高中數(shù)學 第一講 線性變換與二階矩陣（二）一些重要線性變換對單位正方形區(qū)域的作用課件 新人教A版選修42

： 一一. 集合與映射集合與映射1.集合集合集合集合：作為整體看的一堆東西：作為整體看的一堆東西.集合的元素集合的元素：組成集合的事物：組成集合的事物. 設設S表示集合，表示集合，a表示表示S的元素，記為的元素，記為aS讀為讀為a屬于屬于S；用記號；用記號 a S 表示表示a 不屬于不屬于S. 集合的表示：集合的表示：(1 ) 列舉法列舉法 2具有的性質(zhì)aaM 例如例如 空集合空集合：不包含任何元素的集合，記為：不包含任何元素的集合，記為子集合子集合：設：設 表示兩個集合，如果集合表示兩個集合，如果集合 都是集合都是集合 的元素，即由的元素，即由 ，那么就稱那么就稱 的子集合，記為的子集合，記為12),(yxyxP21SS與1S2S21SaSa21SS是212121SSS且SSS相等相等：即：即1221SSSS或 (2) 特征性質(zhì)法特征性質(zhì)法3集合的交：集合的交：集合的并：集合的并：集合的和：集合的和：例如例如 2121SxSxxSS且2121SxSxxSS或2121,SySxyxSS 7 , 6 , 5 , 4 , 34 , 3 , 23 , 2 , 14 , 3 , 2 , 14 , 3 , 23 , 2 , 12.數(shù)域數(shù)域數(shù)域數(shù)域：是一個含：是一個含0和和1,且對加，減，乘，除（且對加，減，乘，除（0不為除數(shù)）封閉的不為除數(shù)）封閉的數(shù)集數(shù)集.4例如：有理數(shù)域例如：有理數(shù)域Q，實數(shù)域，實數(shù)域R，復數(shù)域，復數(shù)域C.3.映射映射映射映射：設：設S 與與S 是兩個集合，一個法則（規(guī)則）是兩個集合，一個法則（規(guī)則） ，它使，它使S中的每個元素中的每個元素a 都有都有 S中一中一個確定的元素個確定的元素 a 與之對應，記為與之對應，記為 稱為集合稱為集合S到到 S 的的映射映射，a 稱為稱為a 在映射在映射 下的下的象象，而，而a 稱為稱為 a 在映射在映射下的一個下的一個原象原象.:SS aaaa或)(5變換變換：S到到S自身的映射自身的映射.例如：例如： 將方陣映射為數(shù)將方陣映射為數(shù) 將數(shù)映射為矩陣將數(shù)映射為矩陣 可看成變換?？煽闯勺儞Q。其中其中相等相等：設：設 都是集合都是集合S到到 的映射，如的映射，如果對于果對于 都有都有 ，則稱，則稱 相等，記為相等，記為 .的實系數(shù)多項式的集合是次數(shù)不超過nPn21與SSa)()(21aa21與21nnnPtftftfKaaIaKAAA)(),()(,)(,det)(3216乘法乘法：設：設 依次是集合依次是集合S到到 ， 的的映射，乘積映射，乘積 定義如下定義如下 是是S到到 的一個映射的一個映射.注注： ， （ 是是 的的映射）映射）,1S21SS到Saaa),()(2S)()(32SS 到：5413要點：要點： 坐標與基有關坐標與基有關 坐標的表達形式坐標的表達形式 nR 3120A22111A11013A37342A41 ,.,n21nnnnC),.,(),.,(2121,.,21n,.,n21X).(n21Y).(n21 ,.,21nnnnnC),.,(),.,(212100120110130030002137 :： 。M=X ： AX=b Rn，、 ： )F(VWWWWWWn212121 ： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1 W2）=0 W1 W2=0： 若若 dim（W1 W2）=0 ，則和為直和，則和為直和 W=W 1W2=W1 W2， ：P13 1.2.6 設在設在Rnn中，子空間中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 證明證明Rnn=W1 W2。（i）m1im1iiiii)(TkkTATaaaTaaaTaaaTVVTnnnnnnnnnnnnn),.,(),.,(.,.,21212211222211221221111121記為的一組基。