2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形學(xué)案 新人教A版必修511.1正弦定理正弦定理提出問題如圖，在RtABC中，A30，斜邊c2，問題1：ABC的其他邊和角為多少？提示：B60，C90，a1，b.問題2：試計(jì)算，的值，三者有何關(guān)系？提示：2，2，2，三者的值相等問題3：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論？提示：是如圖sin A，c.sin B，c.sin C1，.問題4：在鈍角ABC中，BC30，b，試求其他邊和角提示：如圖，ACD為直角三角形，C30AC，則AD，CD，BC3.AB，BAC120.問題5：問題4中所得數(shù)字滿足問題3中的結(jié)論嗎？提示：滿足問題6：若是銳角三角形上述結(jié)論還成立嗎？提示：都成立導(dǎo)入新知1正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.2解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形化解疑難對正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化已知兩角及一邊解三角形例1在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45.由得，b4，由得，c4(1)A45，b4，c4(1)類題通法已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意：若已知角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530)，再根據(jù)上述思路求解活學(xué)活用1在ABC中，已知c10，A45，C30，解這個(gè)三角形解：A45，C30，B180(AC)105.由得a10.由得b20sin 75，sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.已知兩邊及一邊的對角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解這個(gè)三角形解，sin C，C60或C120.當(dāng)C60時(shí)，B75，b1；當(dāng)C120時(shí)，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.類題通法已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論活學(xué)活用2在ABC中，若c，C，a2，求A，B，b.解：由，得sin A.A或A.又ca，CA，只能取A，B，b1.判斷三角形的形狀例3在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C試判斷ABC的形狀解由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，222，即a2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形類題通法1判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷2判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別活學(xué)活用3在ABC中，若bacos C，試判斷該三角形的形狀解：bacos C，2R.(2R為ABC外接圓直徑)sin Bsin Acos C.B(AC)，sin (AC)sin Acos C.即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C，cos Asin C0，A、C(0，)，cos A0，A，ABC為直角三角形典例在ABC中，已知a2，b2，A60，則B_.解析由正弦定理，得sin Bb2.0B180，B30，或B150.ba，根據(jù)三角形中大邊對大角可知BA，B150不符合條件，應(yīng)舍去，B30.答案30易錯防范1由sin B得B30，或150，而忽視b2a2，從而易出錯2在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍成功破障在ABC中，a，b，c分別是角A，B, C所對應(yīng)的邊，且b6，a2，A30，求ac的值. 解：由正弦定理得sin B.由條件b6，a2，ba知BA.B60或120.(1)當(dāng)B60時(shí)，C180AB180306090.在RtABC中，C90，a2，b6，c4，ac2424.(2)當(dāng)B120時(shí)，C180AB1803012030，AC，則有ac2.ac2212.隨堂即時(shí)演練1(xx廣東高考)在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC()A4B2C.D.解析：選B由正弦定理得：，即，所以AC2，故選B.2在ABC中，a5，b3，C120，則sin Asin B的值是()A.B.C.D.答案：A3在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2 C，則ABC是_三角形解析：由已知得sin2 Asin2 Bsin2 C，根據(jù)正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角4(xx北京高考)在ABC中，若a3，b，A，則C的大小為_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：5不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)(1)a5，b4，A120；(2)a7，b14，A150；(3)a9，b10，A60.解：(1)sin B，所以ABC有一解(2)sin B1，所以ABC無解(3)sin B，而1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足sin B的B的取值范圍為60B90.當(dāng)B為鈍角時(shí)，有90B120，也滿足AB180，所以ABC有兩解課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1在ABC中，下列式子與的值相等的是()A.B.C.D.解析：選C由正弦定理得，所以.2(xx瀏陽高二檢測)在ABC中，若sin A>sin B，則A與B的大小關(guān)系為()AA>BBA<BCAB DA、B的大小關(guān)系不確定解析：選Asin A>sin B，2Rsin A>2Rsin B，即a>b，故A>B.3一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別等于120和45，若45角所對的邊長是4，那么120角所對邊長是()A4 B.12C4 D12解析：選D若設(shè)120角所對的邊長為x，則由正弦定理可得：，于是x12，故選D.4ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則()A2 B.2C.D.解析：選D由正弦定理，得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.所以sin Bsin A.5以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，則abC在ABC中，若sin Asin B，則A B，若AB，則sin Asin B都成立D在ABC中，解析：選B由正弦定理易知A，C，D正確對于B，由sin 2Asin 2B，可得AB，或2A2B，即AB，或AB，ab，或a2b2c2，故B錯誤. 二、填空題6在ABC中，若a14，b7，B60，則C_.解析：由正弦定理知，又a14，b7，B60，sin A，ab，AB，A45，C180(BA)180(6045)75.