江西省遂川二中高中數(shù)學(xué) 最小二乘法課件 北師大版必修3

1.兩個變量之間的關(guān)系一般有兩類兩個變量之間的關(guān)系一般有兩類:（1）確定性關(guān)系的函數(shù)關(guān)系）確定性關(guān)系的函數(shù)關(guān)系, 并可以用表達式來表示并可以用表達式來表示; （2）關(guān)系不確定的兩個變量之間的關(guān)系）關(guān)系不確定的兩個變量之間的關(guān)系, 即相關(guān)關(guān)系即相關(guān)關(guān)系, 相關(guān)關(guān)系又可以分為線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系又可以分為線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系.2.散點圖是將兩個變量之間的關(guān)系用直角坐標系中的點表示出散點圖是將兩個變量之間的關(guān)系用直角坐標系中的點表示出來來, 從而可以比較直觀的判斷兩個變量之間的關(guān)系從而可以比較直觀的判斷兩個變量之間的關(guān)系.3.判斷兩個變量之間是否有相關(guān)關(guān)系的方法有兩種判斷兩個變量之間是否有相關(guān)關(guān)系的方法有兩種:（1）根據(jù)實際生活中的經(jīng)驗）根據(jù)實際生活中的經(jīng)驗;（2）利用散點圖來判斷）利用散點圖來判斷.一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧二、新知探究二、新知探究1.提出問題提出問題 高二某班學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間高二某班學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間 x(單位單位:h)與數(shù)學(xué)成與數(shù)學(xué)成績績 y(單位單位:分分)之間有如下數(shù)據(jù)之間有如下數(shù)據(jù):x24152319161120161713y92799789644783687159某同學(xué)每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間為某同學(xué)每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間為18h, 試預(yù)測該生數(shù)學(xué)成績試預(yù)測該生數(shù)學(xué)成績.o101214 1618202224406080100yx2.思考交流思考交流o101214 1618202224406080100yx 選擇怎樣的直線近似地表示用于選擇怎樣的直線近似地表示用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間與與數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)成績成績之間的關(guān)系之間的關(guān)系?請設(shè)計方案請設(shè)計方案.yabx)A(iiy,x,B( )iixy3.抽象概括抽象概括 如果有如果有n個點個點(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), 可以用下面的表達可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線式來刻畫這些點與直線 y=a+bx的接近程度的接近程度:.bxaybxaybxaynn2222211 使得上式達到最小值的直線使得上式達到最小值的直線 y=a+bx 就是我們要求的直線就是我們要求的直線,這種方法稱為這種方法稱為最小二乘法最小二乘法.如果用如果用 表示表示x,nxxxn21用用 表示表示y,12nyyyn則可以求得則可以求得.1122222212nnnx yx yx ynx ybxxxnx .xbya這樣得到的直線方程這樣得到的直線方程 y=a+bx稱為稱為線性回歸方程線性回歸方程, a, b是線性是線性回歸方程的回歸方程的系數(shù)系數(shù).線性回歸方程必有解線性回歸方程必有解_.,xx yy用最小二乘法推導(dǎo)用最小二乘法推導(dǎo)3個點的線性回歸方程個點的線性回歸方程 設(shè)有設(shè)有3個點個點(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 則有最小二乘法可知直線則有最小二乘法可知直線 y=a+bx與這與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫個點的接近程度由下面表達式刻畫: .222112233yabxyabxyabx（）把（把（）式整理為關(guān)于）式整理為關(guān)于a的二次函數(shù)的二次函數(shù) f(a),即即 .2221122233( )32afyaabxybxybxybx從而當(dāng)從而當(dāng) 時時, aybx函數(shù)函數(shù) f(a)達到最小值達到最小值.將將a代入（代入（）式）式, 整理成為關(guān)于整理成為關(guān)于b的二次函數(shù)的二次函數(shù)g(b), 即即 ()()().2221231122332221232( )2bbbgxxxxxxyyxxyyxxyyxxyyyyyy從而當(dāng)從而當(dāng) 時時, 112233222212333x yx yx yx ybxxxx 函數(shù)函數(shù) g(b)達到最小值達到最小值. 從而得到從而得到3個點個點(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)的線性回歸方程的線性回歸方程: 112233222212311223322221233333x yx yx yx y xyyxxxxx yx yx yx yxxxxx4.利用線性回歸方程對總體進行估計利用線性回歸方程對總體進行估計（1）求線性回歸方程）求線性回歸方程 y=a+bx:（2）利用線性回歸方程）利用線性回歸方程, 我們可以進行預(yù)測我們可以進行預(yù)測, 并對總體并對總體進行估計進行估計, 即在即在 x=x0處的估計值為處的估計值為 y=a+bx0.列表求列表求 、 , x1 y1+ x2 y2+ xn yn的值的值;xy由由 ;1122222212nnnx yx yx ynx ybxxxnx .xbya求系數(shù)求系數(shù)a和和b.5.例題與練習(xí)例題與練習(xí)例例1.