高三數(shù)學一輪復習 第六篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理

第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀【教材導讀】 數(shù)列求和有哪些方法數(shù)列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、錯位相減法公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、錯位相減法. .知識梳理知識梳理 1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列 a an n 滿足與首末兩項等滿足與首末兩項等“距離距離”的兩項的和相等的兩項的和相等( (或等于或等于同一常數(shù)同一常數(shù)),),那么求這個數(shù)列的前那么求這個數(shù)列的前n n項和項和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項相消法裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差把數(shù)列的通項拆成兩項之差, ,在求和時中間的一些項可以相互抵消在求和時中間的一些項可以相互抵消, ,從從而求得其和而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成組成, ,求和時可用分組求和法求和時可用分組求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .(5)(5)并項求和法并項求和法一個數(shù)列的前一個數(shù)列的前n n項和中項和中, ,若項與項之間能兩兩結(jié)合求解若項與項之間能兩兩結(jié)合求解, ,則稱之為并項則稱之為并項求和求和. .形如形如a an n=(-1)=(-1)n nf(n)f(n)類型類型, ,可采用并項法求解可采用并項法求解. .(6)(6)錯位相減法錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的構(gòu)成的, ,那么這個數(shù)列的前那么這個數(shù)列的前n n項和可用此法來求項和可用此法來求, ,如等比數(shù)列的前如等比數(shù)列的前n n項和項和公式就是用此法推導的公式就是用此法推導的. .2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)(1)等差模型等差模型: :當增加當增加( (或減少或減少) )的量是一個固定量時的量是一個固定量時, ,該模型是等差模該模型是等差模型型, ,增加增加( (或減少或減少) )的量就是公差的量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時當后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時, ,該模型該模型是等比模型是等比模型, ,這個固定的數(shù)就是公比這個固定的數(shù)就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式, ,可由可由遞推關(guān)系入手解決實際問題遞推關(guān)系入手解決實際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型等差模型、等比模型是該模型的兩個特例是該模型的兩個特例. .夯基自測夯基自測1.(20151.(2015高考浙江卷高考浙江卷) )已知已知 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,公差公差d d不為零不為零, ,前前n n項和是項和是S Sn n, ,若若a a3 3,a,a4 4,a,a8 8成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則( ( ) )(A)a(A)a1 1d0,dSd0,dS4 400 (B)a(B)a1 1d0,dSd0,dS4 400,dSd0,dS4 400 (D)a(D)a1 1d0,dSd00B BA A C C 解析解析: :由已知可得由已知可得a a1 1=4,a=4,a2 2=f(a=f(a1 1)=f(4)=2,)=f(4)=2,a a3 3=f(a=f(a2 2)=f(2)=4,)=f(2)=4,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為周期數(shù)列為周期數(shù)列,a,an+2n+2=a=an n, ,所以所以a a2 0152 015=a=a2 21 007+11 007+1=a=a1 1=4.=4.故選故選C.C.5.35.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+ +(n+2)+(n+2)2 2-n-n= =.考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 數(shù)列求和數(shù)列求和( (高頻考點高頻考點) )考查角度考查角度1:1:分組法求和分組法求和. .【例【例1 1】 (2015(2015哈師大附中月考哈師大附中月考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n ,b,bn n 滿足滿足a a1 1=5,a=5,an n=2a=2an-n-1 1+3+3n-1n-1(n2,n(n2,nN N* *),b),bn n=a=an n-3-3n n(n(nN N* *).).(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的通項公式的通項公式; ;(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的前的前n n項和項和S Sn n. .反思歸納反思歸納 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型(1)(1)若若a an n=b=bn nc cn n, ,且且bbn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項和項和. .考查角度考查角度2:2:裂項相消法裂項相消法. .高考掃描高考掃描: :20112011高考新課標全國卷高考新課標全國卷,2015,2015高考新課標全國卷高考新課標全國卷【例【例2 2】 (2015(2015遼寧沈陽高三一模遼寧沈陽高三一模) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 a an n 的公差的公差d0,d0,它的它的前前n n項和為項和為S Sn n, ,若若S S5 5=70,=70,且且a a2 2,a,a7 7,a,a2222成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項公式的通項公式; ;反思歸納反思歸納 (2) (2)利用裂項相消法求和時利用裂項相消法求和時, ,應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項一項, ,也有可能前面剩兩項也有可能前面剩兩項, ,后面也剩兩項后面也剩兩項, ,再就是將通項公式裂項后再就是將通項公式裂項后, ,有有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)時候需要調(diào)整前面的系數(shù), ,使前后相等使前后相等. .考查角度考查角度3:3:錯位相減法求和錯位相減法求和. .高考掃描高考掃描: :20142014高考新課標全國卷高考新課標全國卷【例【例3 3】 (2015(2015東北三校第二次聯(lián)考東北三校第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,且且a a1 1=2,a=2,an+1n+1=S=Sn n+2,n+2,nN N* *. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項公式的通項公式; ;(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n=n=na an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .反思歸納反思歸納 錯位相減法求和策略錯位相減法求和策略(1)(1)如果數(shù)列如果數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b,bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列aan nb bn n 的前的前n n項和項和時時, ,可采用錯位相減法可采用錯位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bbn n 的公比的公比, ,然然后作差求解后作差求解. .