2013年西城一模高三數學試題(文)含答案

文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷數 學（理科） 2013.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D） 2若復數的實部與虛部相等，則實數（A）（B）（C）（D）3執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出，則輸入角 （A）（B）（C）（D）4從甲、乙等名志愿者中選出名，分別從事，四項不同的工作，每人承擔一項若甲、乙二人均不能從事工作，則不同的工作分配方案共有（A）種（B）種（C）種（D）種5某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖是邊長為的正方形，該正三棱柱的表面積是（A）（B）（C）（D）6等比數列中，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7已知函數，其中若對于任意的，都有，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）8如圖，正方體中，為底面上的動點，于，且，則點的軌跡是（A）線段（B）圓弧（C）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9已知曲線的參數方程為（為參數），則曲線的直角坐標方程為 10設等差數列的公差不為，其前項和是若，則_11如圖，正六邊形的邊長為，則_ 12如圖，已知是圓的直徑，在的延長線上，切圓于點，于若，則圓的半徑長為_；_ 13在直角坐標系中，點與點關于原點對稱點在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，則_14記實數中的最大數為，最小數為.設的三邊邊長分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設，則的取值范圍是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數的一個零點是 （）求實數的值； （）設，求的單調遞增區(qū)間 16（本小題滿分13分）某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數如下：現采用分層抽樣的方法（層內采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學進行學業(yè)檢測（）求從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率；（）記為抽取的名同學中男同學的人數，求隨機變量的分布列和數學期望17（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/，（）求證：平面；（）求與平面所成角的正弦值；（）線段上是否存在點，使平面平面？證明你的結論18（本小題滿分13分）已知函數，其中（）求的極值；（）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調性，求的取值范圍19（本小題滿分14分）如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點當直線經過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為 （）求該橢圓的離心率；（）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點記的面積為，（為原點）的面積為，求的取值范圍20（本小題滿分13分）已知集合 對于，定義；與之間的距離為（）當時，設，若，求；（）（）證明：若，且，使，則； （）設，且是否一定，使？說明理由；（）記若，且，求的最大值北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 高三數學（理科）參考答案及評分標準 2013.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6B； 7D； 8A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10； 11 12，； 13； 14，注：12、14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分） （）解：依題意，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 7分 8分 9分 10分由 ，得 ， 12分所以 的單調遞增區(qū)間為， 13分16（本小題滿分13分）（）解：依題意，甲、乙兩組的學生人數之比為 ， 1分所以，從甲組抽取的學生人數為；從乙組抽取的學生人數為2分設“從甲組抽取的同學中恰有名女同學”為事件， 3分則 ，故從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率為 5分（）解：隨機變量的所有取值為 6分， ， 10分所以，隨機變量的分布列為: 11分 13分17（本小題滿分14分）（）證明：因為，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因為 ， 所以平面 4分（）解：因為平面，所以因為，所以平面 5分所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標系 6分在等腰梯形中，可得 設，所以所以 ，設平面的法向量為，則有所以 取，得 8分設與平面所成的角為，則 ，所以 與平面所成角的正弦值為 9分（）解：線段上不存在點，使平面平面證明如下： 10分假設線段上存在點，設 ，所以 設平面的法向量為，則有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程無解所以線段上不存在點，使平面平面 14分18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域為， 1分且 2分 當時，故在上單調遞減 從而沒有極大值，也沒有極小值 3分 當時，令，得 和的情況如下：故的單調減區(qū)間為；單調增區(qū)間為從而的極小值為；沒有極大值 5分（）解：的定義域為，且 6分 當時，顯然 ，從而在上單調遞增 由（）得，此時在上單調遞增，符合題意 8分 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意9分 當時，令，得和的情況如下表：當時，此時在上單調遞增，由于在上單調遞減，不合題意 11分當時，此時在上單調遞減，由于在上單調遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）（）解：依題意，當直線經過橢圓的頂點時，其傾斜角為 1分設 ，則 2分將 代入 ，解得 3分所以橢圓的離心率為 4分（）解：由（），橢圓的方程可設為 5分設，依題意，直線不能與軸垂直，故設直線的方程為，將其代入，整理得 7分則 ， 8分因為 ，所以 ， 9分因為 ，所以 11分 13分所以的取值范圍是 14分20（本小題滿分13分）（）解：當時，由，得 ，即 由 ，得 ，或 3分（）（）證明：設，因為 ，使 ，所以 ，使得 ，即 ，使得 ，其中所以 與同為非負數或同為負數 5分 所以 6分（）解：設，且，此時不一定，使得 7分反例如下：取，則 ，顯然因為，所以不存在，使得 8分（）解法一：因為 ， 設中有項為非負數，項為負數不妨設時；時，所以 因為 ，所以 ， 整理得 所以 10分因為 ；又 ，所以 即 12分對于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分解法二：首先證明如下引理：設，則有 證明：因為 ，所以 ，即 所以 11分 上式等號成立的條件為，或，所以 12分 對于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分14 / 14