（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 備考技法 專題三 9大板塊知識(shí)系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎(chǔ)講義 理（普通生含解析）.doc

備考技法專題三 9 大板塊知識(shí)系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎(chǔ) 板塊(一)　集合與常用邏輯用語 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．集合運(yùn)算的重要結(jié)論 (1)A∩B?A，A∩B?B； A＝A∩A，A?A∪B，B?A∪B； A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A； A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A. (2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B. (3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A. 2．特稱命題真假的判斷 (1)要判斷特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是真命題，只需找到集合M中的一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可． (2)要判定一個(gè)特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是假命題，需驗(yàn)證p(x)對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x都不成立． 3．充分條件與必要條件的重要結(jié)論 (1)如果p?q，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件． (2)如果p?q，且q?p，那么p是q的充要條件． (3)如果p?q，但qp，那么p是q的充分不必要條件． (4)如果q?p，且pq，那么p是q的必要不充分條件． (5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要條件． (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．遇到A∩B＝?時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應(yīng)用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時(shí)，不要忽略A＝?的情況． 2．“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結(jié)論． 3．要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝(　　) A．{1}　　　　　　　　 　B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 解析：選C　由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}． 2．(2018南昌調(diào)研)已知m，n為兩個(gè)非零向量，則“mn＜0”是“m與n的夾角為鈍角”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　設(shè)m，n的夾角為θ，若m，n的夾角為鈍角，則＜θ＜π，則cos θ＜0，則mn＜0成立；當(dāng)θ＝π時(shí)，mn＝－|m||n|＜0成立，但m，n的夾角不為鈍角．故“mn＜0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選B. 3．已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1,2,5}，B＝{2,4}，則圖中陰影部分所表示的集合為(　　) A．{2} B．{1,3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．(－∞，1]∪[5，＋∞) 解析：選B　因?yàn)閁＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．因?yàn)锳＝{1,2,5}，B＝{2,4}，所以A∩B＝{2}，由圖可知，陰影部分所表示的集合為?U(A∩B)＝{1,3,4,5}，故選B. 4．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①?m0∈A，m0?B；②?m0∈B，m0?A；③?m∈A，m∈B；④?m∈B，m∈A. A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選C　因?yàn)锳＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因?yàn)锽＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④為真命題，②③為假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)是2，故選C. 板塊(二)　函數(shù)與導(dǎo)數(shù) (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．基本導(dǎo)數(shù)公式 (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex； (logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝. 2．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論 (1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)則為增(減)函數(shù)． (2)奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性． (3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． (4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)． (5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0. 3．抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，T＝2a. ②若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ③若滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. (2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a 對(duì)稱． ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱． ③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱． 4．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論 (1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個(gè)單位(c＞0時(shí)向左移，c＜0時(shí)向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))． (2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個(gè)單位(b＞0時(shí)向上移，b＜0時(shí)向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))． 5．函數(shù)圖象伸縮變換的相關(guān)結(jié)論 (1)把y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(a＞1)或縮短(0＜a＜1)到原來的a倍，而橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝af(x)(a＞0)的圖象． (2)把y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0＜b＜1)或縮短(b＞1)到原來的倍，而縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝f(bx)(b＞0)的圖象． (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 2．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． 3．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)． 4．不能準(zhǔn)確理解導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(diǎn)(x0，f(x0))既在切線上，又在函數(shù)圖象上，而導(dǎo)致某些求導(dǎo)數(shù)的問題不能正確解出． 5．易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯(cuò)以為f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有極值的充分條件． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝a2＋1，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．－1　　　　　　　 　B．2 C．3 D．－1或3 解析：選D　由題意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3，故選D. 2．(2018益陽、湘潭調(diào)研)函數(shù)f(x)＝的圖象大致是(　　) 解析：選B　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝＞0，排除D；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＝＜0，排除A、C.故選B. 3．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．(－1,3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 B．(3,5)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值 D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值 解析：選C　由函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x＜－1或3＜x＜5時(shí)，f′(x)＜0，y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞5或－1＜x＜3時(shí)，f′(x)＞0，y＝f(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3,5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,3)，(5，＋∞)．函數(shù)y＝f(x)在x＝－1,5處取得極小值，在x＝3處取得極大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤． 4．(2018武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2－x＋x2，則f(2)＝________. 解析：法一：∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8. 法二：當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0， ∴f(－x)＝2－(－x)＋(－x)2＝2x＋x2， 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2， ∴f(2)＝－22－22＝－8. 答案：－8 5．(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)＝5－mx，則g(x)恒過點(diǎn)(0,5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并數(shù)形結(jié)合得－≤－m≤0，解得0≤m≤. 答案： 板塊(三)　不 等 式 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 2．基本不等式的重要結(jié)論 (1)≥(a＞0，b＞0)． (2)ab≤2(a，b∈R)． (3) ≥≥(a＞0，b＞0)． 3．利用基本不等式求最值 (1)對(duì)于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2. (2)對(duì)于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值s2. 4．線性規(guī)劃中的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)點(diǎn)M(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)?Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)． (2)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在直線l：Ax＋By＋C＝0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)． (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò)． 2．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯(cuò)解，如函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)的最值時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解． 3．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．在R上定義運(yùn)算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，則a＋b＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 　B．2 C．4 D．8 解析：選C　由題知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4. 2．已知變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為(　　) A．2 B．11 C．16 D．18 解析：選C　作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，其中A(1,1)，B(8,8)，C.分析知當(dāng)直線z＝3x－y經(jīng)過點(diǎn)B(8,8)時(shí)，z取得最大值，且zmax＝38－8＝16，故選C. 3．已知點(diǎn)C在直線AB上，且平面內(nèi)的任意一點(diǎn)O，滿足＝x＋y，x＞0，y＞0，則＋的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B　∵點(diǎn)C在直線AB上，故存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，故選B. 4．若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立． 令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－22x＋1－1＝(2x－1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4. 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)2x＝2，即x＝1時(shí)，y有最小值0. ∴a的取值范圍為(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 板塊(四)　三角函數(shù)與平面向量 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．由sin αcos α符號(hào)判斷α的位置 (1)sin α－cos α＞0?α終邊在直線y＝x上方(特殊地，當(dāng)α在第二象限時(shí)有 sin α－cos α＞1)； (2)sin α＋cos α＞0?α終邊在直線y＝－x上方(特殊地，當(dāng)α在第一象限時(shí)有sin α＋cos α>1)． 2．三點(diǎn)共線的判定 A，B，C三點(diǎn)共線?，共線； 向量， ，中三終點(diǎn)A，B，C共線?存在實(shí)數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. 3．中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo) (1)P1，P2的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)， ＝?P為P1P2的中點(diǎn)，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)三角形的重心坐標(biāo)公式：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)是. 4．三角形“四心”向量形式的充要條件 設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?＝＝. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略x的取值范圍． 2．求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意ω，A的符號(hào)．ω<0時(shí)，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解；在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能弧度和角度混用，需加2kπ時(shí)，不要忘掉k∈Z，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間． 3．