概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)經(jīng)典課件 隨機(jī)過程

2022-1-211概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 3關(guān)鍵詞： 隨機(jī)過程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 正態(tài)過程 獨(dú)立增量過程 泊松過程 維納過程第十章 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述41 隨機(jī)過程的概念 隨機(jī)過程隨機(jī)過程被認(rèn)為是概率論的“動(dòng)力學(xué)”部分，即它的研究對(duì)象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，它是從多維隨機(jī)變量向一族(無限多個(gè))隨機(jī)變量的推廣。 給定一隨機(jī)試驗(yàn)E，其樣本空間S=e，將樣本空間中的每一元作如下對(duì)應(yīng)，便得到一系列結(jié)果：( ), ( ),eX e Y e12( ),( ),( ),neX e XeXe12( ),( ),),eX e Xe( ),eX e( , ) (,),eX e tt X一維即隨機(jī)變量(, )X Y即二維隨機(jī)變量12(,)XX 即隨機(jī)序列12(,)nXXXn維即隨機(jī)變量( ),(,)X t t 即隨機(jī)過程5 一維、二維或一般的多維隨機(jī)變量的研究是概率論的研究內(nèi)容，而隨機(jī)序列、隨機(jī)過程則是隨機(jī)過程學(xué)科的研究內(nèi)容。從前面的描述中看到，它的每一樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的，是一個(gè)數(shù)列或是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)。 ( , ),( , ),TX e t eS tTetSTtT X e tX e t eS tT設(shè) 是一無限實(shí)數(shù)集，是對(duì)應(yīng)于 和 的實(shí)數(shù)， 即為定義在 和 上的二元函數(shù)。 若此函數(shù)對(duì)任意固定的是一個(gè)隨機(jī)變量， 定義： 則稱是隨機(jī)過程；,( , )Tet X e t為參數(shù)集，對(duì)固過程定的 和稱為的狀態(tài)；( , )X e t 所有可能的值狀的全體稱為態(tài)空間；( , )( )X e tX t今后將簡記為( , ),tX e t eS tTe對(duì)于隨機(jī)過程進(jìn)行一次試驗(yàn)，即 給定，它是 的函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的樣本函數(shù)。6 例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，樣本空間是S=H,T，現(xiàn)定義： 1( ) ,()( )2 ( ),cos tHX ttP HP TtTX t t 當(dāng)出現(xiàn)，其中當(dāng)出現(xiàn)則是一隨機(jī)過程。,( )t X tcos tt解：對(duì)任意固定的是隨機(jī)變量，取值為和1234( )X t1( )X t2( )Xtt1( )( )2P X tcos tP X tt12( ),( )X tcos t Xtt此隨機(jī)過程的樣本函數(shù)只有兩個(gè)，即72 ( )(),(0,2 ),( )(),(0,2 ),( )(), X tcosttt X tcostx tcost 例 ：考慮式中 和 是 正常數(shù), 是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量, 這是一個(gè)隨機(jī)過程。 對(duì)每一固定的時(shí)刻是隨機(jī)變量 的函數(shù),從而也是隨機(jī)變量。它的狀態(tài)空間是-. 在內(nèi)隨機(jī)取一數(shù)相應(yīng)的就得到一個(gè)樣本函數(shù)這族樣本函數(shù)的差異在于它們相位 的不同, 故這一過程稱為隨機(jī)相位正弦波。 83( ) , 0,1( ) ( ) 0,1( ).X tVcos ttVX ttX tVcos tVcos tvx tvcos t 例 ：設(shè)其中 是常數(shù)；在上服從均勻分布,則是一個(gè)隨機(jī)過程。對(duì)每一固定的 ，是隨機(jī)變量 乘以常數(shù)，故也是隨機(jī)變量,對(duì)上隨機(jī)變量取一 值, 就得到相應(yīng)的一個(gè)樣本函數(shù) 94120( )0,0( )( ),00,1,2,.X tttX tX t t例 ：設(shè)某城市的急救中心電話臺(tái)遲早會(huì)接到用戶的呼叫。 以表示時(shí)間間隔內(nèi)接到的呼叫次數(shù)， 它是一個(gè)隨機(jī)變量，且對(duì)于不同的，是不同 的隨機(jī)變量，于是是一隨機(jī)過程，且它的 狀態(tài)空間是1t2t3t4t1t2t4t3t14231( )x t2( )x t( )x tt 例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗(yàn)：16(1)(1)1,2, (),1,2,3,4,5,6,1nnnnXnnnXP XiiXn 設(shè)是第 次拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于的不同值，是隨機(jī)變量，服從相同的分布， 因而構(gòu)成一隨機(jī)過程，稱為伯努利過程或伯努利隨機(jī)序列, 它的狀態(tài)空間為 1,2,3,4,5,6 。(2) ,11,2,3,4,5,6nnYnY n設(shè) 是前 次拋擲中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù),也是 一隨機(jī)過程，它的狀態(tài)空間仍是。 下面分別給出它們的一條樣本函數(shù)：n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny11隨機(jī)過程的分類：隨機(jī)過程的分類： 隨機(jī)過程可根據(jù)參數(shù)集T和任一時(shí)刻的狀態(tài)分為四類，參數(shù)集T可分為離散集和連續(xù)集兩種情況，任一時(shí)刻的狀態(tài)分別為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩種：1. 連續(xù)參數(shù)連續(xù)型的隨機(jī)過程，如例2，例32. 連續(xù)參數(shù)離散型的隨機(jī)過程，如例1，例43. 離散參數(shù)離散型的隨機(jī)過程，如例54. 離散參數(shù)連續(xù)型的隨機(jī)過程，12,2,( ),()nnTttn tX tXXXXX n t對(duì)于隨機(jī)相位正弦波， 若只在時(shí)間集上觀察，就得到 例子 隨機(jī)序列是連續(xù)型隨如下：機(jī)變量。