2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專(zhuān)題30 小題不小——比較大小.doc

專(zhuān)題30 小題不小-比較大小【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 高考命題中，常常在選擇題或填空題中出現(xiàn)一類(lèi)比較大小的問(wèn)題，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序.這類(lèi)問(wèn)題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答.本專(zhuān)題以一些典型例題來(lái)說(shuō)明此類(lèi)問(wèn)題的方法與技巧.（一）常用技巧和方法1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來(lái)：判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中，一個(gè)在中，那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如：等2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖象觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了3、比較大小的兩個(gè)理念：（1）求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過(guò)真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如：，比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤瑥亩恍璞容^底數(shù)的大小即可 （2）利用特殊值作“中間量”：在指對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟（在兵法上可稱(chēng)為“分割包圍，各個(gè)擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如，可知，進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式：（1） （2） （3） （4）換底公式： 進(jìn)而有兩個(gè)推論： （令） （二）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁）2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）（2）3、常見(jiàn)描述單調(diào)性的形式（1）導(dǎo)數(shù)形式：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減（2）定義形式：或：表示函數(shù)值的差與對(duì)應(yīng)自變量的差同號(hào)，則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞增，若異號(hào)則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞減4、技巧與方法：（1）此類(lèi)問(wèn)題往往條件比較零散，不易尋找入手點(diǎn).所以處理這類(lèi)問(wèn)題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析.在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么.兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn)（2）在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù).在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整（3）在比較大小時(shí)，通?？衫煤瘮?shù)性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性，周期性）將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進(jìn)行比較（三）數(shù)形結(jié)合比較大小1、對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性：若已知單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性，則可通過(guò)作出草圖觀察得到諸如“距軸越近，函數(shù)值越”的結(jié)論，從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離，即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系（1）若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且單調(diào)增，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越小（2）若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且單調(diào)減，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越大2、函數(shù)的交點(diǎn)：如果所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).抓住共同的函數(shù)作為突破口，將其余函數(shù)的圖象作在同一坐標(biāo)系下，觀察交點(diǎn)的位置即可判斷出自變量的大小.【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)1，理11】設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則（ ）A2x<3y<5zB5z<2x<3yC3y<5z<2xD3y<2x<5z【答案】D【名師點(diǎn)睛】對(duì)于連等問(wèn)題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù)，在用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的，通過(guò)作差或作商進(jìn)行比較大小.對(duì)數(shù)運(yùn)算要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見(jiàn)的運(yùn)算法則，尤其是換底公式和0與1的對(duì)數(shù)表示.例2.【2017天津，文理】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則，所以即，所以，故選C【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見(jiàn)題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.例3.已知均為正數(shù)，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【名師點(diǎn)睛】本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為的形式，而第三個(gè)等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).先作出圖象，再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出，比較交點(diǎn)的位置即可.例4.【2018屆山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺模擬（三）】已知a=2-13，b=log213,c=log1213,則a,b,c的大小關(guān)系為（ ）A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b【答案】D【解析】分析：借助于中間值1和0，利用各實(shí)數(shù)的范圍可比較大小.詳解：a=2-13(0,1)，b=log213<0,c=log1213=log23>1，c>a>b，故選D.點(diǎn)睛：比較大小常用的方法有：（1）作差法（作商法）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性比較大??；（3）借助中間變量比較大小. 例5.【2018年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】函數(shù)fx=ex+e-xex-e-x，若a=f-12，b=fln2，c=fln13，則有（ ）A. c>b>a B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a【答案】D【解析】分析：首先分離常數(shù)得出fx=1+2e2x-1，可判斷出fx在-,0上單調(diào)遞減，且x>0時(shí)，fx>0，x<0時(shí)，fx<0，從而判斷出 b>0,a,c<0，再根據(jù)fx在-,0上減函數(shù)，判斷出a,c的大小關(guān)系，從而最后得出a,b,c大小關(guān)系.且-lne>-ln3，-12>ln13，fx在-,0上單調(diào)遞減，f-12<fln13，即c>a, b>c>a，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間-,0,0,1,1,+ ）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以?xún)煞N方法綜合應(yīng)用例6.【2018屆天津市十二校二模】已知定義在R上的函數(shù)fx=x+cosx，則三個(gè)數(shù)a=f7log314，b=f17log1295，c=f1，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（ ）A. a>c>b B. a>b>c C. b>c>a D. c>b>a【答案】C由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0<7log314<1,由log1295=-log295<0可得17log1295>1,所以7log314<1<17log1295，根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性可得b>c>a，故選C.