ,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消, ,從從而求得其和而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成組成, ,求和時(shí)可用分組求和法求和時(shí)可用分組求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .熟記公式，最基本的要求熟記公式，最基本的要求(5)(5)并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和中項(xiàng)和中, ,若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解, ,則稱之為并項(xiàng)求則稱之為并項(xiàng)求和和. .形如形如a an n=(-1)=(-1)n nf(n)f(n)類型類型, ,可采用并項(xiàng)法求解可采用并項(xiàng)法求解. .(6)(6)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的成的, ,那么這個(gè)數(shù)列的前那么這個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和可用此法來求項(xiàng)和可用此法來求, ,如等比數(shù)列的前如等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的就是用此法推導(dǎo)的. .2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)(1)等差模型等差模型: :當(dāng)增加當(dāng)增加( (或減少或減少) )的量是一個(gè)固定量時(shí)的量是一個(gè)固定量時(shí), ,該模型是等差模型該模型是等差模型, ,增加增加( (或減少或減少) )的量就是公差的量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí), ,該模型是該模型是等比模型等比模型, ,這個(gè)固定的數(shù)就是公比這個(gè)固定的數(shù)就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式, ,可由遞可由遞推關(guān)系入手解決實(shí)際問題推關(guān)系入手解決實(shí)際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型是該等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例模型的兩個(gè)特例. .夯基自測夯基自測1.(20151.(2015高考浙江卷高考浙江卷) )已知已知 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,公差公差d d不為零不為零, ,前前n n項(xiàng)和是項(xiàng)和是S Sn n, ,若若a a3 3,a,a4 4,a,a8 8成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則( ( ) )(A)a(A)a1 1d0,dSd0,dS4 400 (B)a(B)a1 1d0,dSd0,dS4 400,dSd0,dS4 400 (D)a(D)a1 1d0,dSd00B BA A C C解析解析: :由已知可得由已知可得a a1 1=4,a=4,a2 2=f(a=f(a1 1)=f(4)=2,a)=f(4)=2,a3 3=f(a=f(a2 2)=f(2)=4,)=f(2)=4,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為周期數(shù)列為周期數(shù)列,a,an+2n+2=a=an n, ,所以所以a a2 0152 015=a=a2 21 007+11 007+1=a=a1 1=4.=4.故選故選C.C.5.35.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+ +(n+2)+(n+2)2 2-n-n= =.考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 數(shù)列求和數(shù)列求和( (高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn)) )考查角度考查角度1:1:分組法求和分組法求和. .【例【例1 1】 (2016(2016哈師大附中月考哈師大附中月考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n ,b,bn n 滿足滿足a a1 1=5,a=5,an n=2a=2an-1n-1+ +3 3n-1n-1(n2,n(n2,nN N* *),b),bn n=a=an n-3-3n n(n(nN N* *).).(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;先確定先確定bbn n 是什么數(shù)列，再求通項(xiàng)是什么數(shù)列，再求通項(xiàng)(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .先求先求an，再確定求和方法，再確定求和方法反思?xì)w納反思?xì)w納 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型(1)(1)若若a an n=b=bn nc cn n, ,且且bbn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .考查角度考查角度2:2:裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法. .高考掃描高考掃描: :20132013高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷【例【例2 2】 (2015(2015寧夏石嘴山高三聯(lián)考寧夏石嘴山高三聯(lián)考) )已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列 a an n 的前的前7 7項(xiàng)和為項(xiàng)和為70,70,且且a a3 3為為a a1 1和和a a7 7的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng). .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;列方程組求基本量列方程組求基本量先求先求bn, ,后確定方法后確定方法1nb1nb反思?xì)w納反思?xì)w納(2)(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí), ,應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng), ,也有可能前面剩兩項(xiàng)也有可能前面剩兩項(xiàng), ,后面也剩兩項(xiàng)后面也剩兩項(xiàng), ,再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后, ,有時(shí)候需有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)要調(diào)整前面的系數(shù), ,使前后相等使前后相等. .考查角度考查角度3:3:錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和. .高考掃描高考掃描: :20142014高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷【例【例3 3】 (2015(2015東北三校第二次聯(lián)考東北三校第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且a a1 1=2,a=2,an+1n+1=S=Sn n+2,n+2,nN N* *. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;1nb構(gòu)造法不要漏掉構(gòu)造法不要漏掉n=1 n=1 的情況！的情況！(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n=n=na an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .體現(xiàn)錯(cuò)位，體現(xiàn)錯(cuò)位，冪指數(shù)相同的作差冪指數(shù)相同的作差中間中間n項(xiàng)項(xiàng)反思?xì)w納反思?xì)w納 錯(cuò)位相減法求和策略錯(cuò)位相減法求和策略(1)(1)如果數(shù)列如果數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b,bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列aan nb bn n 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng)和時(shí)和時(shí), ,可采用錯(cuò)位相減法可采用錯(cuò)位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bbn n 的公比的公比, ,然后作差求解然后作差求解. .(2)(2)在寫在寫“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出以便下一步準(zhǔn)確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達(dá)式的表達(dá)式. .