答案：757在ABC中，B30，C120，則abc_.解析：A180BC30，由正弦定理得abcsin Asin Bsin C，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：118在ABC中，若A120，AB5，BC7，則sin B_.解析：由正弦定理，得sin C.可知C為銳角，cos C.sin Bsin(180120C)sin(60C)sin 60cos Ccos 60sin C.答案：三、解答題9(xx安徽高考)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高解：由12cos(BC)0和BCA，得12cos A0，所以cos A，sin A.再由正弦定理，得sin B.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，從而cos B.由上述結(jié)果知sin Csin(AB)().設(shè)邊BC上的高為h，則有hbsin C.10在ABC中，已知，試數(shù)列ABC的形狀解：，a2Rsin A，b2Rsin B，.又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，2A2B，或2A2B，即AB，或AB.故ABC是等腰三角形或直角三角形11.2余弦定理余弦定理提出問題在ABC中，若AB2，AC3，A60.問題1：這個(gè)三角形確定嗎？提示：確定問題2：你能利用正弦定理求出BC嗎？提示：不能問題3：能否利用平面向量求邊BC？如何求得？提示：能2222222cos A49223cos 607問題4：利用問題3的推導(dǎo)方法，能否推導(dǎo)出用b，c，A表示a?提示：能導(dǎo)入新知余弦定理余弦定理公式表達(dá)a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理語言敘述三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍推論cos A，cos B，cos C化解疑難對余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化已知三角形的三邊解三角形例1在ABC中，若abc12，求A，B，C.解由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x.由余弦定理的推論，得cos A，故A30.同理可求得cos B，cos C0，所以B60，C90.類題通法已知三角形的三邊解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理或由求得的第一個(gè)角，利用正弦定理求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)利用余弦定理求三個(gè)角的余弦，進(jìn)而求三個(gè)角活學(xué)活用1邊長為5,7,8的三角形中，最大角與最小角的和是_解析：設(shè)中間角為，由于875，故的對邊的長為7，由余弦定理，得cos .所以60，故另外兩角和為18060120.答案：120已知三角形的兩邊及其夾角解三角形例2在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos B824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0A180，A45.故C180AB180456075.法二：由正弦定理，sin A，ba，ca，a最小，即A為銳角因此A45.故C180AB180456075.類題通法已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，)上，余弦值所對角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好活學(xué)活用2在ABC，已知a2，b2，C15，解此三角形解：c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84() 2c.法一：由余弦定理的推論得cos A.0A180，A45，從而B120.法二：由正弦定理得sin A.ab，AB，又0A180，A必為銳角，A45，從而得B120.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形例3在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和邊a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.當(dāng)a3時(shí)，A30，C120.當(dāng)a6時(shí)，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本題有兩解由正弦定理得sin C，C60或120，當(dāng)C60時(shí)，A90，ABC為直角三角形由勾股定理得a6，當(dāng)C120時(shí)，A30，ABC為等腰三角形，a3.類題通法已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊(注意邊的取舍)，再利用正弦定理求其他的兩個(gè)角；也可以由正弦定理求出第二個(gè)角(注意角的取舍)，再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后再利用正弦定理求出第三邊活學(xué)活用3已知：在ABC中，cos A，a4，b3，則c_.解析：A為b，c的夾角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5判斷三角形的形狀例4在ABC中，若acos Abcos Bccos C，試判斷ABC的形狀解由余弦定理可得abc等式兩邊同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化簡得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故ABC為直角三角形類題通法判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀活學(xué)活用4在ABC中，若cos A，試判斷其形狀解：由cos A得cos A，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此ABC是以C為直角的直角三角形典例如圖所示，在四邊形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求出BC的長解題流程規(guī)范解答設(shè)BDx.在ABD中，根據(jù)余弦定理，AB2AD2BD22ADBDcosBDA，142102x2210xcos 60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.ADCD，BDA60，CDB30.在BCD中，由正弦定理，BC8.名師批注 將四邊形ABCD分解為兩個(gè)ABD和BCD，利用余弦定理列出關(guān)于x的一元二次方程，化簡方程時(shí)易出錯，應(yīng)注意步驟及計(jì)算的準(zhǔn)確性 由ADCD，BDA60得CDB30，學(xué)生有時(shí)不易想到活學(xué)活用如圖所示，在ABC中，已知B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，ABAC7.隨堂即時(shí)演練1在ABC中，已知A30，且3ab12，則c的值為()A4B8C4或8 D無解解析：選C由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，即1648c212c，解得c4或c8.2在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若0，則ABC()A一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C一定是鈍角三角形 D是銳角或直角三角形解析：選C由0得cos C0，所以cos C0，從而C為鈍角，因此ABC一定是鈍角三角形3(xx陜西高考)在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122224，所以b2.