2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)二教案 北師大選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)二教案 北師大選修1-1 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．拋物線定義： 圖形 方程 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即 不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，為一次項(xiàng)，為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱時(shí)，為二次項(xiàng)，為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為 （2）開口方向在軸（或軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開口在軸（或軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在軸（或軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào) 二、講解新課： 拋物線的幾何性質(zhì) 1．范圍 因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸． 2．對(duì)稱性 以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸． 3．頂點(diǎn) 拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)． 4．離心率 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1． 對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) 對(duì)稱軸 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 離心率 軸 軸 軸 軸 注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線 通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線在這一點(diǎn)的切線斜率接近于對(duì)稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對(duì)稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率 附：拋物線不存在漸近線的證明．（反證法） 假設(shè)拋物線y2＝2px存在漸近線y＝mx＋n，A（x，y）為拋物線上一點(diǎn)， A0（x，y1）為漸近線上與A橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)如圖， 則有和y1＝mx＋n． ∴ 當(dāng)m≠0時(shí)，若x→＋∞，則 當(dāng)m＝0時(shí)，，當(dāng)x→＋∞，則 這與y＝mx＋n是拋物線y2＝2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線 三、講解范例： 例1 已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形． 分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p． 解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^點(diǎn)， 所以 ，即 因此，所求的拋物線方程為． 將已知方程變形為，根據(jù)計(jì)算拋物線在的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得 x 0 1 2 3 4 … y 0 2 2.8 3.5 4 … 描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分 點(diǎn)評(píng)：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線． 例2 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置． 分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值． 解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑． 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (p＞0)． 由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得， 即 所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為． 例3 過拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)， 求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切． 分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡捷． 證明：如圖．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則 ｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜ 所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線相切． 四、課堂練習(xí)： 1．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（ B ） （A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（ B ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長分別是、，則=（ C ） （A） （B） （C） （D） 4．過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ______ (答案： ) 5.定長為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo) （答案： , M到軸距離的最小值為） 五、小結(jié) ：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線、中心等 六、課后作業(yè)： 1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖． （1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8． （2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過P（4，2）點(diǎn)． （3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5． 2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于　　　　　　　 3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程． 4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長． 5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬是多少米？ 習(xí)題答案： 1．（1）y2＝32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y 2．90 3．x2＝16 y 4． 5．米 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：