122 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述分布函數(shù)兩種描述特征數(shù)() 一隨機(jī)過程的分布函數(shù)族1212121111222221( , ,)( ),( )(2,3,), ,( ),( ),( ),1,2,( ),( ,; , ,) ( ),( )XnnnniXnnnniFx xxt ttP X tx X txX tn nt ttTnX tX tX txR inX t tTFx xx t tttTX t tnxnT一般地，對(duì)任意個(gè)不同的時(shí)刻，維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：稱為隨機(jī)變；，量的稱為的維分布函數(shù)維分布函數(shù)族1212( ,; , ,),1,2, ( ),XnniFx xx t ttntTX t tT有限維分布一般地，稱為隨機(jī)過程的它完全確定了隨機(jī)過程函數(shù)族的統(tǒng)計(jì)特性( ),( ),( , ),( , )(XXFx tP X txxRX t tTtTX t tTFx t tT 設(shè)隨機(jī)，過程對(duì)每一固定的稱為隨機(jī)一過程的稱維分布函數(shù)一為，維分布函數(shù)族13 例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過程：12cos 1( ) ,()( ),2 ( )(1)( ;0)( ;1); (2) ( ,;0,1);tHX ttP HP TtTX tF xF xF x x 出現(xiàn)，設(shè)出現(xiàn)試確定的： 一維分布函數(shù) ，二維分布函數(shù) 1 (0)0 HXT出現(xiàn)解：出現(xiàn) 0 01( ;0) 012 1 1xF xxx故1 (1)1 HXT出現(xiàn)出現(xiàn) 0 11( ;1) 112 1 1xF xxx 故14 例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過程：12cos 1( ) ,()( ),2 ( )(1)( ;0)( ;1); (2) ( ,;0,1);tHX ttP HP TtTX tF xF xF x x 出現(xiàn)，設(shè)出現(xiàn)試確定的： 一維分布函數(shù) ，二維分布函數(shù) 1, 1 (0),(1)0, 1 HXXT出現(xiàn)出現(xiàn)12121212120 11 10( ,;0,1)1 11xxxxF x xxx 且或故且 其他1234( )X t1( )X t2( )Xtt1x2x152( ),0,130,( )442X tVcos t tVtX t 例 ：設(shè)隨機(jī)過程， 在上均勻分布 求在時(shí)的密度函數(shù)。 ,0,tcos tacos t解：對(duì)給定的 若記，( )X taV則的密度函數(shù)為： 1 011 ;0 XVxxaafx tfaa其他01acos1 01;00 Xxfx于是 其他2,42acos22 0;240 Xxfx其他23,42acos 22 03;240 Xxfx其他1,acos 1 10;0 Xxfx 其他0,2acos012P X1622222( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) XXXXXXXX t tTtE X ttE XttDtEX tttt均值函數(shù)均方值函給定隨機(jī)過程-數(shù)方差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)-各數(shù)字特征之間的關(guān)系如下：(二二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12121212121122,( , )( )( )( , )( ),( ) ( )( )( )( )( )( )XXXXXXt tTRt tE X t X tCt tCov X tX tEX ttX tt又設(shè)任自相關(guān)函數(shù)自協(xié)意方差函數(shù) 2,XXtRt t 121212,XXXXCt tRt ttt 22,XXXXtCt tRt tt172( ), ( )( )X t tTtT E XtX t隨機(jī)過程，如果對(duì)每一都存在， 則稱是， 二階矩過程的均值函數(shù)和相關(guān)二階函數(shù)定總義：是程 矩過存在的。1212( ),1, , ( ),( ),( )( ),nnX t tTnt ttTX tX tX tnX t tT 是一隨機(jī)過程，若它的每一個(gè)有限維分布 都是正態(tài)分布，即對(duì)任意整數(shù)及任意服從 維正態(tài)分布， 則稱是正態(tài)過程的全部統(tǒng)計(jì)特性完全由它的均值函數(shù)和自協(xié)方差正函定義：態(tài)過程數(shù)所確定。183, ( )3 , ,1,4 ,0,2 ,( )A BX tAtB tTA BANBUX t 例 ：設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，試求隨機(jī)過程:的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果相互獨(dú)立，且問的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？ ( )( )XtE X t解： ( )3 ( )tE AE B1212( , )( )( )XRt tE X t X t221 21212()3() ()9 () ,t t E AttE ABE Bt tT1,4 ,0,2ANBU當(dāng)時(shí)，224( )1,()5,( )1,()3E AE AE BE B,A B又因?yàn)楠?dú)立，()( ) ( )1E ABE A E B故121 21212( )3,( , )53() 12 ,XXttRt tt tttt tT 19( )() , (0,2 )X tacostt 例4：求隨機(jī)相位正弦波在上均勻分布 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解：由假設(shè) 的概率密度為：1212( , )( )( )XRt tE X t X t 1 022 0 f 其他( )( )XtE X t于是E acost20102acostd212()()E a costcost221()2acostt221201()()2acostcostd2122ttacos22( )( , )( )XXXtRt tt2( , )2XaRt t20225( ), ,(0,)( )X tABtCttA B CNX t 例 ：設(shè)其中是相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量， 試證明是正態(tài)過程,并求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 ( )X t解：是正態(tài)過程121122,( )( )( )nnnu uu u X tu X tu X t對(duì)任意一組數(shù) 服從一維正態(tài)分布21122111( )( )( )nnnnnii ii iiiiu X tu X tu X tAuButCut而, ,( , ,)A B CA B C因?yàn)槭窍嗷オ?dú)立的正態(tài)變量，故是三維正態(tài)變量，( )X t所以是正態(tài)過程1212, ,( ),( ),( )nnt ttTX tX tX tn對(duì)任意一組實(shí)數(shù)服從 維正態(tài)分布2111, ,nnnii ii iiiiAuBututA B CC是的線性組合，因此它服從一維正態(tài)分布，續(xù)續(xù)21下面計(jì)算均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù):( )( )( )()()()0,E AE BE CE ABE ACE BC因?yàn)?222()()()E AE BE C2( )XtE ABtCt故2( )( )( )0E AE B tE C t1212( , )( , )XXCt tRt t221122()()E ABtCtABtCt2221 212(1)t tt t22( ), ( ),( ), ( )( ), ( ) X t Y ttTtT X t Y tX t Y ttT 設(shè)是依賴于同一參數(shù)的隨機(jī)過程，對(duì)于不同的()是不同的二維隨二機(jī)變量，稱為維隨機(jī)過程(三三) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征1211121212121212( ), ( ) , ,; , ,( ),( ),( ); ( ), ( ),()( ,; , ,;,; , ,)nmnmnnmmX t Y ttTt tt t ttTnmX tX tX tY tY tY tF x xx t tty yytmtnt 給定二維隨機(jī)過程，是 中任意兩組實(shí)數(shù)，則維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：稱為二維隨機(jī)過程的維分布函數(shù)12111212( ), ( ) , ,; , ,( ),( ),( )( ), ( ),()( )( )nmnmX t Y ttTn mt ttT t ttTnX tX tX tmY tY tY tX tY t 給定二維隨機(jī)過程對(duì)任意的正整數(shù)，任意的數(shù)組維隨機(jī)變量與 維隨機(jī)變量相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的23( ), ( )X t Y t關(guān)于數(shù)字特征，除了各自的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，還有如下兩個(gè)數(shù)字特征:1212( ), ( ),( , )0,( )( )XYX t Y tt tTCt tX tY t如果二維隨機(jī)過程對(duì)任意的恒有稱和是不相關(guān)的。121212121212( , )( ) ( ) ,( , ) ( )( ) ,XYYXRt tE X t Y tt tTRt tE Y t X tt tT互相關(guān)函數(shù)12112212121212121212( , )( )( ) ( )( ) ( , )( )( ) ,( , )( , )( )( ) ,XYXYXYXYYXYXYXCt tEX ttY ttRt tttt tTCt tRt tttt tT互協(xié)方差函數(shù)2412121212121212( )( ), ( ),( )( ),( ),( ),( , ),( , ),( , ), ( , ),( , ),( , )( ),( , ).XYZXYZXYYZZXWWW tX t Y t Z ttttRt tR t tRt tRt tRt tRt ttRt t例6：隨機(jī)過程是三個(gè)隨機(jī)過程之和， 已知，求 ( )( )( )( )W tX tY tZ t解：( )( )( )( )WXYZtttt12121212( , )( , )( , )( , )WXYZRt tRt tR t tRt t121212( , )( , )( , )XYYXXZRt tRt tRt t121212( , )( , )( , )ZXYZZYRt tRt tRt t12121212( , )( , )( , )( , )WXYZRt tRt tR t tRt t則( )( )( )0XYZttt若特，別的， ( ), ( ),( )X t Y t Z t 兩兩不相關(guān)1212( , )( )( )0,XYXYRt ttt即1212( , )0,( , )0XZYZRt tRt t253 泊松過程及維納過程0110211( ),0,0( )( )0,( )( ),( )( ),( )(),( ),0nnnX t ts tstX tX sntttnX tX tX tX tX tX tX ts tt給定二階矩過程，對(duì)，上的增量；獨(dú)立的增量過若稱隨機(jī)變量為隨機(jī)過程在區(qū)間對(duì)任意選定的正整數(shù) 和任意選定的個(gè)增量相互獨(dú)立，稱為；它具有“在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量是相互獨(dú)立”的程這直觀地說，一特征；0,()()( )( )( )()(0)0,(X tXhsX tsXshthX thX shX tX stsstts 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)和與具有相同的分布，稱；這時(shí)，增量的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同，即只依賴于時(shí)間差而不依賴于 和 本身，當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)，稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過增量程是具有平穩(wěn)性齊次的；26 獨(dú)立增量過程的性質(zhì)：( ),0(0)0,X t tX若是獨(dú)立增量過程，且則：( )( )( ) (0)1. X tX tX sst的有限維分布函數(shù)族可以由增量的 分布所確定；121212121111121211, , ( ),( ),( )( )(0),( )( )( )(0),.,( )()( ),( ),( )( )(0),( )( ),( )() nnnniiinnnnt tttttX tX tX tX tXX tX tX tXX tX tX tX tX tX tXX tX tX tX t事實(shí)上，對(duì)任意的 及任意的，不妨設(shè),則：即的分布函數(shù)可由：的分布函數(shù)確定27( )( , )( ,2.) XXXDtCs tDmin s t設(shè)已知，則( )( )( )( )XY tX ttX t證明：記，則當(dāng)具有獨(dú)立增量性時(shí)，(0)0, ( )0,( )( )YXYE Y tD tDt且( )Y t 也具有獨(dú)立增量性，2 ( )(0) ( )( ) ( )(0)E Y sYY tY sY sY,( , ) ( ) ( )XstCs tE Y s Y t設(shè)則 2 ( )(0) ( )( )( )E Y sYY tY sE Ys 2( )(0)( )( )( )( )XE Y sYE Y tY sE YsDs,( , )( )XXtsCs tDt同理當(dāng)時(shí) 可證得28(一) 泊松分布( ) 00,( ),0N tttN t t以表示在時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)得質(zhì)點(diǎn)數(shù)，是一狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時(shí)間連續(xù)的隨機(jī)過程，稱為計(jì)數(shù)過程。000000( , )( )( ) 0,( , )( , ) 0,1,2kN t tN tN tttt tP t tP N t tkk記它表示時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，其概率記為：5t4t3t2t1t( )N t等間隔的不等間隔的29( )N t計(jì)數(shù)過程滿足如下條強(qiáng)度為定義的泊件：，稱作松過程。1. 