答案：24在ABC中，已知a7，b3，c5，則最大的角是_解析：acb，A為最大角cos A，又0A180，A120.答案：1205在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三邊c的長解：5x27x60可化為(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去)cos C.根據(jù)余弦定理，c2a2b22abcos C523225316.c4，即第三邊長為4.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，a，b1，則c()A1 B.2C.1D.解析：選B由余弦定理a2b2c22bccos A，得c2c20，解得c2或c1(舍去)2在ABC中，若a8，b7，cos C，則最大角的余弦值是()A B.C D解析：選C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值為cos A.3在ABC中，B60，b2ac，則此三角形一定是()A直角三角形 B.等邊三角形C等腰直角三角形 D鈍角三角形解析：選B由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac.B60，AC60.故ABC是等邊三角形4(xx寧陽高二檢測)在ABC中，bcos Aacos B，則ABC是()A等邊三角形 B.等腰三角形C直角三角形 D銳角三角形解析：選B因?yàn)閎cos Aacos B，所以ba.所以b2c2a2a2c2b2.所以a2b2.所以ab.故此三角形是等腰三角形5在ABC中，B60，最大邊與最小邊之比為(1)2，則最大角為()A45 B.60C75 D90解析：選C由題意可知cba，或abc，不妨設(shè)c2x，則a(1)x，cos B.即b26x2.cos C，C45，A180604575.二、填空題6(xx湖北高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(abc)(abc)ab，則角C_解析：(ab)2c2ab，cos C，C.答案：7在ABC中，A120，AB5，BC7，則的值為_解析：由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：8在ABC中，若sin Asin Bsin C357，則C的大小是_解析：因?yàn)閟in Asin Bsin C357，由正弦定理可得abc357，設(shè)a3k(k0)，則b5k，c7k，由余弦定理的推論得cos C，又0C180，所以C120.答案：120三、解答題9在ABC中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin C2sin Bcos A，試判斷ABC的形狀解：由正弦定理，可得sin B，sin C.由余弦定理，得cos A.代入sin C2sin Bcos A，得c2b.整理得 ab.又因?yàn)?abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos C.故C.又ab，所以ABC為等邊三角形10在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2bcos Accos Aacos C(1)求角A的大??；(2)若a，bc4，求bc的值解：(1)根據(jù)正弦定理2bcos Accos Aacos C2cos Asin Bsin Acos Ccos Asin Csin (AC)sin B，sin B0，cos A，0A180，A60.(2)由余弦定理得：7a2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc，把 bc4代入得bc3，故bc3._1.2應(yīng)用舉例1.2.1正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用測量中的基本術(shù)語提出問題李堯出校門向南前進(jìn)200米，再向東走了200米，回到自己家中問題1：李堯家在學(xué)校的哪個(gè)方向？提示：東南方向問題2：能否用角度再進(jìn)一步確定其方位？提示：可以，南偏東45或東偏南45.導(dǎo)入新知實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90)南偏西60(指以正南方向?yàn)槭歼叄D(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角化解疑難解三角形實(shí)際問題的一般步驟，在弄清題意的基礎(chǔ)上作出示意圖，在圖形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)測量高度問題例1如圖，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C和D，測得CD200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A的仰角分別是45和30，且CBD30，求塔高AB.解在RtABC中，ACB45，若設(shè)ABh，則BCh；在RtABD中，ADB30，則BD h.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)即塔高AB200米類題通法測量高度問題的要求及注意事項(xiàng)(1)依題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵，問題中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在鉛垂面上所成的角)，在繪制圖形時(shí)，可畫立體圖形和平面圖形兩個(gè)圖，以對比分析求解；(2)方向角是相對于在某地而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一點(diǎn)的方向角從這個(gè)意義上來說，方向角是一個(gè)動態(tài)角，在理解題意時(shí)，應(yīng)把它看活，否則在理解題意時(shí)將可能產(chǎn)生偏差活學(xué)活用1.如圖，A、B是水平面上兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角是25，BAD110，又在點(diǎn)B測得ABD40，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C在水平面上的垂足求山高CD(精確到1 m)解：在ABD中，ADB1801104030，由正弦定理得AD1 028.5(m)，在RtACD中，CDADtan 25480(m)答：山高約為480 m.測量角度問題例2如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？解設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos BAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sin ABCsin BAC.ABC45.BC與正北方向垂直CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sin BCD，BCD30.即緝私船沿東偏北30方向能最快追上走私船類題通法 解決追及問題的步驟(1)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，這樣借助于正弦定理或余弦定理，就容易解決問題了；(3)最后把數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題中去活學(xué)活用2.