(3)(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí), ,若等比數(shù)列的公比為參數(shù)若等比數(shù)列的公比為參數(shù), ,應(yīng)分公比等應(yīng)分公比等于于1 1和不等于和不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合列方程組求基本量列方程組求基本量構(gòu)造法求構(gòu)造法求bn(2)(2)若若bbn naan n對(duì)對(duì)nnN N* *均成立均成立, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍的取值范圍. .分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求最值問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求最值問題反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類: :已知函數(shù)條已知函數(shù)條件件, ,解決數(shù)列問題解決數(shù)列問題, ,一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像; ;已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決解決函數(shù)問題函數(shù)問題, ,一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡變形變形. .(2)(2)數(shù)列與不等式的恒成立問題數(shù)列與不等式的恒成立問題. .此類問題常構(gòu)造函數(shù)此類問題常構(gòu)造函數(shù), ,通過函數(shù)的單通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題調(diào)性、最值等解決問題. .(3)(3)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題. .解決此類問題要靈活選擇不等式的解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法證明方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .(1)(1)證明證明: :由題意得由題意得S Sn n=2a=2an n-2,-2,所以所以S Sn-1n-1=2a=2an-1n-1-2(n2,nN-2(n2,nN* *).).兩式相減得兩式相減得a an n=2a=2an n-2a-2an-1n-1, ,即即a an n=2a=2an-1n-1(n2,nN(n2,nN* *).).又又a a1 1=S=S1 1=2a=2a1 1-2,-2,所以所以a a1 1=2.=2.所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 是以是以2 2為首項(xiàng)為首項(xiàng),2,2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. .(2)(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 b bn n 滿足滿足b bn n=a=an+1n+1-a-an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .(2)(2)解解: :法一法一由由(1)(1)得得a an n=2=22 2n-1n-1=2=2n n, ,所以所以T Tn n=(a=(a2 2-a-a1 1)+(a)+(a3 3-a-a2 2)+(a)+(a4 4-a-a3 3)+)+(a+(an+1n+1-a-an n)=a)=an+1n+1-a-a1 1=2=2n+1n+1-2.-2.法二法二由由(1)(1)得得a an n=2=22 2n-1n-1=2=2n n, ,則則b bn n=a=an+1n+1-a-an n=2=2n+1n+1-2-2n n=2=2n n=a=an n. .故故T Tn n=S=Sn n=2a=2an n-2=2-2=2n+1n+1-2.-2.備選例題備選例題【例【例2 2】 (2015(2015河南省六市第二次聯(lián)考河南省六市第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1=1,a=1,a2 2=3,=3,且滿足對(duì)任意的且滿足對(duì)任意的nnN N* *, ,都有都有a an+1n+1-a-an n22n n,a,an+2n+2-a-an n332 2n n成立成立, ,則則a a2 0152 015= =.解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)閍 an n-a-an+2n+2-3-32 2n n, , a an+1n+1-a-an n22n n. . 式與式與式相加得式相加得a an+1n+1-a-an+2n+2-2-2n+1n+1, ,所以所以a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. . 又又a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. . 由由和和可得可得a an+2n+2-a-an+1n+1=2=2n+1n+1, ,所以所以a an+1n+1-a-an n=2=2n n. .利用累加法可求得利用累加法可求得a an+1n+1-a-a1 1=2=2n n+2+2n-1n-1+ +2+21 1=2=2n+1n+1-2,-2,所以所以a an+1n+1=2=2n+1n+1-1,-1,所以所以a an n=2=2n n-1.-1.所以所以a a2 0152 015=2=22 0152 015-1.-1.答案答案: :2 22 0152 015-1-1【例【例3 3】 (2015 (2015河南六市第一次聯(lián)考河南六市第一次聯(lián)考) )已知已知 a an n 是一個(gè)公差大于是一個(gè)公差大于0 0的等差的等差數(shù)列數(shù)列, ,且滿足且滿足a a3 3a a5 5=45,a=45,a2 2+a+a6 6=14.=14.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,由題意知由題意知d0.d0.由由a a2 2+a+a6 6=14,=14,可得可得a a4 4=7.=7.由由a a3 3a a5 5=45,=45,得得(7-d)(7+d)=45,(7-d)(7+d)=45,可得可得d=2.d=2.所以所以a a1 1=7-3d=1.=7-3d=1.可得可得a an n=2n-1.=2n-1.【例【例4 4】 (2015(2015石家莊一模石家莊一模) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1=S=Sn n+1(n+1(nN N* *,-1),-1),且且a a1 1,2a,2a2 2,a,a3 3+3+3為等差數(shù)列為等差數(shù)列 b bn n 的前的前三項(xiàng)三項(xiàng). .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n ,b,bn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;解解: :(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1n+1=S=Sn n+1(n+1(nN N* *),),所以所以a an n=S=Sn-1n-1+1(n2),+1(n2),所以所以a an+1n+1-a-an n=a=an n, ,即即a an+1n+1=(+1)a=(+1)an n(n2),+10,(n2),+10,又又a a1 1=1,a=1,a2 2=S=S1 1+1=+1,+1=+1,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為以為以1 1為首項(xiàng)為首項(xiàng), ,公比為公比為+1+1的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,所以所以a a3 3=(+1)=(+1)2 2, ,所以所以4(+1)=1+(+1)4(+1)=1+(+1)2 2+3,+3,整理得整理得2 2-2+1=0,-2+1=0,得得=1.=1.所以所以a an n=2=2n-1n-1,b,bn n=1+3(n-1)=3n-2.=1+3(n-1)=3n-2.(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列 a an nb bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化數(shù)列的綜合問題數(shù)列的綜合問題答題模板答題模板: :第一步第一步: :由條件等式確定數(shù)列由條件等式確定數(shù)列aan n 是一個(gè)特殊數(shù)列是一個(gè)特殊數(shù)列( (等差或等等差或等比數(shù)列比數(shù)列).).第二步第二步: :由條件確定首項(xiàng)由條件確定首項(xiàng)a a1 1. .第三步第三步: :確定數(shù)列確定數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式及的通項(xiàng)公式及bbn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .第四步第四步: :根據(jù)數(shù)列根據(jù)數(shù)列bbn n 的通項(xiàng)公式特點(diǎn)的通項(xiàng)公式特點(diǎn), ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .