專題11 解三角形—三年高考20152017數(shù)學理真題分項版解析解析版

1.【2017山東，理9】在中，角，，的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【解析】試題分析： 所以，選A. 【考點】1.三角函數(shù)的和差角公式2.正弦定理. 【名師點睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視. 2.【2016高考新課標3理數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，．由余弦定理，知，故選C． 考點：余弦定理． 3.【2016高考天津理數(shù)】在△ABC中，若,BC=3， ,則AC= （） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】 試題分析：由余弦定理得,選A. 考點：余弦定理 【名師點睛】1.正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中已知兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解． 2．利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運用兩個定理實現(xiàn)邊角互化，從而達到知三求三的目的． 4.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______． 【答案】 【解析】 試題分析：取BC中點E，DC中點F，由題意：， △ABE中，，， ． 又， ， 綜上可得，△BCD面積為，． 【考點】解三角形 5.【2015高考北京，理12】在中，，，，則． 【答案】1 【解析】 考點定位：本題考點為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及二倍角公式，靈活使用正弦定理、余弦定理進行邊化角、角化邊. 【名師點睛】本題考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題，題目所求分式的分子為二倍角正弦，應(yīng)用二倍角的正弦公式進行恒等變形，變形后為角的正弦、余弦式，靈活運用正弦定理和余弦定理進行角化邊，再把邊長代入求值. 6.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是. 【答案】8. 【解析】，因此 ，即最小值為8. 考點：三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用 【名師點睛】消元與降次是高中數(shù)學主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正余弦定理，是一個關(guān)于切的等量關(guān)系，平時多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識 7.【2015高考新課標1，理16】在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是. 【答案】（，） 【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）. 【考點定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 8.【2016高考新課標2理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則． 【答案】 【解析】 試題分析：因為，且為三角形內(nèi)角，所以，，又因為， 所以. 考點：三角函數(shù)和差公式，正弦定理. 能用到。 9.【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，. 【考點定位】解三角形（正弦定理，余弦定理） 【名師點晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進行的．當已知三角形邊長的比時使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問題的下一步解決方法． 10.【2015高考天津，理13】在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，則的值為. 【答案】 【解析】因為，所以， 又，解方程組得，由余弦定理得 ，所以. 【考點定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理. 【名師點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實際應(yīng)用問題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運用三角知識、正余弦定理的能力與運算能力，是數(shù)學重要思想方法的體現(xiàn). 11.【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】 12.【2015高考福建，理12】若銳角的面積為，且，則等于________． 【答案】 【解析】由已知得的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，． 【考點定位】1、三角形面積公式；2、余弦定理． 【名師點睛】本題考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題；知道兩邊和其中一邊的對角，利用余弦定理可以快捷求第三邊，屬于基礎(chǔ)題． 13.【2017課標1，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長. 【解析】 由正弦定理得. 故. （2）由題設(shè)及（1）得，即. 所以，故. 由題設(shè)得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周長為. 【考點】三角函數(shù)及其變換. 【名師點睛】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可. 14.【2017課標II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知， （1）求； （2）若，的面積為，求。 【答案】(1)； (2)。 【解析】 解得(舍去)，。 （2）由得，故。 又，則。 由余弦定理及得： 所以b=2。 【考點】正弦定理；余弦定理；三角形面積公式。 【名師點睛】解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學生的歡迎。 15.【2017課標3，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，a=2,b=2. （1）求c； （2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積. 【答案】(1)； (2) 【解析】 試題分析：(1)由題意首先求得，然后利用余弦定理列方程，邊長取方程的正實數(shù)根可得； (2)利用題意首先求得△ABD面積與△ACD面積的比值，然后結(jié)合△ABC的面積可求得△ABD的面積為. 試題解析：（1）由已知得，所以. 在△ABC中，由余弦定理得，即. 解得： (舍去)，. (2)由題設(shè)可得，所以. 故△ABD面積與△ACD面積的比值為. 又△ABC的面積為，所以△ABD的面積為. 【考點】余弦定理解三角形；三角形的面積公式 行判斷。 16.【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a. （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=7，求△ABC的面積. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理求的值；（Ⅱ）根據(jù)條件可知根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果求，再利用求解，最后利用三角形的面積. 試題解析：解：（Ⅰ）在△ABC中，因為，， 所以由正弦定理得. （Ⅱ）因為，所以. 由余弦定理得， 解得或（舍）. 所以△ABC的面積. 【考點】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換. 17.【2017天津，理15】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】(1).(2) 【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出， 進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果. 試題解析：（Ⅰ）在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以. 由正弦定理,得. 所以，的值為，的值為. （Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以， .故. 考點：正弦定理、余弦定理、解三角形 18.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 在ABC中，. （1）求的大?。? （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進而根據(jù)的取值范圍求的大小； （2）由輔助角公式對進行化簡變形，而根據(jù)的取值范圍求其最大值. 試題解析：（1）由余弦定理及題設(shè)得， 又∵，∴；（2）由（1）知， ，因為，所以當時，取得最大值. 考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理. 19.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分為12分） 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 （I）求C； （II）若的面積為,求的周長． 