對(duì)三角函數(shù)的給值求角問題，應(yīng)選擇該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，這樣，由三角函數(shù)值才可以唯一確定角，若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好． 4．利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)討論，可能有一解、兩解或無解．在 △ABC中，A>B?sin A>sin B. 5．當(dāng)ab＝0時(shí)，不一定得到a⊥b，當(dāng)a⊥b時(shí)，ab＝0；ab＝cb，不能得到a＝c，消去律不成立；(ab)c與a(bc)不一定相等；(ab)c與c平行，而a(bc)與a平行． 6．兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價(jià)． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析：選D　由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D. 2．(2018湖北八校聯(lián)考)已知sin(π＋α)＝－，則tan的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．2 解析：選D　∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，則cos α＝， ∴tan＝＝＝2. 3．(2018鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝ cos－cos 2x，若要得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)f(x)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度 解析：選C　f(x)＝ cos－cos 2x＝ cos－cos 2x＝sin 2x－ cos 2x＝2sin ＝2sin ，所以將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到奇函數(shù)y＝2sin 2x的圖象．故選C. 4．已知△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c，若a＝2，sin C＝ 2sin B且sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B，則c的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B可化為sin Acos B＋sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B，即sin＝，∴A＝，又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即cos B＋sin B＝2sin B，則tan B＝，B＝，則C＝，c＝＝，故選D. 5．(2018西安八校聯(lián)考)在△ABC中，已知＝，||＝3，||＝3，M，N分別是BC邊上的三等分點(diǎn)，則的值是(　　) A. B. C．6 D．7 解析：選B　不妨設(shè)＝＋，＝＋，所以＝＝2＋＋2＝(2＋2)＋ ＝(32＋32)＋＝，故選B. 6．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，c＝(7,1)，若a∥b，則bc＝________. 解析：∵向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，a∥b，∴－m－22＝0，解得m＝－4， ∴b＝(2，－4)，∵c＝(7,1)，∴bc＝27－41＝10. 答案：10 板塊(五)　數(shù)　列 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列． (4)＝n＋是關(guān)于n的一次函數(shù)或常函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列． (5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. 2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n?apaq＝aman. (2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列． (3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)． (4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則＝q. (5)等比數(shù)列前n項(xiàng)和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②＝(q≠1)． (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1. 2．易忽視等比數(shù)列中公比q≠0，導(dǎo)致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同造成增解． 3．運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，易忘記分類討論．一定分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論． 4．對(duì)于通項(xiàng)公式中含有(－1)n的一類數(shù)列，在求Sn時(shí)，切莫忘記討論n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通項(xiàng)公式，要注意分n的奇偶性討論． 5．求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的條件． 6．利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＋a3＝6，則S4的值為(　　) A．12　　　　　　　　　　 　B．11 C．10 D．9 解析：選A　由題意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12. 2．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D　設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2,3,4項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1a1qa1q2a1q3＝?aq3＝，兩式相除得 ＝＋＋＋＝2. 3．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝3，則＝(　　) A．2 B. C. D．1或2 解析：選B　設(shè)S2＝k，則S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故選B. 4．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2＋a5＝4，則a8＝________. 解析：因?yàn)镾3，S9，S6成等差數(shù)列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2＝4，解得a2＝8，故a8＝8＝2. 答案：2 板塊(六)　立體幾何 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐． (2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐． (3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐． (4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱． (5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱． 2．長方體的對(duì)角線與共點(diǎn)三條棱之間的長度關(guān)系d2＝a2＋b2＋c2；長方體外接球半徑為R時(shí)有(2R)2＝a2＋b2＋c2. 3．棱長為a的正四面體內(nèi)切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a. (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． 2．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件． 3．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系． 4．幾種角的范圍： 兩條異面直線所成的角0<α≤90； 直線與平面所成的角0≤α≤90； 二面角0≤α≤180； 兩條相交直線所成的角(夾角)0<α≤90； 直線的傾斜角0≤α<180； 兩個(gè)向量的夾角0≤α≤180； 銳角0<α<90. 5．空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯(cuò)． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的正視圖是邊長為1的正方形，俯視圖是邊長為1的正三角形，點(diǎn)P是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)(異于A1，B1)，則該三棱柱的側(cè)視圖是(　　) 解析：選C　由正視圖與俯視圖知，A1B1垂直于投影面，且側(cè)視圖為長方形，PC的投影線為虛線，故選C. 2．