(2)(2)在寫在寫“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊錯項對齊”以以便下一步準確寫出便下一步準確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達式的表達式. .(3)(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時在應(yīng)用錯位相減法求和時, ,若等比數(shù)列的公比為參數(shù)若等比數(shù)列的公比為參數(shù), ,應(yīng)分公比等于應(yīng)分公比等于1 1和不等于和不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合考點二考點二 【例【例4 4】 (2015(2015高考安徽卷高考安徽卷) )設(shè)設(shè)nnN N* *,x,xn n是曲線是曲線y=xy=x2n+22n+2+1+1在點在點(1,2)(1,2)處的處的切線與切線與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 x xn n 的通項公式的通項公式; ;反思歸納反思歸納 (1) (1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類: :已知函已知函數(shù)條件數(shù)條件, ,解決數(shù)列問題解決數(shù)列問題, ,一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象; ;已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決函數(shù)問題解決函數(shù)問題, ,一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形化簡變形. .(2)(2)數(shù)列與不等式的恒成立問題數(shù)列與不等式的恒成立問題. .此類問題常構(gòu)造函數(shù)此類問題常構(gòu)造函數(shù), ,通過函數(shù)的單通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題調(diào)性、最值等解決問題. .(3)(3)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題. .解決此類問題要靈活選擇不等式解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法的證明方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .(2)(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 b bn n 滿足滿足b bn n=a=an+1n+1-a-an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .備選例題備選例題 【例【例2 2】 (2015(2015河南省六市第二次聯(lián)考河南省六市第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的首項為的首項為a a1 1=1,=1,a a2 2=3,=3,且滿足對任意的且滿足對任意的nnN N* *, ,都有都有a an+1n+1-a-an n22n n,a,an+2n+2-a-an n332 2n n成立成立, ,則則a a2 2 015015= =.解析解析: :因為因為a an n-a-an+2n+2-3-32 2n n, , a an+1n+1-a-an n22n n. . 式與式與式相加得式相加得a an+1n+1-a-an+2n+2-2-2n+1n+1, ,所以所以a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. .又又a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. .由由和和可得可得a an+2n+2-a-an+1n+1=2=2n+1n+1, ,所以所以a an+1n+1-a-an n=2=2n n. .利用累加法可求得利用累加法可求得a an+1n+1-a-a1 1=2=2n n+2+2n-1n-1+ +2+21 1=2=2n+1n+1-2,-2,所以所以a an+1n+1=2=2n+1n+1-1,-1,所以所以a an n=2=2n n-1.-1.所以所以a a2 0152 015=2=22 0152 015-1.-1.答案答案: :2 22 0152 015-1-1【例【例3 3】 (2015 (2015河南六市第一次聯(lián)考河南六市第一次聯(lián)考) )已知已知 a an n 是一個公差大于是一個公差大于0 0的等的等差數(shù)列差數(shù)列, ,且滿足且滿足a a3 3a a5 5=45,a=45,a2 2+a+a6 6=14.=14.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項公式的通項公式; ;解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,則由題意知則由題意知d0.d0.由由a a2 2+a+a6 6=14,=14,可得可得a a4 4=7.=7.由由a a3 3a a5 5=45,=45,得得(7-d)(7+d)=45,(7-d)(7+d)=45,可得可得d=2.d=2.所以所以a a1 1=7-3d=1.=7-3d=1.可得可得a an n=2n-1.=2n-1.【例【例4 4】 (2015(2015石家莊一模石家莊一模) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 的前的前n n項和為項和為S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1=S=Sn n+1+1(n(nN N* *,-1),-1),且且a a1 1,2a,2a2 2,a,a3 3+3+3為等差數(shù)列為等差數(shù)列 b bn n 的前三項的前三項. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n ,b,bn n 的通項公式的通項公式; ;解解: :(1)(1)因為因為a an+1n+1=S=Sn n+1(n+1(nN N* *),),所以所以a an n=S=Sn-1n-1+1(n2),+1(n2),所以所以a an+1n+1-a-an n=a=an n, ,即即a an+1n+1=(+1)a=(+1)an n(n2),+10,(n2),+10,又又a a1 1=1,a=1,a2 2=S=S1 1+1=+1,+1=+1,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為以為以1 1為首項為首項, ,公比為公比為+1+1的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,所以所以a a3 3=(+1)=(+1)2 2, ,所以所以4(+1)=1+(+1)4(+1)=1+(+1)2 2+3,+3,整理得整理得2 2-2+1=0,-2+1=0,得得=1.=1.所以所以a an n=2=2n-1n-1,b,bn n=1+3(n-1)=3n-2.=1+3(n-1)=3n-2.(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列 a an nb bn n 的前的前n n項和項和. .解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把經(jīng)典問題的解決程序化把經(jīng)典問題的解決程序化數(shù)列的綜合問題數(shù)列的綜合問題答題模板答題模板: :第一步第一步: :由條件等式確定數(shù)列由條件等式確定數(shù)列aan n 是一個特殊數(shù)列是一個特殊數(shù)列( (等差或等差或等比數(shù)列等比數(shù)列).).第二步第二步: :由條件確定首項由條件確定首項a a1 1. .第三步第三步: :確定數(shù)列確定數(shù)列aan n 的通項公式及的通項公式及bbn n 的通項公式的通項公式. .第四步第四步: :根據(jù)數(shù)列根據(jù)數(shù)列bbn n 的通項公式特點的通項公式特點, ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和. .