是上的線性變換，是線性空間設T的矩陣的矩陣, 0|,1011221122211211RxxxxxxxXVBij線性空間VXBXXBXTTT ,)( 兩組基兩組基 1， 2，, n ， 1， 2，, n ， （ 1 2 n）=（ 1 2 n ）C T（ 1 2 n ）=（ 1 2 n）A T（ 1 2 n）=（ 1 2 n）BB=C1AC123 nmijnmijnjiijijbBaAbaBA)(,)( ,),(1,nTnTnTnnRyyYxxXYXyxyxyxYX),.,(,),.,(.),(112211nnynxyxyxYX.2),(22111 ),(),( 設設 1， 2，, n 是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間V的基，的基， ， V，則有，則有 =x1 1x2 2x n n = 1 2 nX； =y1 1y2 2y n n= 1 2 nY ， = =Y HAX， n1in1jjiji),(yx定義內(nèi)積定義內(nèi)積 在一個基在一個基 1， 2， n 中定義內(nèi)積中定義內(nèi)積 定義一個度量矩陣定義一個度量矩陣A 。 度度量量矩矩陣陣 A ji0ji1F n),(),( ,432),0| ),(4321432144332211314321yyyyYxxxxXyxyxyxyxYXWxxxxxxXW（上定義在線性空間11122 22122212222111211121121222122例 2已 知的 子 空 間0在上 定 義 ( , ),其 中，,(1) 證 明 ：( , ) 是的 一 個 內(nèi) 積 ；(2) 求的 一 組 標 準 正 交 基 .ijijijxxRWXxxxxxxyyWX Yx yXYxxyyX YWW2.4 正交補正交補定義定義: : 設設W, U是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間V 的子空間，的子空間，(1) V , 若若 W, 都有都有(, , ) = 0, 則稱則稱 與與W 正交，記作正交，記作 W ;(2) 若若 W, U, 都有都有(, , ) = 0, 則稱則稱W 與與U 正交，記作正交，記作W U ;(3) 若若W U，并且，并且W + U = V, 則稱則稱U 為為W 的正交補。的正交補。注意：若注意：若W U，則則 W與與U 的和必是直和。的和必是直和。52正交補的存在唯一性正交補的存在唯一性定理定理: : 設設W 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間V 的子空間，則的子空間，則W 的正交補的正交補存在且唯一，記該存在且唯一，記該正交補為正交補為 ，并且，并且 W|,WWV 53定理定理: : 設設W 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間V 的有限維子空間，則的有限維子空間，則VWW向量的正投影向量的正投影定義定義: : 設設W 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間V 的子空間，的子空間，, WWV于是于是，其中其中有有 WWV ,則稱向量則稱向量 為向量為向量 在在W上的正投影，上的正投影，稱向量長度稱向量長度| | | |為向量為向量 到到W 的距離。的距離。Wd d O 垂線最短定理垂線最短定理定理定理: : 設設W 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間V 的子空間，的子空間， V , 為為 在在W|d d 上的正投影，則上的正投影，則 d d W, 有有并且等號成立當且僅當并且等號成立當且僅當 = d d。，WW d d ,，d d ，d d d d （勾勾股股定定理理），222|d d d d |d d 即即Wd d 最小二乘法最小二乘法 12,n sijnAXb AaRbb bb （1） 可能無解，即任意可能無解，即任意 都可能使都可能使 12,nx xx 211221niiinniia xa xa xb （2） 不等于零，設法找實數(shù)組不等于零，設法找實數(shù)組 使使（2）最小最小 20001,nxxx這樣的這樣的 為方程組為方程組（1）的最小二乘解，的最小二乘解， 20001,nxxx此問題叫最小二乘法問題此問題叫最小二乘法問題.1.問題提出問題提出，實系數(shù)線性方程組，實系數(shù)線性方程組2.問題的解決問題的解決設設 12111,.nnnjjjjnjjjjjYa xa xa xAX （3） 用距離的用距離的概念，（概念，（2）就是就是 2.Yb 由（由（3）知知 112212,sssYxxxA 找找 使（使（2）最小，等價于找子空間最小，等價于找子空間 X12(,)sL 中向量中向量 使使 到到它的距離它的距離 比比到到 Yb()Yb 12(,)sL 中其它向量的距離都短中其它向量的距離都短. 設設 為此必為此必 ,CbYbAX12(,)sCL 這等價于這等價于 12( ,)( ,)( ,)0,sCCC（4） 即即 120,0,0,sCCC這樣（這樣（4）等價于等價于 或或 0A bAX A AXA b （5） 例題.120213213213121的最小二乘解求方程組xxxxxxxxxxcossinsincosA