(2018安徽知名示范高中聯(lián)考)已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積的比是(　　) A．6∶5　　　　　　　　　 　B．5∶4 C．4∶3 D．3∶2 解析：選D　設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，設(shè)圓柱的表面積和球的表面積分別為S1，S2，則S1＝2πR2＋2πR2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝. 3．(2018西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C．2＋ D．4＋ 解析：選B　由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球與一個(gè)底面半徑為1，高為2的半圓柱組合而成的組合體，故其體積V＝π13＋π122＝π. 4．(2018惠州調(diào)研)設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個(gè)平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①若l⊥α，則l與α相交； ②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α； ③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α； ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　對(duì)于①，若l⊥α，則l與α不可能平行，l也不可能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對(duì)于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確．選C. 5．已知三棱柱ABCA1B1C1的三視圖如圖所示，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為________． 解析：把三視圖還原成直觀圖如圖1中三棱柱ABCA1B1C1所示，三棱柱底面為直角三角形，將三棱柱側(cè)面沿AA1剪開，展成如圖2所示的矩形A1AA′A′1，連接AA′1，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A1的路線為展開圖中的線段AA′1時(shí)，繞行的路線最短，由三視圖得AA1＝5，AA′＝12，所以AA′1＝13. 答案：13 6.底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S ABCD，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為________． 解析：設(shè)所給半球的半徑為R，則四棱錐的高h(yuǎn)＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，則R3＝2，于是所求半球的體積為V＝πR3＝π. 答案：π 板塊(七)　解析幾何 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．直線與圓位置關(guān)系的判定方法 (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切． (2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r?相交，d>r?相離，d＝r?相切(主要掌握幾何方法)． 2．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y軸上截距不相等)； (2)相交?A1B2－A2B1≠0； (3)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. 3．若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則該點(diǎn)的切線方程為：x0x＋y0y＝r2. 4．通徑： (1)橢圓通徑長為； (2)雙曲線通徑長為； (3)拋物線通徑長為2p. 5．拋物線焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論： 設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則 (1)焦半徑|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)x1x2＝，y1y2＝－p2. (3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)＋＝. (5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (6)S△OAB＝(O為拋物線的頂點(diǎn))． (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò)． 2．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等． 3．討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時(shí)，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0. 4．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，易誤把r2當(dāng)成r；圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件． 5．易誤認(rèn)為兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解． 6．利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． 7．已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．已知圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax＋by－2＝0對(duì)稱，則ab的取值范圍是(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：選A　將圓的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對(duì)稱，即圓心(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，選A. 2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為(　　) A． B．1 C． D． 解析：選A　設(shè)M(x0，y0)，易知焦點(diǎn)F，由拋物線的定義得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2pp＝3p2，解得y0＝p，故直線MF的斜率k＝＝，選A. 3．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，M是雙曲線與橢圓＋＝1的一個(gè)公共點(diǎn)，則△MF1F2的面積等于(　　) A．2　　　　　　　　 　B．4 C．6 D．8 解析：選B　法一：由得不妨設(shè)點(diǎn)M是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，則有M，點(diǎn)M到x軸的距離為，由已知可得|F1F2|＝2c＝2，故△MF1F2的面積等于2＝4，故選B. 法二：依題意可得雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，假設(shè)點(diǎn)M是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，則有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F1F2|2，故△MF1F2是直角三角形，其面積為42＝4.故選B. 4．(2018福州期末)已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2都在x軸上，對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，離心率為.若點(diǎn)M在C上，且MF1⊥MF2，M到原點(diǎn)的距離為，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D．y2－＝1 解析：選C　由題意可知，OM為Rt△MF1F2斜邊上的中線，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原點(diǎn)的距離為，得c＝，又e＝＝，所以a＝1， 所以b2＝c2－a2＝3－1＝2. 故雙曲線C的方程為x2－＝1. 5．(2018合肥質(zhì)檢)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦長為2，則該雙曲線的離心率等于________． 解析：不妨取雙曲線－＝1的一條漸近線方程為bx－ay＝0，圓x2＋y2－6x＋5＝0的圓心為(3,0)，半徑為2，∴圓心(3,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝，又d＝＝， ∴＝，化簡得a2＝2b2，∴該雙曲線的離心率e＝＝＝＝. 答案： 6．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60，則橢圓的離心率為________． 