在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性12. ,( ,)( ,)1() ,( )t P t ttP N t tttotN t 對(duì)于充分小的其中常數(shù)稱為常數(shù)的強(qiáng)度22 3. ( ,),()jjjtP t ttP N t ttjot對(duì)于充分小的，4. (0)0N300000,0P t ttP N t tt證明：0()00000( )()( , ), 0,1,2,!,()kt tkN ttteP t tP N t tkkkN t ttt 若是強(qiáng)度為 的泊松過程，則：即000,P t t P t tt條件100,0P N t tN t tt000000,P t ttP t tP t ttot 即00,0,0P N t tN t tt2 300,1P t ttot 條件 ，0000,dP t tP t tdt 00000( , )0( , )1,N t tP t t由即為初始條件0()000( , ) t tP t tett解得：0tt 等式兩邊除以，令，得：續(xù)續(xù)31證畢證畢0( , ) 1kP t tk 再來計(jì)算00( ,),kkP t ttPN t tN t ttk00,kjP N t ttj P N t tkj00010( ,)( , ),kkkkP t ttP t tP t tPt ttot 000()0002,3, ,(), , 0,1,2!kt tkkt tkttP t tP N t tkettkk如此重復(fù)，即逐次令就可求得：在內(nèi)出現(xiàn) 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率為：0011002,kkkjkjjP t tt P t tP t tt Pt tP t tt Pt t0101,kktotP t ttotPt tot 0tt 兩邊除以，令，得：00100, kkkdP t tP t tPt tttdt 00,01kP t tk初始條件，010001, t tkP t tttett令即可解得32000( , )N t ttttt ，增量的概率分布是參數(shù)為 ()的泊松分布由，且只與時(shí)間差有關(guān)，所以強(qiáng)度為 的泊松過程是一齊次的獨(dú)立此可見增量過程。000( ),0 2. 0,( )( ) 3. (0)0( ),0N t tttN tN tttNN t t 若計(jì)數(shù)過程滿足下列三個(gè)條件：1. 它是泊松過程也可用另一形式定義獨(dú)立增量過程對(duì)任意的增量則稱是強(qiáng)度為 的：一泊松過程33強(qiáng)度為 的泊松過程的數(shù)字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE N tt DtD N tt 特別地，由假設(shè)，可得：3. , ,0NNCs tDmin s tmin s ts t 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t34( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNE ND NCov NN例7：設(shè)服從強(qiáng)度為 的泊松過程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (4) EN(5)=5 ,55 ,(5),(12)55 .D NCov NND N 4522.534.5(2) P54,(7.5)6,(12)9P54,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )3!NNNNNNNNeee57(3) (12)9(5)4(12)(5)5(5)4(12)(5)5(7 )5!P NNP NNNP NNe(5)4(12)9P NN問題：求49 449551.1212C 答案：35 N t設(shè)是強(qiáng)度為 的泊松過程 1 ,nnnWWnWft是第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的等待時(shí)間，下面給出的概率密度 0,nnWnWFtP WtP N tnnttn 的分布函數(shù) 即第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間內(nèi)至少 個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn) 0!0 0nktWk nk ntP N tketFtkt于是 111 0! 1 !0 0nnnnk kkkWtttk nk nWWdFttktteeetdtkkftnt 因此，的概率密度為：,nWn即服從分布。 11 00 0tWWetftt特別地，質(zhì)點(diǎn)首次出現(xiàn)地等待時(shí)間服從指數(shù)分布： 36 11110111 0 0 2 1,2, 0 1 iiiiitiiiiTTitP TtP N ttN tetFtTWWiWii 。 下面來求 的分布，設(shè)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)刻為，記 稱為相繼出現(xiàn)的第個(gè)質(zhì)點(diǎn)和第點(diǎn)間間距 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 則 ,1,2 , 0 00 0iitiTT itetTftt即 于是 的概率密度為： 點(diǎn)間間距序列服從同一個(gè)指 數(shù)分布。37 定理一：強(qiáng)度為的泊松流(泊松過程)的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨 機(jī)變量，且服從同一指數(shù)分布 定理二：如果任意相繼出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立， 且服從同一個(gè)指數(shù)分布： 這兩個(gè)定理刻畫出了泊松過程的特征，定理二告訴我們，要確定一個(gè)計(jì)數(shù)過程是不是泊松過程，只要用統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)點(diǎn)間間距是否獨(dú)立，且服從同一個(gè)指數(shù)分布。 00 0tetf tt則質(zhì)點(diǎn)流構(gòu)成強(qiáng)度為的泊松過程38(二) 維納過程維納過程維納過程是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型 以W(t)表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t0的位移的橫坐標(biāo)，且設(shè)W(0)=0。由于微粒的運(yùn)動(dòng)是受到大量隨機(jī)的、相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果，于是:(1) 粒子在時(shí)段(s,t上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移W(t)-W(s)服從正態(tài)分布是合理的。(2) 由于粒子的運(yùn)動(dòng)完全由液體分子不規(guī)則碰撞而引起的，這樣，在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、大小和方向可假設(shè)相互獨(dú)立，即W(t)具有獨(dú)立增量，同時(shí)W(t)的增量具有平穩(wěn)性。39 2( ),0 1. 2. 00,0 3. (0)0W t ttsW tW sNtsW給定二階矩過程，如果它滿足：具有獨(dú)立增量對(duì)任意，增量 且 稱此過程為定義：維納過程40維納過程的性質(zhì)：1. 維納過程是齊次的獨(dú)立增量過程2. ()維納過程是正態(tài)過程，因此其分布完全由它的均值 函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) 即自相關(guān)函數(shù) 所確定 223. ( )0 ( ) , ,0WWWWWtE W tDtD W ttCs tRs tDmin s tmin s ts t維納過程的數(shù)字特征:41( ),0( )( 1)( )W t tX tW tW t例8：設(shè)是一個(gè)維納過程，求+ -的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。