屈婉玲版離散數(shù)學課后習題答案4

第十章部分課后習題參考答案4.判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉：(1)整數(shù)集合Z和普通的減法運算。封閉，不滿足交換律和結合律，無零元和單位元(2)非零整數(shù)集合力和普通的除法運算。不封閉(3)全體nn實矩陣集合(R)和矩陣加法及乘法運算，其中啟2。封閉均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律；加法單位元是零矩陣，無零元；乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；(4)全體nn實可逆矩陣集合關于矩陣加法及乘法運算，其中e2。不封閉(5)正實數(shù)集合R-和0運算，其中0運算定義為：爐工b三R-,=at-ab不封閉因為1111111R(6)n曰Z+nZ=nzIzE©eZ關于普通的加法和乘法運算。封閉，均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律加法單位元是0,無零元；乘法無單位元(n1),零元是0;n1單位元是1A=3冏，自n三2匚運算定義如下：va,bEA,a=b=t封閉不滿足交換律，滿足結合律，(8) S=(雹-1|星史Z+關于普通的加法和乘法運算。封閉均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律(9) S=0,1,S是關于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結合律(10) S=x|x=卅,S關于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結合律5.對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結合律，分配律。見上題7.設*為Z上的二元運算x,yZX*Y=min(ky)，即x和y之中較小的數(shù).(1)求4*6,7*3。4.3(2)*在Z上是否適合交換律，結合律，和幕等律滿足交換律，結合律，和幕等律(3)求*運算的單位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。單位元無，零元1,所有元素無逆元8.SQQQ為有理數(shù)集，*為$上的二元運算，B<a,b>,<x,y>S有<a,b>*<x,y>=<axay+b>(1) *運算在S上是否可交換，可結合是否為幕等的不可交換：<x,y>*<a,b>=<xaxb+y><a,b>*<x,y>可結合：(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<ax,ay+b>*<c,d>=<axcaxd+(ay+b)><a,b>*(<x,y>*<c,d>)=<a,b>*<xc,xd+y>=<axca(xd+y)+b>(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<a,b>*(<x,y>*<c,d>)不是幕等的(2) *運算是否有單位元，零元如果有請指出，并求S中所有可逆元素的逆元設<a,b>1l單位元，爐<x,y>£S,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<x,y>貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>解的<a,b>=<1,0>,即為單位。設<a,b>ll零元，v<x,y>cS,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<a,b>貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>無解。即無零元。r<x,y>三S,設<a,b>1l它的逆元<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以當x 0時,x,y(a)交換律，結合律，幕等律都滿足，零元為a,沒有單位元；(b)滿足交換律和結合律，不滿足幕等律，單位元為a,沒有零元a1a,b1b滿足交換律，不滿足幕等律，不滿足結合律a(bb)aab,(ab)babaa(bb)(ab)b沒有單位元，沒有零元(d)不滿足交換律，滿足結合律和幕等律沒有單位元，沒有零元(2)求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。見上16.設V=N,+,->,其中+,分別代表普通加法與乘法，對下面給定的每個集合確定它是否構成V的子代數(shù)，為什么(1)Si=2n|nEZJ是(2)與=加+不是加法不封閉(3)及=-1,0,1不是，加法不封閉第十一章部分課后習題參考答案8.設 S=0, 1, 2, 3,為模4乘法，即"x,yCS,x®y=(xy)mod4問S,I8是否構成群為什么解：(1)x,yS,x0y=(xy)mod4S向是S上的代數(shù)運算。x,y,zCS設xy=4k+r0r3(x二.y)：-.z=(xy)mod4)二；,=-z=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=(4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(y,z)=(xyz)mod4所以，(x-二y)"z=x4(y=z),結合律成立。(3) xS,(x31)=(1®x)=x所以1是單位元。(4)111,313,0和2沒有逆元所以，S,吁不構成群9.設Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運算。如下："x,y6Z,xoy=x+y-2問Z關于o運算能否構成群為什么解：(1)x,yZ,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代數(shù)運算。x,y,zZ,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)結合律成立。(3)設e是單位元，xZ,xoe=eox=x1Px+e-2=e+x-2=x,e=2(4) xZ,設x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，x1y4x所以Z,o構成群10101010,一11.設G=,，證明G關于矩陣乘法構成一個群.01010101解：(1)x,yG,易知xyCG乘法是Z上的代數(shù)運算。(2)矩陣乘法滿足結合律1 0設'0是單位元，01(4)每個矩陣的逆元都是自己。所以G關于矩陣乘法構成一個群14 .設G為群，且存在aCG,使得G=OkIkCZ證明：G是交換群。證明：x,yCG,設xak,yal,xyakalaklalkalakyx所以，G是交換群17 .設G為群，證明e為G中唯一的幕等元。證明:設e0G也是號等兀，則e0e0,即e°eOe,由消去律知eoe18 .設G為群，a,b,cCG,證明IabcI=IbcaI=IcabI證明：先證設(abc)ke(bca)ke設(abc)ke,則(abc)(abc)(abc)(abc)e，即a(bca)(bca)(bca)(bca)a1e左邊同乘a1,右邊同乘a得k1(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)aeae反過來，設(bac)ke,則(abc)ke.由元素階的定義知，IabcI=IbcaI,同理IbcaI=IcabI19 .證明：偶數(shù)階群G必含2階元。證明：設群G不含2階元，aG,當ae時，a是一階元，當ae時，a至少是3階元,因為群G時有限階的，所以a是有限階的，設a是k階的，則a1也是k階的，所以高于3階的元成對出現(xiàn)的,G不含2階元，G含唯一的1階元e，這與群G是偶數(shù)階的矛盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元20 .設G為非Abel群，證明G中存在非單位元a和b,awb,ab=ba.證明：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元，則G=e,G為Abel群矛盾；若G除了1階元e外,其余元a均為2階元，則a2e，a1aa,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba,與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設為a，則aa2，且a2aaa2。令ba2的證。21 .設G是Mn(R)h的加法群，nZ判斷下述子集是否構成子群。( 1)全體對稱矩陣是子群( 2)全體對角矩陣是子群( 3)全體行列式大于等于0的矩陣.不是子群( 4)全體上(下)三角矩陣。是子群22.設G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N(a)表示G中與a可交換的元素構成的集合，即N(a)=xIxGAxa=ax證明N(a)構成G的子群。證明：ea=ae,eN(a)x,yN(a),則axxa,ayyaa(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a)由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax1，即x1aax1，所以x1N(a)所以N(a)構成G的子群31.設1是群G1到G2的同態(tài)，2是G2到G3的同態(tài)，證明12是G1到G3的同態(tài)。證明：有已知1是Gi到G2的函數(shù)，2是G2到G3的函數(shù)，則1-2是G到Q的函數(shù)。a,bG1,(12)(ab)2(1(ab)2(1(a)1(b)(2(1(a)(2(1(b)(12)(a)(12)(b)所以：1,2是G1到G3的同態(tài)。33.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結論。證明：設G是循環(huán)群，令G=<a>,x,yG,令xak,yal,那么xyakalaklalkalakyx,G是阿貝爾群克萊因四元群,Ge,a,b,cabcabcecbceabae是交換群，但不是循環(huán)群，因為e是一階元，a,b,c是二階元36.設,是5元置換，且12345123452145334512計算，1,1,1；將，1,1表示成不交的輪換之積。(3)將(2)中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換解：11 2 3 4 52 15 3 41(1425)(3) (14)(12)(15)1 _-(14)(12)(15)(13)12345112345431254512311234554132-一1一-(14253)(143)(25)奇置換，偶置換(14)(13)(25)奇置換