解析：如圖所示，令|PF1|＝1， 在Rt△PF1F2中，由∠F1PF2＝60，可知|PF2|＝2，|F1F2|＝，由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3,2c＝，所以e＝＝. 答案： 板塊(八)　概率與統(tǒng)計(jì) (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．直方圖的三個(gè)結(jié)論 (1)小長方形的面積＝組距＝頻率． (2)各小長方形的面積之和等于1. (3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. 2．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過樣本點(diǎn)的中心(，)． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用隨機(jī)變量K2＝來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．如果K2的觀測值k越大，說明“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的這種判斷犯錯(cuò)誤的可能性越小． 4．二項(xiàng)式定理 (1)各二項(xiàng)式系數(shù)之和： ①C＋C＋C＋…＋C＝2n. ②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. (2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： ①C＝C，C＋C＝C. ②二項(xiàng)式系數(shù)最值問題： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)即第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) 即第，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C，C相等且最大． (3)求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中xk項(xiàng)(或系數(shù))，要用系數(shù)配對(duì)． 5．八組公式 (1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)均值公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)均值的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np； ③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，標(biāo)準(zhǔn)差. (5)方差的性質(zhì) ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)； ③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)． (6)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k. (8)條件概率公式 P(B|A)＝. (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件． 3．二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分．還要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)明確二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)的不同． 4．要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生． (2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．(2018武漢調(diào)研)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有C種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為＝.故選C. 2．(2018重慶調(diào)研)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝kx，其中k為[－，]上的任意一個(gè)數(shù)，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，圓心C到直線l的距離d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1<k≤，故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P＝＝，故選D. 3．(2018合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有(　　) 附：若X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5. A．3 413件 B．4 772件 C．6 826件 D．8 186件 解析：選D　由題意知μ＝100，σ＝2，則P(98<X<104)＝[P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈0.818 6，所以質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有10 0000.818 6＝8 186件． 4．(2018廣州高中綜合測試)已知n的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于128，那么其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是(　　) A．－84 B．－14 C．14 D．84 解析：選A　由二項(xiàng)式系數(shù)之和等于128，得2n＝128，解得n＝7.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(2x2)7－rr＝27－r(－1)rCx14－3r，令14－3r＝－1，得r＝5，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為27－5(－1)5C＝－84，選A. 5．某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由表可得回歸直線方程＝x＋中的＝－5，據(jù)此模型預(yù)測零售價(jià)為20.5元時(shí)，每天的銷售量為________個(gè)． 解析：因?yàn)椋剑?x＋，且＝17.5，＝39，所以39＝－517.5＋，所以＝126.5，把x＝20.5代入回歸方程＝－5x＋126.5中，得＝－520.5＋126.5＝24. 答案：24 6．(2018武漢調(diào)研)從某選手的7個(gè)得分中去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分后，剩余5個(gè)得分的平均數(shù)為91分，如圖所示是該選手得分的莖葉圖，其中有一個(gè)數(shù)字模糊，無法辨認(rèn)，在圖中用x表示，則剩余5個(gè)得分的方差為________. 解析：去掉一個(gè)最高分99分，一個(gè)最低分87分，剩余的得分為93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，則＝91，解得x＝4，所以這5個(gè)數(shù)的方差s2＝ [(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6. 答案：6 板塊(九)　復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 (一)巧用解題結(jié)論，考場快速搶分 1．復(fù)數(shù)的幾個(gè)常見結(jié)論 (1)(1i)2＝2i； (2)＝i，＝－i； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)； (4)若ω＝－i，則ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．關(guān)于復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì) (1)|z1z2|＝|z1||z2|； (2)|z|n＝|zn|； (3)＝. (二)明辨易錯(cuò)易混，謹(jǐn)防無謂失分 1．復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．還要注意巧妙運(yùn)用參數(shù)問題和合理消參的技巧． 2．類比推理易盲目機(jī)械類比，不要被表面的假象(某一點(diǎn)表面相似)迷惑，應(yīng)從本質(zhì)上類比． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，易盲目認(rèn)為n0的起始取值n0＝1，另外注意證明傳遞性時(shí)，必須用n＝k成立的歸納假設(shè)． 4．在解決含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖時(shí)，要弄清停止循環(huán)的條件．注意理解循環(huán)條件中“≥”與“>”的區(qū)別． (三)演練經(jīng)典小題，做好考前熱身 1．(2018太原模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則z的共軛復(fù)數(shù)為(　　) A．