浙江省永嘉縣橋下鎮(zhèn)甌渠中學(xué)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《第二十四講 直角三角形》課件 新人教版

第二十四講第二十四講 直角三角形直角三角形課課前前 必必讀讀考綱要求考綱要求1.了解直角三角形的概念，掌握了解直角三角形的概念，掌握“直角三角形的兩銳角互直角三角形的兩銳角互余余”的性質(zhì)；的性質(zhì)；2.探索并掌握探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半半”的性質(zhì)；的性質(zhì)；3.了解含了解含30角的直角三角形的性質(zhì)；角的直角三角形的性質(zhì)；4.探索并掌握探索并掌握“有兩個角互余的三角形是直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形”的的判定方法，會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；判定方法，會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.體驗勾股定理的探索過程，會用勾股定理解決簡單問體驗勾股定理的探索過程，會用勾股定理解決簡單問題；題；6.掌握角的平分線的概念、性質(zhì)和判定掌握角的平分線的概念、性質(zhì)和判定.考情分析考情分析近三近三年浙年浙江省江省中考中考情況情況年份年份考查點考查點題型題型難易度難易度2010年年 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(3分分)選擇題選擇題容易容易2011年年直角三角形的性質(zhì)及判直角三角形的性質(zhì)及判定定(6分分)解答題解答題中等中等2012年年勾股定理及逆定理的綜勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用合應(yīng)用(10分分)證明題證明題稍難稍難網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò) 構(gòu)構(gòu)建建性質(zhì)判定要熟記性質(zhì)判定要熟記勾股定理更重要勾股定理更重要驗證勾股智慧多驗證勾股智慧多RtRt全等有特法全等有特法角平分線應(yīng)用多角平分線應(yīng)用多綜合運用有它在綜合運用有它在化整為零用到它化整為零用到它考考點點 梳梳理理(2)直角三角形斜邊上的直角三角形斜邊上的_等于斜邊的等于斜邊的_ ；(3)直角三角形中，直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的角所對的直角邊是斜邊的_ ；(4)直角三角形兩直角邊的直角三角形兩直角邊的_等于斜邊的平方等于斜邊的平方直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定1性質(zhì)性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角直角三角形的兩銳角_；互余互余中線中線一半一半一半一半平方和平方和(2)有兩個角有兩個角_的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(3)如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的_ ，那么這個三角形是直角三角形；那么這個三角形是直角三角形；(4)如果三角形一邊上的如果三角形一邊上的_等于這邊的一半，那么這等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形個三角形是直角三角形2判定判定：(1)有一個角是有一個角是_的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；直角直角互余互余平方平方中線中線名師助學(xué)名師助學(xué)1明確性質(zhì)的前提是直角三角形，考慮直角三角形的明確性質(zhì)的前提是直角三角形，考慮直角三角形的性質(zhì)時，要從邊、角及斜邊的中線三個方面；性質(zhì)時，要從邊、角及斜邊的中線三個方面；2明確判定的結(jié)論是直角三角形，判定就是找使三角明確判定的結(jié)論是直角三角形，判定就是找使三角形成為直角三角形的條件，同樣要從三角形的角、形成為直角三角形的條件，同樣要從三角形的角、邊，一邊上的中線三個方面考慮邊，一邊上的中線三個方面考慮1勾股定理勾股定理：如果直角三角形的直角邊分別為：如果直角三角形的直角邊分別為a，b，斜，斜邊為邊為c，那么，那么_ 2逆定理逆定理：如果三角形的三邊長：如果三角形的三邊長a，b，c滿足滿足a2b2c2，那么這個三角形是那么這個三角形是_ 