( )( )( 1)( )0XtE X tE W tE W t解：+-( , )(1)( )( 1)( )R s tE W sW sW tW t+(1)(1)( )(1)(1)( )( )( )E W sW tE W s W tE W sW tE W s W t+(min(1,1)(min( ,1)(min(1, )(min( , )DstDs tDstDs t22222(min(1,1)(1),(min( ,1),(1),1(min( , ),(min(1, ),1stDstsDs tsstsDs ts Dsttts設(shè)，則20,1( , )(1),1tsR s tts ts 于是，20,1( , )(1),1sttsR s ttsts類似討論的情況，合起來有42關(guān)鍵詞： 無后效性(馬爾可夫性) 齊次馬爾可夫鏈 n步轉(zhuǎn)移概率 n步轉(zhuǎn)移概率矩陣 C-K方程 馬氏鏈的有限維分布律 遍歷性 極限分布(平穩(wěn)分布)第十一章 馬爾可夫鏈1 馬爾可夫過程及其概率分布馬爾可夫性(無后效性) 過程(或系統(tǒng))在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時(shí)刻tt0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時(shí)刻t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)。通俗地說，通俗地說，就是在已經(jīng)知道過程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來”不依賴于“過去”。用分布函數(shù)表述馬爾可夫性：12( ),3,niX t tTITnttt ntT設(shè)隨機(jī)過程其狀態(tài)空間為對(duì)參數(shù)集 中任意 個(gè)數(shù)值 111111( )|( )|nnnnnnnnP X txX txX txP X txX tx( ),X t tT則稱過程具有或，并稱此過程馬爾可夫性無后效性馬爾為可夫過程。44 1,000,0X ttXX tt例：設(shè)是獨(dú)立增量過程，且 證明：是一個(gè)馬爾可夫過程。 121,nnTntttt證：對(duì) 中任意 個(gè)數(shù)值 1111( )|,nnnnP X txX txX tx 112211110,0,( ),0nnnnnnX tXx X tXxP X tX txxX tXx 1111( )|0nnnnnnP X tX txxX tXx ,0X tt 由定義知，是一個(gè)馬爾可夫過程。 證畢！證畢！11( )|nnnnP X txX tx45由上例知，泊松過程泊松過程是時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程， 維納過程維納過程是時(shí)間狀態(tài)都連續(xù)的馬氏過程。時(shí)間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈，記為：Xn=X(n),n=0,1,2,參數(shù)集T=0,1,2,，記鏈的狀態(tài)空間為：112212,0; ,|, |,rrrim njtititimim njmiijn rtttm t m mnTP XaXaXaXaXaP XaXaP m mn記為馬對(duì)任意的正整數(shù)和，有爾可夫鏈用條件分布律來表示為：12, iIa aaR46,|ijm njmiijP m mnP XaXamamna條件概率： 稱為馬氏鏈在時(shí)間 處于狀態(tài) 條件下，在時(shí)間轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 的轉(zhuǎn)移概率112,1,1,2,ijjiP m mnjmamna a這是因?yàn)殒溤跁r(shí)刻 以任何一個(gè)狀態(tài) 出發(fā)，到另一個(gè)時(shí)刻必然轉(zhuǎn)移到諸狀轉(zhuǎn)移概率性質(zhì)： 態(tài)中的某一個(gè)。111213212223313233,1Pm mnPm mnPm mnPm mnPm mnPm mnP m mnPm mnPm mnPm mn此矩陣的每一轉(zhuǎn)移概率矩陣： 行元素之 和等于 47 0,|ijijijijm njminjiP m mni jnP nP nP m mnP XaXaXaanPX稱此轉(zhuǎn)移概率為馬氏鏈的當(dāng)轉(zhuǎn)移概率當(dāng)只與及 有關(guān)時(shí)，把具有這種平穩(wěn)性時(shí)，它記為稱此鏈步轉(zhuǎn)是移概率；齊，即次馬氏鏈。 1112132122233132331111121322122233313233( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )1|1 ijijmjminP nPnPnPnPnPnP nPnPnPnPPP XaXaaPPPaPPPPPaPPP在齊次馬氏鏈中， 步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：一步轉(zhuǎn)移概率記為：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣記為：的狀態(tài)Xm123aaaXm+1的狀態(tài)48 例2：(0-1傳輸系統(tǒng))如圖所示，只傳輸數(shù)字0和1的串聯(lián)系統(tǒng)中，設(shè)每一級(jí)的傳真率為p，誤碼率為q=1-p。并設(shè)一個(gè)單位時(shí)間傳輸一級(jí)，X0是第一級(jí)的輸入，Xn是第n級(jí)的輸出(n1)，那么Xn,n=0,1,2是一隨機(jī)過程，狀態(tài)空間I=0,1，而且當(dāng)Xn=i為已知時(shí)，Xn+1所處的狀態(tài)的概率分布只與Xn=i有關(guān)，而與時(shí)刻n以前所處的狀態(tài)無關(guān)，所以它是一個(gè)馬氏鏈，而且還是齊次的，它的一步轉(zhuǎn)移概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：1 | ,0,1 ijnnpjiPP Xj Xii jqjin21X0X1X2XnXn-1pqPqp49 例3：一維隨機(jī)游動(dòng)一維隨機(jī)游動(dòng)。設(shè)一醉漢Q(或看作一隨機(jī)游動(dòng)的 質(zhì)點(diǎn))在直線上的點(diǎn)集I=1,2,3,4,5作隨機(jī)游動(dòng)， 且僅在1秒、2秒等時(shí)刻發(fā)生游動(dòng)，游動(dòng)的概率規(guī)則 是：如果Q現(xiàn)在位于點(diǎn)i(1i0)表示經(jīng)n次交換 后甲盒中的紅球數(shù). (1)求此馬氏鏈的初始分布; (2)求一步轉(zhuǎn)移概率矩陣; (3)計(jì)算 ; (4)判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若有，求出極限分布。0242(1,1,0),(2)P XXXP X0X7501 32 30(2)1 2 95 92 9 ,202 31 3P07 2716 274 27(3) (2)1 16 8149 81 16 81 ,24 2716 277 27P3312304602462130246(0)1 5, (1)3 5,(2)1 5,P XCCP XC CCP XC CC解:(1)00121 53 51 5X即:024(1,1,0)P XXX2002012022(2)(0)(2)(1)(2)(2)(2)P XP XPP XPP XP3 5 49 81 16 812352 328050.07201110(1)(2)(2)P XPP1 5 4 273 5 16 81 1 5 7 271 50.27601 32 30(4)1 2 95 92 9 ,202 31 3P由定理知，此鏈有遍歷性；1239522393219310011012212012方程組, 012設(shè)極限分布 =，07 2716 274 27(2)1 16 8149 81 16 81 ,24 2716 277 27P15351501277關(guān)鍵詞： (寬)平穩(wěn)過程 時(shí)間均值 時(shí)間相關(guān)函數(shù) 各態(tài)歷經(jīng)性 譜密度第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程781 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 , X ttT是一隨定義：機(jī)過程，121,2, ,nn nt ttTh對(duì)任意的，和任意實(shí)數(shù)12, ,nth ththT當(dāng)時(shí) 1212,nnX tX tX tX thX thX th和具有相同的分布函數(shù)， 12121212,; , ,;,nnnnF x xx t ttF x xx th ththX ttT平即： 則稱隨機(jī)過程具有， 穩(wěn)性嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 稱此過程為，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)過程79 ,00, 1, 2, 0,1,2,T 平穩(wěn)過程的參數(shù)集 可以為連續(xù)的,如，； 可以為離散的,如 1212212121,0 ,00,XXXXXX ttTtE X tE XRt tE X tX tE XX ttRttRtt記為記為 設(shè)嚴(yán)平穩(wěn)過程是二階矩過程 則常嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)字?jǐn)?shù)特征：80 121211221210 ,0 ,X tX thhtX tXX tX tX thX thhtX tX tXX tttt 事實(shí)上,與同分布，取 則與同分布，從而有相同的數(shù)學(xué)期望與同分布，取 則與同分布，因此 自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù) 2200XXXXXXXCRDtCR從而協(xié)方差函數(shù) 方差函數(shù) 是常數(shù)由于要確定一個(gè)隨機(jī)過程的分布函數(shù)，并進(jìn)而判定其平穩(wěn)性在實(shí)際中是不易辦到的。因此，通常只在二階矩過程范圍內(nèi)考慮寬平穩(wěn)過程。81 , ,XXX ttTt tTE X tE X t X tRX ttT 給定二階矩過程，如果對(duì)任意的常數(shù) 則稱為寬平穩(wěn)過程 嚴(yán)平穩(wěn)過程二階矩存在寬平穩(wěn)過程；反之不一定成立. 今后，平穩(wěn)過程均指寬平定義：穩(wěn)過程。 ,XYXYXYX tY ttTRRt tE X t X tRX tY t和是兩個(gè)平穩(wěn)過程 如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時(shí)間差的函數(shù)，記為 即 稱和是， 或稱這兩個(gè)過程平是穩(wěn)相關(guān)的聯(lián)合定義：寬 平穩(wěn)的8222 1,0, 1, 2,0,:,0, 1, 2,kkkkXkE XE XXk 例 ：設(shè)是互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列， 且.證明是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列. 2 :0,0 ,0, 1, 2,kXklkklE XRk lE X XklklXk 證明 即：相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)， 所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列，也稱為離散白噪聲。 注:如果又是獨(dú)立同分布的，則它還是嚴(yán)平穩(wěn)序列。83 00Nnkn kkE Ya E X證： 0012,0, 1, 2,1 0, 1, 2,0, 1, 2,kNnkn kkNnXkYa XnNa aaY n 例 ：設(shè)是例中的隨機(jī)序列， 作，其中 是自然數(shù)，而是常數(shù). 證明：是平穩(wěn)序列,Ynn mRn nmE Y Y又相關(guān)系數(shù)00NNkn kjn mjkjEa Xa X00NNkjn kn mjkja a E XXnnY它與 無關(guān)，所以是平穩(wěn)序列。2 00Nkm kkm k Na a 84 30,S tTTX tS t例 ：設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量， 稱為隨機(jī)相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。 1 00 TTf解：由假設(shè)， 的概率密度為: 其他 ,XRt tE S tS t01TS tdT 1t TtSdT 01TSdT周期性常數(shù)所以隨機(jī)相位周期過程是平穩(wěn)的。 ,E X tE S t于是 1t TtSSdT 01TS tS tdT 01TXSSdRT周期性記為85 41 ,2, ,0,1,2,!0kX tIIP X tIt tN t tN t teP N t tkkkX t 例 ：考慮隨機(jī)電報(bào)信號(hào)，信號(hào)由只取或的電流給出。而正負(fù)號(hào)在區(qū)間內(nèi)變化的次數(shù)是隨機(jī)的，且假設(shè)服從泊松分布，即： 其中是單位時(shí)間內(nèi)變號(hào)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，試討論的平穩(wěn)性. t( )x t86 022IIE X tI P X tII P X tI 解： 2222I P X t X tII P X t X tI 0, ,XRt tE X t X t設(shè) 2,X t X tIt t事件等價(jià)于電流在內(nèi)變號(hào)偶數(shù)次， 20,2kP X t X tIP N t tk因此202!kkek續(xù)續(xù)87221200,2!21 !kkXkkeeRt tIkk 所以2220!kkI eI ek 220,XtttRt tE X tX tI e 此結(jié)果與 無關(guān)，若只要令則有22,.XRt tI e綜合得，僅與 有關(guān)，故是平穩(wěn)過程。 20,21kP X t X tIP N t tk 同理21021 !kkek882 各態(tài)歷經(jīng)性 如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？ 按照數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)的定義，需要時(shí)，一個(gè)平穩(wěn)過程重復(fù)進(jìn)行大量觀察，獲得一族樣本函數(shù)用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法，均值和自相關(guān)函數(shù)近似地為： 121121111, NNXkXkkkkxtRttxtxtNN 12,nx txtxt89 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，根據(jù)這一特點(diǎn)，能否通過在一個(gè)很長時(shí)間內(nèi)觀察得到的一個(gè)樣本曲線來估計(jì)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢？ 本節(jié)給出的各態(tài)歷經(jīng)定理證實(shí)，只要滿足某些條件，那么均值和自相關(guān)函數(shù)實(shí)際上可以用一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值來代替。