在上一節(jié)練習(xí)中在上一節(jié)練習(xí)中, 從散點圖可以看出從散點圖可以看出, 某小賣部某小賣部6天賣出熱茶天賣出熱茶的杯數(shù)的杯數(shù)(y)與當(dāng)天的氣溫與當(dāng)天的氣溫(x)之間是線性相關(guān)的之間是線性相關(guān)的.數(shù)據(jù)如下表數(shù)據(jù)如下表:氣溫氣溫(xi)/oC 26 18 13 104-1杯數(shù)杯數(shù)(yi)/杯杯20 24 34 38 5064（1）試用最小二乘法求出）試用最小二乘法求出線性回歸方程線性回歸方程;（2）如果某）如果某天的氣溫是天的氣溫是-3oC, 請預(yù)測這請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯天可能會賣出熱茶多少杯.解解:（1）根據(jù)要求列出下表根據(jù)要求列出下表ixiyixi2xi yi126206765202182432443231334169442410381003805450162006-1641-64合計合計702301286 1910計算得計算得.y,x3115335由系數(shù)公式得由系數(shù)公式得,.b648133533561286311533561910.a55757于是于是, 線性回歸方程為線性回歸方程為:.x.y6481557575.例題與練習(xí)例題與練習(xí)例例1.在上一節(jié)練習(xí)中在上一節(jié)練習(xí)中, 從散點圖可以看出從散點圖可以看出, 某小賣部某小賣部6天賣出熱茶天賣出熱茶的杯數(shù)的杯數(shù)(y)與當(dāng)天的氣溫與當(dāng)天的氣溫(x)之間是線性相關(guān)的之間是線性相關(guān)的.數(shù)據(jù)如下表數(shù)據(jù)如下表:氣溫氣溫(xi)/oC 26 18 13 104-1杯數(shù)杯數(shù)(yi)/杯杯20 24 34 38 5064（1）試用最小二乘法求出）試用最小二乘法求出線性回歸方程線性回歸方程;（2）如果某）如果某天的氣溫是天的氣溫是-5oC, 請預(yù)測這請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯天可能會賣出熱茶多少杯.解解:（2）根據(jù)（根據(jù)（1）得到的線性回歸方程）得到的線性回歸方程.,57 5571 648yx當(dāng)某天的氣溫是當(dāng)某天的氣溫是-5oC時時, 賣出熱茶的杯數(shù)估計為賣出熱茶的杯數(shù)估計為:.57 5571 648 (5)65 79766 點評點評: 盡管我們利用線性回歸方程所得到值僅是一個估計值盡管我們利用線性回歸方程所得到值僅是一個估計值, 具具有隨機性有隨機性, 但我們是根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律得到的但我們是根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律得到的, 因而所得結(jié)論正確的因而所得結(jié)論正確的概率是最大的概率是最大的, 故我們可以放心大膽地利用線性回歸方程進行故我們可以放心大膽地利用線性回歸方程進行預(yù)測預(yù)測.例例2.下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù)下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù):x12345678y1491625364964 請用最小二乘法求請用最小二乘法求出這兩個變量之間的線出這兩個變量之間的線性回歸方程性回歸方程解解:根據(jù)要求列出下表根據(jù)要求列出下表ixiyixi2xi yi111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512合計合計362042041296計算得計算得. ,. .4 525 5xy由系數(shù)公式得由系數(shù)公式得.,.12968 4 5 25 592048 4 5 4 5b .15a 于是于是, 線性回歸方程為線性回歸方程為:.159yx 例例2.下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù)下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù):x12345678y1491625364964 請用最小二乘法求請用最小二乘法求出這兩個變量之間的線出這兩個變量之間的線性回歸方程性回歸方程點評點評: 在本題中在本題中, 從所給的數(shù)據(jù)中我們不難看出從所給的數(shù)據(jù)中我們不難看出, 滿足函數(shù)滿足函數(shù) y=x2, 是一條曲線是一條曲線, 而我們利用最小二乘法進行估計時而我們利用最小二乘法進行估計時, 所求出的是一條所求出的是一條直線直線, 因而估計也就失去了意義因而估計也就失去了意義.xyo1 2 3 4 5 6 7 8 910203040506070.159yx 2yx 利用最小二乘法估計時利用最小二乘法估計時, 要先作出散點圖要先作出散點圖. 如果散點圖如果散點圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性呈現(xiàn)一定的規(guī)律性, 我們再根我們再根據(jù)這個規(guī)律性進行擬合據(jù)這個規(guī)律性進行擬合, 如果如果散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系, 我們我們可以用最小二乘法估計出線可以用最小二乘法估計出線性回歸方程性回歸方程; 如果散點圖呈現(xiàn)如果散點圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系出其他的曲線關(guān)系, 我們就要我們就要利用其他的工具進行擬合利用其他的工具進行擬合.三、課堂小結(jié)三、課堂小結(jié)1.求線性回歸方程的步驟求線性回歸方程的步驟:列表求列表求 、 , x1 y1+ x2 y2+ xn yn的值的值;xy由由 ;1122222212nnnx yx yx ynx ybxxxnx .xbya求系數(shù)求系數(shù)a和和b.寫出線性回歸方程寫出線性回歸方程 y=a+bx:2.線性回歸方程必有解線性回歸方程必有解_.,xx yy3.求線性回歸方程時應(yīng)先利用散點圖進行線性相關(guān)判斷求線性回歸方程時應(yīng)先利用散點圖進行線性相關(guān)判斷.4.利用線性回歸方程利用線性回歸方程, 我們可以進行預(yù)測我們可以進行預(yù)測, 并對總體進行估計并對總體進行估計,即在即在 x=x0處的估計值為處的估計值為 y=a+bx0.