3能用拼圖探索勾股定理，理解趙爽弦圖中的直角三角能用拼圖探索勾股定理，理解趙爽弦圖中的直角三角形和大、小正方形的邊長、面積之間的關(guān)系形和大、小正方形的邊長、面積之間的關(guān)系勾股定理和勾股定理的逆定理勾股定理和勾股定理的逆定理a2b2c2直角三角形直角三角形名師助學(xué)名師助學(xué)1勾股定理多用來計算和證明，有時用它列方程解決勾股定理多用來計算和證明，有時用它列方程解決計算問題；計算問題；2勾股定理的逆定理用來判定直角三角形；勾股定理的逆定理用來判定直角三角形；3趙爽弦圖中，大正方形的邊長是直角三角形的斜邊趙爽弦圖中，大正方形的邊長是直角三角形的斜邊長，小正方形的邊長是直角三角形兩直角邊的差，長，小正方形的邊長是直角三角形兩直角邊的差，大正方形的面積等于直角三角形面積的大正方形的面積等于直角三角形面積的4倍與小正方倍與小正方形面積的和形面積的和1特殊判定方法特殊判定方法： _和和_對應(yīng)相等的兩對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等個直角三角形全等(可以簡寫成可以簡寫成“_”或或“_”)2一般三角形全等的判定方法一般三角形全等的判定方法：ASA、AAS、SAS、SSS對判定兩個直角三角形全等仍適用對判定兩個直角三角形全等仍適用兩直角三角形全等的判定方法兩直角三角形全等的判定方法斜邊斜邊一條直角邊一條直角邊斜邊、直角邊斜邊、直角邊HL名師助學(xué)名師助學(xué)1判定兩個直角三角形全等要注意隱含條件判定兩個直角三角形全等要注意隱含條件“直角直角”；2“HL”僅適用于判定兩個直角三角形全等，而對僅適用于判定兩個直角三角形全等，而對一般三角形是不成立的一般三角形是不成立的對對接接 中中考考常考角度?？冀嵌?直角三角形的判定方法；直角三角形的判定方法；2直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)對接點一：直角三角形的性質(zhì)和判定對接點一：直角三角形的性質(zhì)和判定【例題例題1】 (2012濟南濟南)如圖，如圖，MON90，矩形，矩形ABCD的頂點的頂點A、B分別在邊分別在邊OM，ON上，當(dāng)上，當(dāng)B在邊在邊ON上運動上運動時，時，A隨其中隨其中AB2，BC1，運動之在邊，運動之在邊OM上運動，上運動，矩形矩形ABCD的形狀保持不變，過程中，點的形狀保持不變，過程中，點D到點到點O的最大的最大距離為距離為 ()分析分析取取AB的中點的中點E，連接，連接OE、DE、OD，根據(jù)三，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、D、E三三點共線時，點點共線時，點D到點到點O的距離最大，再根據(jù)勾股定理的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解的長，兩者相加即可得解答案答案A【例題例題2】 (2012濰坊濰坊)輪船從輪船從B處以每小時處以每小時50海里的速度沿海里的速度沿南偏東南偏東30方向勻速航行，在方向勻速航行，在B處觀測燈塔處觀測燈塔A位于南偏位于南偏東東75方向上，方向上， 輪船航行半小時到達輪船航行半小時到達C處，在處，在C處觀測處觀測燈塔燈塔A位于北偏東位于北偏東60方向上，則方向上，則C處與燈塔處與燈塔A的距離是的距離是 ()分析分析根據(jù)題中所給信息，求出根據(jù)題中所給信息，求出BCA90，再求出，再求出CBA45，從而得到，從而得到ABC為等腰直角三角形，然為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的知識解答后根據(jù)等腰直角三角形的知識解答解析解析根據(jù)題意，根據(jù)題意，1230，ACD60，ABC306090，CBA753045，ABC為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，BC500.525，ACBC25(海里海里)故選故選D.答案答案D直角三角形的判定基本上是從兩個角度去思直角三角形的判定基本上是從兩個角度去思考其一，觀察三角形的角，若有一個角為直角，考其一，觀察三角形的角，若有一個角為直角，或有兩個角互余，都可判定為直角三角形；其二，或有兩個角互余，都可判定為直角三角形；其二，運用勾股定理的逆定理運用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理判別一個三角形是否為直利用勾股定理的逆定理判別一個三角形是否為直角三角形的步驟：角三角形的步驟：1.確定最大邊；確定最大邊；2.驗證兩條短邊驗證兩條短邊的平方和是否等于最大邊的平方的平方和是否等于最大邊的平方答案答案B【預(yù)測預(yù)測2】 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，ADBC，垂足為，垂足為D，E是是AC的中點若的中點若DE5，則，則AB的長為的長為_解析解析ABAC，ADBC，E是是AC的中點，的中點，AC2DE10，AB10.