( )x tt90隨機(jī)積分定義：兩種定義下的隨機(jī)變量在存在的情況下，以概率1相等 1. ,( ) , ,baX ttTx taX ta bbTYX t dt Y給定二階矩過程，如果它的每一個(gè)樣本函數(shù)在上的隨機(jī)過程在上積分都存在，稱， 的積分存 記為是一在隨機(jī)變量； 012112012.,1,2,0,iniiiiiiniimax tia battttbttttt inYlimEYXtYX ta b 考慮內(nèi)的一組分點(diǎn)： 且記 若存在隨機(jī)變量 ，使 稱 為在上的均方積分91 ,.babbXaabaX ttTRs tE YE X tdsdtdX ta bY YX ttdt 是二階矩過程，若自相關(guān)函數(shù)的二重積分存在， 即存在，則在上均方積分存在 即存在隨機(jī)變量且定理：92 12TTTX tX t X tlimX t X tdtT隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)函數(shù)：= 12TTTX tX tlimX t dtT隨機(jī)過程的時(shí)間均值： 定 義：=93 1 X tacostX tX t X t。例：計(jì)算隨機(jī)相位正弦波：的時(shí)間平均和 1 2TTTX tlimacostdtT 解：0Tacos sin TlimT2Ta sinTsinTlimT 將 看作一定值94 XXE X tX tRE X t X tX t X t 對(duì)照第十章計(jì)算過的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，可知： 2 12TTTX t X tlima costcostdtT22acos2224TTTalimcostcosdtT 222222422TsinTsinTaa coslimT 951. ( )( )1( )XX tE X tX t如果以概率 成立， 均值具有 則各稱過程的態(tài)歷經(jīng)性 X t設(shè)是定義：一平穩(wěn)過程 2. ( )()( )()1( )0XX t X tE X t X tRX t如果對(duì)任意實(shí)數(shù) ，以概率 成立， 則稱過程的， 自相關(guān)函數(shù)具有各 特別當(dāng)時(shí)，稱態(tài)歷經(jīng)性均方值具有各態(tài)歷經(jīng)性( )3. ( )X tX t如果的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性， 是各態(tài) 則稱歷經(jīng)過程96 12,12X tX tXP XX t 例 ：是隨機(jī)變量， 試確定的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 X tX解：是平穩(wěn)過程， 1122TTTTTTX tlimX t dtlimXdtXTT時(shí)間均值 0XtE X tEX因?yàn)?X t由定義知，的均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性 00XPX tP X即 2,1XRt tE X t X tE Xt與 無關(guān)11 1x t 2xt97( )() ,2 , 01,A ( ),0,(0,2 )X tAcosttxxAf x 例3：證明:正弦波其中 是常數(shù)與 相互獨(dú)立其它在上均勻分布,是平穩(wěn)過程;并判斷其是否為各態(tài)歷經(jīng)過程. 1212( , )( )( )XRt tE X t X t:( )( )XtE X t證明E Acost( ) 0E A E cost212 ()()E A E costcost212111()cos.()44costttt221201()()2E Acostcostd( )X t所以,是平穩(wěn)過程.98 1 2TTTX tlimAcostdtT 0( )TAcos sin TlimE X tT2TA sinTsinTlimT 將A, 看作定值( ).X t即的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性99 .X tX t的相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性所以,不是各態(tài)歷經(jīng)過程 2 12TTTX t X tlimA costcostdtT22Acos2224TTTAlimcostcosdtT 222222422TsinTsinTA cosAlimT 1cos( ,)4XRt t100 2201102TXXTX tlimRdTT均值各態(tài)歷經(jīng)定理 平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 的充要條件是：定理一： 1,0XXX tPX tEX tDX tX t 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的定義為思路:： 下面只要計(jì)算的均值與方差就可以了 12TTTE limX ttdtEXT 12TTTlimE X tdtT12TXXTTlimdtT 22XEXDXtt 2212TXTTElimX t dtT 21122214TTXTTTlim EX tdtX tdtT 21212214TTXTTTlimE X tX tdt dtT 22112214TTXXTTTlimRttdt dtT 續(xù)續(xù)10111222122221212022222212122202,12,111224ttttTTTXXXTTTTt tlimdRdRdT 雅可比式0222222222201224TXXXTTlimT RdTRdT22222222124XRTXXTTlimTRdT為偶函數(shù) 220112TXXTlimRdTT 220112TXXTlimRdTT 22010102TXXTDX tlimRdTT 即證畢！證畢！2t,T T1t,TT,T T,TT2t2 ,0T1t0, 2T0,2T2 ,0T102 222lim0XXXXXXXXXXXlimRlim Rlim Clim Clim Rlim CXRlim RtX t在存在的條件下， 若,則定理一條件成立，即 若,則定理一條件不成立,即注意： 均值具有各態(tài)歷經(jīng)性均值不具有因此在或存在條件下，均值各態(tài)歷經(jīng)性的條件為：，即當(dāng)時(shí)間差 充分大時(shí)，和各態(tài)推歷經(jīng)性論：呈 Xlim R現(xiàn)不相對(duì)隨機(jī)相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各關(guān)性態(tài)歷經(jīng)的103 2211101111 102 XXTTX tRlimBRdTTBE X t X tX tX t自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理 平穩(wěn)過程的自相關(guān) 函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是： 定理二 ： 其中 00001 ( ) 1 ( )() TTTTttX tlimX t dtTX t X tlimX t X tdtT 在實(shí)際應(yīng)用中通常只考慮定義在上的平穩(wěn)過程，此時(shí)上面的所有時(shí)間平均都應(yīng)以上的時(shí)間平均來代替。即 X tX t X t在定理一的證明中，將換成，就可得到：而相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)定理可表示為下述形式： 見下頁104 2011 10XTXXTPX tlimRdTT 三： 定理 2111011 10XTXTPX t X tRlimBRdTT定四： 理105 各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價(jià)值在于它從理論上給出了如下保證：一個(gè)平穩(wěn)過程X(t)，若0t+，只要它滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。 000,1( )11( ) ()( ) () 0XXTXTTXx tTRx t dtTRx t x tdtx t x tdtTTT如果試驗(yàn)記錄只在時(shí)間區(qū)間上給出，則相應(yīng)的的無偏估計(jì)為： 0011 TxTTxTlimx t dtTlimx t x tdtRT即 1063 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 221. 