【答案】（I）（II） 【解析】 試題分析：（I）先利用正弦定理進行邊角代換化簡得得,故；（II）根據(jù)．及得．再利用余弦定理得．再根據(jù)可得的周長為． 試題解析：（I）由已知及正弦定理得,, 即． 故． 可得,所以． （II）由已知,． 又,所以． 由已知及余弦定理得,． 故,從而． 所以的周長為． 考點：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式 【名師點睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式,,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理條件中含有邊或角的等式,常考慮對其實施“邊化角”或“角化邊.” 20.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 因為, 所以. 從而. 由正弦定理得. 由知, 所以 ， 當且僅當時，等號成立. 故 的最小值為. 考點：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式. 【名師點睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達到證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.9. 21【2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分） 在中，已知. （1）求的長； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題解析：（1）由余弦定理知，， 所以． （2）由正弦定理知，，所以． 因為，所以為銳角，則． 因此． 【考點定位】余弦定理，二倍角公式 【名師點晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開方時舍去負根. 22.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分） 在中，AC=6， （1）求AB的長； （2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】 試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求 再利用正弦定理求 (2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開方時正負取舍. 試題解析：解（1）因為所以 由正弦定理知，所以 【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證. 23.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2acosB. （I）證明：A=2B； （II）若△ABC的面積，求角A的大小. 【答案】（I）證明見解析；（II）或． 試題分析：（I）先由正弦定理可得，進而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進而可證；（II）先由三角形的面積公式可得，進而由二倍角公式可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大?。? 試題解析：（I）由正弦定理得， 故， 于是． 又，，故，所以 或， 因此（舍去）或， 所以，． 綜上，或． 考點：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路點睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大?。? 24.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且. （I）證明：； （II）若，求. 【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）已知條件式中有邊有角，利用正弦定理，將邊角進行轉(zhuǎn)化（本小題是將邊轉(zhuǎn)化為角），結(jié)合誘導(dǎo)公式進行證明；（Ⅱ）從已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，解出tanB的值. 試題解析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k(k>0)． 則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC． （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有 cosA==． 所以sin A==． 由（Ⅰ），sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB， 所以sin B=cosB+sin B， 故． 考點：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系. 【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時，可用正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個結(jié)論，否則難以得出結(jié)論． 25.【2015高考新課標2，理17】（本題滿分12分） 中，是上的點，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的長． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因為，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因為，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 【考點定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理． 【名師點睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個三角形中和互為相反數(shù)的特點結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進而求． 26.【2015湖南理17】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角. （1）證明：； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用正弦定理，將條件中的式子等價變形為，再結(jié)合條件從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解. 試題解析：（1）由及正弦定理，得，∴，即， 又為鈍角，因此，故，即；（2）由（1）知， ，∴，于是 ，∵，∴，因此，由此可知的取值范圍是. 【考點定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì). 【名師點睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點，屬于中檔題，高考解答題對三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，一般運用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時，一般先運用三角恒等變形，將表達式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面積公式實現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小. 27.【2015高考新課標2，理17】（本題滿分12分） 中，是上的點，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的長． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因為，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因為，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 【考點定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理． 28.【2015高考四川，理19】如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角. （1）證明： （2）若求的值. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】（1）. （2）由，得. 由（1），有 連結(jié)BD， 在中，有， 在中，有， 所以， 則， 于是. 連結(jié)AC，同理可得 ， 于是. 所以 . 【考點定位】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 29.【2015高考浙江，理16】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，=. （1）求的值； （2）若的面積為7，求的值. 【答案】（1）；（2）. 試題分析：（1）根據(jù)正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間滿足的關(guān)系，再將式 子作三角恒等變形即可求解；（2）根據(jù)條件首先求得的值，再結(jié)合正弦定理以及三角 形面積的計算公式即可求解. 試題解析：（1）由及正弦定理得， ∴，又由，即，得， 解得；（2）由，得，， 又∵，∴，由正弦定理得， 又∵，，∴，故. 【考點定位】1.三角恒等變形；2.正弦定理. 內(nèi)容總結(jié) （1）（ = 2 \* ROMAN II）若，求. 【答案】（Ⅰ）證明詳見解析 （2）2.三角恒等變形