例7【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測(cè)】已知fx為定義在 R上的偶函數(shù)，且fx+2=fx，當(dāng)x0,1時(shí)，fx=2x+1，記a=flog0.56,b=flog27,c=f8，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ）A. a<b<c B. a<c<bC. c<b<a D. c<a<b【答案】D【解析】分析：根據(jù)fx的周期性和單調(diào)性進(jìn)行判斷詳解：當(dāng)x0,1時(shí)，fx=2x+1，則fx在0,1上是增函數(shù)，故選D例8.已知函數(shù)，且，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】思路：本題具備同構(gòu)特點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù) 難于分析 單調(diào)性，故無(wú)法比較的大小.換一個(gè)角度，可發(fā)現(xiàn)的圖象可作，且具備幾何含義，即，即與原點(diǎn)連線的斜率.所以作出的圖象，可觀察到圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，與原點(diǎn)連線的斜率越小，所以由可得：答案：B例9.【2018屆內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗二模（420模擬）】已知函數(shù)fx=lnx2+1-x，設(shè)a=flog30.2，b=f3-0.2，c=f-31.1，則（ ）A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b【答案】D【解析】fx=lnx2+1-xf(x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+xf(-x)=ln(x2+1+x)當(dāng)x>0時(shí)，x2+1+x>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<x2+1+x<1當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ln(x2+1-x)=-ln(x2+1-x)=ln(x2+1+x)，f(-x)=ln(x2+1+x)；當(dāng)x<0時(shí)f(x)=ln(x2+1-x)=ln(x2+1-x)；f(-x)=-ln(x2+1+x)=ln(x2+1-x).c>a>b故選D.例10.【2018屆安徽省六安市第一中學(xué)三?！吭O(shè)fx是函數(shù)fxxR的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足xfx-2fx>0，若A、B、C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，則（）A. fsinAsin2B>fsinBsin2A B. fsinAsin2B<fsinBsin2AC. fcosAsin2B>fsinBcos2A D. fcosAsin2B<fsinBcos2A【答案】D【解析】設(shè)h（x）=fxx2，（x0） 則其導(dǎo)數(shù)h（x）=x2fx-2xfxx4=xfx-2fxx3， 又由fx滿(mǎn)足xfx-2fx>0，則有h（x）0， 則函數(shù)fx在（0，+） 上為增函數(shù)，若ABC 是銳角三角形，則有A+B2， 即2A2-B0， 即有sinAcosB 或cosAsinB， 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x）并分析其單調(diào)性【精選精練】1.【2018屆北京市海淀區(qū)二?！恳阎獂>y>0，則( )A. 1x>1y B. (12)x>(12)y C. cosx>cosy D. ln(x+1)>ln(y+1)【答案】D【解析】分析：取x=2，y=1，利用排除法，逐一排除即可的結(jié)果.詳解：因?yàn)閤=2，y=1時(shí)，1x<1y , (12)x<(12)y , cosx<cosy,所以可排除選項(xiàng)A,B,C，故選D.點(diǎn)睛：特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見(jiàn)的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問(wèn)題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問(wèn)題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問(wèn)題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前n 項(xiàng)和公式問(wèn)題等等.2【2018屆貴陽(yáng)第一中學(xué)月考卷（七）】實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0，則下列關(guān)系式成立的是（ ）A. cb>a B. ca>b C. a>cb D. c>ab【答案】A故選A3.【2017年高考山東卷】若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所?，所以選B.4【2018屆廣東省中山市第一中學(xué)高三第一次統(tǒng)測(cè)】實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知， ， ，即， ， ，故選C.5【2018屆福建省龍巖市4月檢查】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)對(duì)于0,+)上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)x1和x2，f(x)都滿(mǎn)足f(x2)-f(x1)x1-x2<0，若a=f(0),b=f(log0.23),c=f(log25)，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ）A. c<b<a B. c<a<b C. a<c<b D. a<b<c【答案】D點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)值的比較大小，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，注重考查了學(xué)生分析維問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.6【2018屆湖北省4月調(diào)研】已知，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：設(shè)，得，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得的大小關(guān)系，又由，即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)，則，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，可化為，即，又，所以，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.7【2018屆浙江省嘉興市4月模擬】已知(2,34) ，a=sin，b=cos，c=tan，那么a,b,c的大小關(guān)系是（ ）A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b【答案】A【解析】此題可采用特值法，(2,34)，故可取=23，此時(shí)a=sin=32，b=cos=-12，c=tan=-3，即a>b>c成立，故選A.8.【2018年4月8日 每周一測(cè)】已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)， ， ，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先判斷出在上為增函數(shù)，由奇偶性可得 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到、的范圍，可比較其大小，利用單調(diào)性可得結(jié)果.由單調(diào)性可得，故選A.9【2018屆福建省閩侯第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)】記A=cos12,B=cos32,C=sin32-sin12, 則A,B,C的大小關(guān)系是（ ）A. A>B>C B. A>C>B C. B>A>C D. C>B>A 【答案】B【解析】A-C=cos12-sin32+sin12=2sin(12+4)-sin32，4<12+4<2，2sin(12+4)>1，2sin(12+4)-sin32>0，即A>C，B-C=cos32-sin32+sin12=sin12-2sin(32-4)，12-32+4=-1+4<0，12<32-4，0<12<2,0<32-4<2，sin12<sin(32-4)<2sin(32-4)，sin12-2sin(32-4)<0，即B<C，綜合知A>C>B.本題選擇B選項(xiàng).10【2018屆湖北省荊州中學(xué)高三第二次月考】已知 ，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】令， ， ，令在R上單調(diào)遞減，所以>,即a>c,又因?yàn)?，在?,1）上單調(diào)遞增，所以,即a<b,所以，選D.11.【2018屆天津市9校聯(lián)考】定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)， ， ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A又，且在上單調(diào)遞增，即故選：A點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來(lái)比較大小12.【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)月考七】已知f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (|<),若f(0)= ,a=f(),b=f(），c=f（），則（ ）A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a【答案】B【解析】 由題意得， 選B