00XXRE Xt , XYXYX tY tRRR 設(shè)和是平穩(wěn)相關(guān)過程，和分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)具有如下的性質(zhì)： 2. , ,XXXXYYXRRRRR即是 的偶函數(shù)即互相關(guān)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 222.3. 0 ,00 00 ,00XXXXXXYXYXYXYRRCCRRRCCC 此不等式表明：自相關(guān)自協(xié)方差 函數(shù)在處取得最大值。 見下頁107 1212,1 4. , ,0XnnnXijiji jRt ttTna aaRtta a是非負(fù)定的，即對(duì)任意數(shù)組和任意 個(gè) 不全為零的實(shí)數(shù)，都有： ,1,12,11 0nnXijijijiji ji jnnijijiii jiRtta aE X tX ta aEX tX ta aEX ta事實(shí)上， 自相關(guān)函數(shù)的非負(fù)定性是平穩(wěn)過程最本質(zhì)的特性， 因?yàn)槿我贿B續(xù)函數(shù)，只要具有非負(fù)定性，那么該函數(shù)必是某平穩(wěn)過程的 自相 關(guān)函數(shù)。 見下頁108 001,X tP X tTXtTtX是平穩(wěn)過程，若滿足條件 則定義周期為 的：稱為平穩(wěn)過程。 005. X tTT是周期為 的平穩(wěn)過程的充分必要條件是： 其自相關(guān)函數(shù)是周期為 的函數(shù)。 00:1.XXP X tTX tRTR即109 20000020220010,0. 0XXXXP X tTX tEX tTX tRTRE X t X tTE X t X tE X tX tTX tE X tX tTX tE XtEX tTX tRTR 周期平穩(wěn)定義證明： 因?yàn)?要證只要證 也即 而 故 200200010020 2020 XXXXRXXP X tTX tEX tTX tEX tTX tRRTRRRT 為周期函數(shù) 要證要證 計(jì)算得證畢證畢柯西施瓦茲不等式110 應(yīng)用：應(yīng)用： 00,0XXNVSNVSX tX tlim RlimCV tS tN tV tS tN tS tN tE N tlim RV tRRRRRV t在實(shí)際中，各種具有零均值的非周期性噪聲和干擾一般當(dāng)值適當(dāng)增大時(shí)，和呈現(xiàn)獨(dú)立或不相關(guān)，即設(shè)接收機(jī)輸出電壓是周期信號(hào)和噪聲電壓之和，又設(shè)和是兩個(gè)互不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)過程，且則的自相關(guān)函數(shù)對(duì)于充分大的值，即如果將作為自相關(guān)分析儀的 SR輸入，則對(duì)于充分大的 值，分析儀記錄到的是函數(shù)的曲線。111 2222222 ,02002,220aSNNSaVVaRcosRb eaaRbRaaRcosb ecosR例：假設(shè)接收機(jī)輸出電壓中的信號(hào)和噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)分別為： 且噪聲平均功率遠(yuǎn)大于信號(hào)平均功率 則當(dāng) 充分大時(shí) 自相關(guān)分析儀記錄到的，的圖形， 當(dāng) 充分大后應(yīng)呈現(xiàn)正弦曲線， 亦即從強(qiáng)噪聲中檢測到微弱的正弦信號(hào)。 VRcos下面水平部分時(shí)為三角周期函數(shù)4 平穩(wěn)過程的功率譜密度( (一一) ) 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度 1. ,x tt 確定性信號(hào)的功率譜密度 對(duì)確定性信號(hào)它是時(shí)間函數(shù)，現(xiàn)作頻譜分析。 ,x tx t dt 設(shè)滿足狄利克雷條件，且 i txFx t edtx t 則的傅里葉變換存在或者說具有頻譜： 1 2i txx teFdt 且同時(shí)有傅里葉逆變換： i txx tFx t edt 對(duì)確定性信號(hào)的傅里葉變換： 1 2i txx teFdt 及傅里葉逆變換： *xxxFx tFF一般是復(fù)函數(shù)，稱之為信號(hào)的頻譜，其共軛函數(shù) 12i txx tFe說明信號(hào)可以表示成諧分量的無限疊加， 其中 稱為圓頻率114 22,12TTTxt dtlimxt dtT 但在工程技術(shù)中，通?？偰芰慷骄β蕿榇死酶道锶~變換給出平均功率的譜表達(dá)式。 22212,xxxx tFParsevalxt dtFdx tF 在信號(hào)與之間成立有等式： 等式左邊表示在上的總能量，而右邊的被積函數(shù)在頻率域中表示在圓頻率 處的能譜密度。115 0 Tx ttTx txttT作的截尾函數(shù)： Txt 它在區(qū)間，上絕對(duì)可積，記的傅里葉變換為： ,Ti ti txTTFTxt edtx t edt 2221,2TTTxTxtParsevalxt dtxt dtFTd的等式為： 2 ,TTx t 兩邊除以再令得在，上的平均功率可表示為： 22211,2411 ,22TxTTTxTlimxt dtlimFTdTTlimFTdT 21lim,2xxTSFTTx t其中稱為信號(hào)在 處的功率譜密度116 222. ,111 ,222,Ti tXTTXTX ttx tX tx tX tFTX t edtXt dtFTdTT 平穩(wěn)過程的功率譜密度 設(shè)平穩(wěn)過程前面討論的可以看成它的樣本函數(shù)， 于是對(duì)平穩(wěn)過程作討論，只要把換成即可， 即： 22111,222, TXTTTlim EXt dtlimFTdTTT 等式兩邊取數(shù)學(xué)期望，再讓得： 22211 220TTTTTTXXX tlim EXt dtlimE XtdtTTR等式左邊稱為平穩(wěn)過程的平均功率117 220 ,1 ,21 02XXXTXXXXRSlimE FTTSRdtSX在頻率域中稱之為平穩(wěn)即平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值過程在 處的功率譜密或等式右邊中的被積式記為：利用記號(hào)及簡化結(jié)果得：度此式稱為平穩(wěn)過程的平均功率的譜表達(dá)式118( (二二) ) 譜密度的性質(zhì)譜密度的性質(zhì) 2. 12XXiiXXXXSRSRedRSed和自相關(guān)函數(shù)是一傅里葉變換對(duì)， 即 ； 它們統(tǒng)稱為維納辛欽公式 21. ,XXXXSFTFT FT是的實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù) 事實(shí)上，因?yàn)?是的實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)，所以它的均值的極限 也必是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù) XS譜密度有以下重要性質(zhì)：11912.1表列出了若干自相關(guān)函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的譜密度 1211221 2TTi ti tXTTTSlimEX tedtX tedtT證明：21211212TTittXTTTlimRttedt dtT 21121212TTittTTTlimE X tX tedt dtT XRdiXRed當(dāng)時(shí) 112221=2212ttttTiXTTlimRedT XS