i　　　　　　　　 　B．－i C．2i D．－2i 解析：選A　∵＝i，∴z＝＝＝－i，∴＝i. 2．(2018石家莊模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a的值為1，則輸出的k的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　開始，k＝0，a＝1，所以b＝1；第一次循環(huán)，a＝－＝－，此時(shí)a≠b；第二次循環(huán)，k＝2，a＝－＝－2，此時(shí)a≠b；第三次循環(huán)，k＝4，a＝ －＝1，此時(shí)a＝b，結(jié)束循環(huán)，輸出k的值為4，故選D. 3．(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是(　　) A．(30,42] B．(30,42) C．(42,56] D．(42,56) 解析：選A　k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此時(shí)不滿足S＝42<m，退出循環(huán)，所以30<m≤42，故選A. 4．中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外．”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表： 表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推，例如6 613用算籌表示就是：，則5 288用算籌式可表示為(　　) 解析：選C　根據(jù)題意知，5 288用算籌表示，從左到右依次是橫式的5，縱式的2，橫式的8，縱式的8，故選C. 附：4套“12＋4”限時(shí)提速練 “12＋4”限時(shí)提速練(一) (滿分80分，限時(shí)45分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．已知N是自然數(shù)集，設(shè)集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，則A∩B＝(　　) A．{0,2}　　　　　　　　　 　B．{0,1,2} C．{2,3} D．{0,2,4} 解析：選B　∵∈N，∴x＋1應(yīng)為6的正約數(shù)，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故選B. 2．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 解析：選C　因?yàn)?1＋i)z＝2i， 所以z＝＝＝1＋i. 3．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－3 解析：選A　因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b， 所以2m＝m＋1，解得m＝1. 4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，則m＝(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：選B　由題意可得，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，又am＝aq6＝210，所以m＝10. 5．已知圓C的圓心在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(6,0)及橢圓＋＝1的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－2)2＋y2＝16 B．x2＋(y－6)2＝72 C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 解析：選C　由題意得圓C經(jīng)過點(diǎn)(0，2)， 設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2， 由a2＋4＝r2，(6－a)2＝r2， 解得a＝，r2＝， 所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝. 6．若n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為243，則n的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 解析：選C　令x＝1，y＝－1，得3n＝243，故n＝5，所以T3＝Cx32＝40x3y－2，故選C. 7．某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是一個(gè)圓，其內(nèi)有一個(gè)邊長為的正方形，正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，它們的底邊長和圓的直徑相等，它們的內(nèi)接矩形的長和圓內(nèi)正方形的對(duì)角線長相等，寬和正方形的邊長相等，則俯視圖中圓的半徑是(　　) A．2 B．2 C．3 D.＋1 解析：選D　因?yàn)檎叫蔚倪呴L為， 所以正方形的對(duì)角線長為2， 設(shè)俯視圖中圓的半徑為R， 如圖，可得R＝＋1. 8．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”設(shè)每層外周枚數(shù)為a，如圖是解決該問題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為(　　) A．121 B．81 C．74 D．49 解析：選B　第一次循環(huán)：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循環(huán)：S＝9，n＝3，a＝16；第三次循環(huán)：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循環(huán)：S＝49，n＝5，a＝32；第五次循環(huán)：S＝81，n＝6，a＝40，不滿足a≤32，退出循環(huán)，輸出S的值為81. 9.函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|≤的部分圖象如圖所示，且f(a)＝f(b)＝0，對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，則(　　) A．f(x)在上是減函數(shù) B．f(x)在上是增函數(shù) C．f(x)在上是減函數(shù) D．f(x)在上是增函數(shù) 解析：選B　由題圖知A＝2，設(shè)m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，則f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)B正確． 10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積為36，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱B1B，C1C上的點(diǎn)(異于端點(diǎn))，且EF∥BC，則四棱錐A1AEFD的體積為(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：選D　連接AF，易知四棱錐A1AEFD的體積為三棱錐FA1AD和三棱錐FA1AE的體積之和．設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則VFA1AD＝aha＝a2h，VFA1AE＝aha＝a2h，所以四棱錐A1AEFD的體積為a2h，又a2h＝36，所以四棱錐A1AEFD的體積為12. 11．函數(shù)f(x)＝(2x2＋3x)ex的圖象大致是(　　) 解析：選A　由f(x)的解析式知，f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)x＝－與x＝0，排除B、D；又f′(x)＝(2x2＋7x＋3)ex，由f′(x)＝0知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，排除C，故選A. 12．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x與g(x)＝ax2＋ax－1(a＞0)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)T(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－ax2－ax＋1，由題意知，當(dāng)x＞0時(shí)，T(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)＝(x＋1)(1－ax)． 因?yàn)閍＞0，x＞0， 所以T(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，如圖， 當(dāng)x→0時(shí)，T(x)→－∞，x→＋∞時(shí)，T(x)→－∞， 所以T＝0，即ln ＋－－1＋1＝0， 所以ln＋＝0. 因?yàn)閥＝ln ＋在x＞0上單調(diào)遞減， 所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)a＝時(shí)，ln＋>0， 當(dāng)a＝1時(shí)，ln ＋＝＞0， 當(dāng)a＝時(shí)，ln＋＜0， 當(dāng)a＝2時(shí)，ln ＋＜0，所以a∈. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則常數(shù)a＝______