答案答案10?？冀嵌瘸？冀嵌?直角三角形全等的特殊判定方法直角三角形全等的特殊判定方法“HL”2角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)對接點二：直角三角形的全等與角平分線對接點二：直角三角形的全等與角平分線【例題例題3】 (2012樂山樂山) )如圖，在如圖，在ABC中，中，C90，ACBC4，D是是AB的中點，點的中點，點E、F分別在分別在AC、BC邊上運動邊上運動(點點E不與點不與點A、C重合重合)，且，且保持保持AECF，連接，連接DE、DF、EF.在在此運動變化過程中，有下列結(jié)論：此運動變化過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；四邊形四邊形CEDF不可能為正方形；不可能為正方形；四邊形四邊形CEDF的面積隨點的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；位置的改變而發(fā)生變化；其中正確結(jié)論的個數(shù)是其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ()A1個個 B2個個 C3個個 D4個個解析解析連接連接CD；ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DCBA45，CDADDB；AECF，ADE CDF；EDFD，CDFEDA；ADEEDC90，EDCCDFEDF90，DFE是等腰直角三角形，故此選項正確；是等腰直角三角形，故此選項正確；答案答案B1. 題目中有角平分線，常添加過角平分線上一點題目中有角平分線，常添加過角平分線上一點作角的兩邊的垂線或把與角平分線垂直的線段作角的兩邊的垂線或把與角平分線垂直的線段延長與角的兩邊相交構(gòu)造等腰三角形，因此角延長與角的兩邊相交構(gòu)造等腰三角形，因此角平分線的性質(zhì)常與等腰三角形及軸對稱結(jié)合在平分線的性質(zhì)常與等腰三角形及軸對稱結(jié)合在一起進行考查一起進行考查2直角三角形全等的判定方法除直角三角形全等的判定方法除AAS、SAS、ASA，SSS還有還有HL.【預(yù)測預(yù)測3】 如圖，如圖，CDAB于點于點D，EFAB于點于點F，AFBD，ACBE.證明證明(1)AB；(2)AQBP.證明證明(1)AFBD，AFFDBDFD，即即ADBF.在在RtADC和和RtBFE中，中，RtADC RtBFE，(HL)AB.?？冀嵌瘸？冀嵌?利用勾股定理已知兩邊求第三邊利用勾股定理已知兩邊求第三邊2利用勾股定理列方程解決折疊問題中的計算利用勾股定理列方程解決折疊問題中的計算對接點三：直角三角形的有關(guān)計算對接點三：直角三角形的有關(guān)計算【例題例題4】 (2012杭州杭州)如圖，是數(shù)軸的一部分，如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長度為其單位長度為a，已知，已知ABC中，中，AB3a，BC4a，AC5a.解解(1)如圖所示：如圖所示：【例題例題5】 (2012紹興紹興)小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對課本課本“目標與評定目標與評定”中的一道思考題，進行了認真的中的一道思考題，進行了認真的探索探索【思考題】【思考題】 如圖，一架如圖，一架2.5米長的梯米長的梯子子AB斜靠在豎直的墻斜靠在豎直的墻AC上，這時上，這時B到到墻墻C的距離為的距離為0.7米，如果梯子的頂端米，如果梯子的頂端沿墻下滑沿墻下滑0.4米，那么點米，那么點B將向外移動將向外移動多少米？多少米？(1)請你將小明對請你將小明對“思考題思考題”的解答補的解答補充完整：充完整：(2)解完解完“思考題思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：后，小聰提出了如下兩個問題：【問題一【問題一】 在在“思考題思考題”中，將中，將“下滑下滑0.4米米”改為改為“下下滑滑0.9米米”，那么該題的答案會是，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？米嗎？為什么？【問題二問題二】 在在“思考題思考題”中，梯子的頂端從中，梯子的頂端從A處沿墻處沿墻AC下滑的距離與點下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？么？