高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 理

理數(shù)課標(biāo)版第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為教材研讀教材研讀Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值:稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)稱DX=(xi-EX)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.1niDX2.均值與方差的性質(zhì)均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aEX+b(a,b為實(shí)數(shù)).(2)D(aX+b)=a2DX(a,b為實(shí)數(shù)).3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX服從兩點(diǎn)分布XB(n,p)EXp(p為成功概率)npDXp(1-p)np(1-p)4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對稱;(3)曲線在x=處達(dá)到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當(dāng)一定時(shí),曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移;(6)當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定,越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.121.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.B.2C.D.3答案答案 A由已知條件可知E(X)=1+2+3=,故選A.X123P35310110325235310110322.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案答案 C由P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=.答案答案0.1解析解析由題意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.12考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值、方差考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值、方差考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1 (2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.112343210C CCC1313P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以,隨機(jī)變量X的分布列為222334210CCCC41511113334210C CC CC7151134210C CC415X012P415715415隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2=1.415715415方法技巧方法技巧求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒如果XB(n,p),則用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.1-1一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析解析(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,03CP(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,13CP(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=0.63=0.216.所以X的分布列為23C33CX0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.考點(diǎn)二均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用考點(diǎn)二均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用典例典例2(2016課標(biāo)全國,19,12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?解析解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列為(6分)(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19.(8分)(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04當(dāng)n=19時(shí),EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040.(10分)當(dāng)n=20時(shí),EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選n=19.(12分)規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)利用均值與方差解決實(shí)際問題的方法(1)對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來.(2)依據(jù)隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件,求出其相應(yīng)的概率.(3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應(yīng)的期望與方差值.(4)依據(jù)期望與方差的意義對實(shí)際問題作出決策或給出合理的解釋.2-1某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)測試方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作,規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成,考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;(2)請分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.23解析解析(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為,則的可能取值分別為1,2,3;的可能取值分別為0,1,2,3.P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為124236C CC15214236C CC35304236C CC15123P153515E()=1+2+3=2.P(=0)=,同理,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為15351503C321312762712278270123P1276271227827E()=0+1+2+3=2.1276271227827(2)D()=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,15351525D()=(2-0)2+(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,D()P(2).從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察,兩人水平相當(dāng);從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2題的概率考察,甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).127627122782723212( )(1)3333D npp 或35154512278272027考點(diǎn)三正態(tài)分布考點(diǎn)三正態(tài)分布典例典例3(1)(2015山東,8,5分)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(2)(2015湖南,7,5分)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附:若XN(,2),則P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772答案答案(1)B(2)C解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,則P(36)=(95.44%-68.26%)=13.59%.12(2)由正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線的幾何意義,知題圖中陰影部分的面積為P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為0.341310000=3413.故選C.12方法技巧方法技巧解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間的面積為1,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.(1)應(yīng)熟記P(-X+),P(-2X+2),P(-33)=0.1587,則P(X1)=.答案答案0.8413解析解析由XN(2,1),知=2,因?yàn)镻(X3)=0.1587,所以P(X1)=1-0.1587=0.8413.3-2某班有50名學(xué)生,一次考試后數(shù)學(xué)成績X(單位:分,XN)服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為.答案答案10解析解析由題意,知P(X110)=0.2,所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為0.250=10.12 (90100)2PX