請你解答小聰提出的這兩個問題請你解答小聰提出的這兩個問題分析分析(1)直接把直接把B1C、A1C、A1B1的值代入進行解答的值代入進行解答即可：即可：(2)把把(1)中的中的0.4換成換成0.9可知原方程不成立；設(shè)梯子可知原方程不成立；設(shè)梯子頂端從頂端從A處下滑處下滑x米，點米，點B向外也移動向外也移動x米代入米代入(1)中方中方程，求出程，求出x的值符合題意的值符合題意(1)(x0.7)2222.520.82.2(舍去舍去)0.8(2)解解不會是不會是0.9米，米，若若AA1BB10.9，則，則A1C2.40.91.5，B1C0.70.91.6，1521.624.81，2.526.25該題的答案不會是該題的答案不會是0.9米米有可能有可能設(shè)梯子頂端從設(shè)梯子頂端從A處下滑處下滑x米，點米，點B向外也移動向外也移動x米，米，則有則有(x0.7)2(2.4x)22.52，解得：解得：x1.7或或x0(舍舍)當(dāng)梯子頂端從當(dāng)梯子頂端從A處下滑處下滑1.7米時，點米時，點B向外也移動向外也移動1.7米，即梯子頂端從米，即梯子頂端從A處沿墻處沿墻AC下滑的距離與點下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等向外移動的距離有可能相等【例題例題6】 (2012吉林吉林) )如圖，如圖，AOB和和COD均為等腰直角三角形，均為等腰直角三角形，AOBCOD90，D在在AB上上(1)求證：求證：AOC BOD；(2)若若AD1，BD2，求，求CD的長的長分析分析(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS判定全判定全等；等；(2)根據(jù)全等的性質(zhì)先推出根據(jù)全等的性質(zhì)先推出CAD90，再利用勾，再利用勾股定理求股定理求CD的長的長(1)證明證明AOB和和COD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，CODAOB90，OCOD，OAOBCOADOBAOC BOD(SAS)(2)解解由由AOC BOD，得，得ACBD2，CAODBO又又OABB90，CAD901. 直角三角形中，已知兩邊或一銳角計算時，必直角三角形中，已知兩邊或一銳角計算時，必須分清哪條邊和哪個銳角，在條件不明確的情須分清哪條邊和哪個銳角，在條件不明確的情況下，要分類討論況下，要分類討論2直角三角形中已知一邊長和另外兩邊關(guān)系時，直角三角形中已知一邊長和另外兩邊關(guān)系時，常借助勾股定理列出方程求解，這一點在解決常借助勾股定理列出方程求解，這一點在解決折疊問題中邊長的計算時更為顯著折疊問題中邊長的計算時更為顯著【預(yù)測預(yù)測4】 如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直，如果小明站在南京路垂直，曙光路與環(huán)城路垂直，如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為走，最近的路程約為()A600 m B500 m C400 m D300 m答案答案B【預(yù)測預(yù)測5】 如圖，圓柱底面半徑為如圖，圓柱底面半徑為2 cm，高為高為9 cm，點，點A、B分別是圓柱兩底面分別是圓柱兩底面圓周上的點，且圓周上的點，且A、B在同一母線上，在同一母線上，用一棉線從用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞順著圓柱側(cè)面繞3圈到圈到B，求棉線最短為求棉線最短為_cm.答案答案15易易錯錯 防防范范問題問題1.對直角三角形的邊、角該分類討論時，不分情況討對直角三角形的邊、角該分類討論時，不分情況討 論，或即使分情況了，也沒考慮全所有情況；論，或即使分情況了，也沒考慮全所有情況；問題問題2.本部分性質(zhì)及定理較多，易混用；本部分性質(zhì)及定理較多，易混用；問題問題3.本部分常和等腰三角形、三角函數(shù)、函數(shù)圖象、全本部分常和等腰三角形、三角函數(shù)、函數(shù)圖象、全 等三角形、相似三角形、圓綜合，往往不知從何處等三角形、相似三角形、圓綜合，往往不知從何處 下手下手直角三角形常見錯誤直角三角形常見錯誤【例題例題7】 一個等腰三角形形狀的花圃面積為一個等腰三角形形狀的花圃面積為30 m2，其一，其一邊長為邊長為10 m，求該等腰三角形花圃的另兩邊長，求該等腰三角形花圃的另兩邊長 錯因分析錯因分析題目中的一邊為題目中的一邊為10 m，并沒明確該邊是，并沒明確該邊是底邊還是腰，當(dāng)該邊是腰時，該三角形是銳角三角形底邊還是腰，當(dāng)該邊是腰時，該三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，都應(yīng)分情況討論還是鈍角三角形，都應(yīng)分情況討論 遇到等腰三角形時，當(dāng)腰和頂角不遇到等腰三角形時，當(dāng)腰和頂角不明確時，要分情況討論，并且要考慮全面，不要漏明確時，要分情況討論，并且要考慮全面，不要漏掉掉課課 時時 跟跟 蹤蹤 檢檢 測測