某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45，距離為10海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105的方向，以10海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以10海里/小時(shí)的速度前去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間解：在ABC中，根據(jù)余弦定理，有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)艦艇需1小時(shí)靠近貨船此時(shí)AB10，BC10，又AC10，所以CAB30，所以護(hù)航艦航行的方位角為75.測量距離問題分為三種類型：兩點(diǎn)間不可通又不可視，兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)，兩點(diǎn)都不可達(dá)解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解【角度一】兩點(diǎn)不相通的距離如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計(jì)算AB長解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m.即A、B兩點(diǎn)間的距離為200 m.【角度二】兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測出AB的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測出AC的距離m，再借助儀器，測出ACB，CAB，在ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測出AC60 m，BAC75，BCA45，則A、B兩點(diǎn)間的距離為_解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A、B兩點(diǎn)間的距離為20 m.答案：20 m【角度三】兩點(diǎn)都不可到達(dá)如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測出AB的距離，其方法測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B兩點(diǎn)間的距離解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.隨堂即時(shí)演練1若P在Q的北偏東4450方向上，則Q在P的()A東偏北4510方向上B北偏東4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上解析：選C如圖所示，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的南偏西4450的方向上2海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75視角，則B、C間的距離是()A10 海里B. 海里C5 海里 D5 海里解析：.選D如圖，C180607545，AB10，由正弦定理得，BC5(海里)，故選D.3.如圖，線段AB、CD分別表示甲、乙兩樓，ABBD，CDBD，從甲樓頂部A處測得乙樓頂部C處的仰角為30，測得乙樓底部D的俯角60，已知甲樓高AB24米，則乙樓高CD_米解析：過A作AECD，垂足為E，EDAB24米，則AE8(米)在RtACE中，CEAEtan 3088(米)CDCEED82432(米)答案：324.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B，望對岸的標(biāo)記物C，測得CAB45，CBA75，AB120米，則河的寬度為_解析：如圖ACB180457560，在ABC中，.BC120，河寬為BCsinCBAsin 7520(3)米. 答案：20(3)米5.如圖所示，貨輪在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A處有一燈塔，其方位角是110，在C處觀察燈塔A的方位角是35，由B到C需航行半個(gè)小時(shí)，求C到燈塔A的距離解：在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得，AC10()(km)答：C到燈塔A的距離為10() km.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為()A B.C90 D180解析：選B根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖知，故應(yīng)選B.2兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在C北偏東30，B在C南偏東60，則A，B之間距離為()A.a kmB.a kmCa km D2a km解析：選AABC中，ACBCa，ACB90，ABa.3有一長為10 m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^加長坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長的長度(單位：m)是()A5 B.10C10 D10解析：選C如圖，設(shè)將坡底加長到B時(shí)，傾斜角為30，在ABB中，利用正弦定理可求得BB的長度在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m，由正弦定理，得BB10(m)坡底延伸10 m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0.4一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.海里/小時(shí) B.34海里/小時(shí)C.海里/小時(shí) D34海里/小時(shí)解析：選A如圖所示，在PMN中，MN34，v(海里/小時(shí))5.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里，則乙船每小時(shí)航行()A10海里 B.20海里C30海里 D30海里解析：選D如圖，連結(jié)A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2為正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，B1B40020022010200，B1B210，乙船每小時(shí)航行30海里二、填空題6某人從A處出發(fā)，沿北偏東60行走3 km到B處，再沿正東方向行走2 km到C處，則A，C兩地距離為_km.解析：如右圖所示，由題意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.則A，C兩地距離為7 km.答案：77一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，則AOB60，由正弦定理知：x(cm)答案： cm8某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60方向航行30 n mile后，看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離為_ n mile.解析：如圖所示，B是燈塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，則BCAD，DAB30，DAC60，則在RtACD中，DCACsin DAC30sin 6015 n mile，ADACcos DAC30cos 6015 n mile，則在RtADB中，DBADtanDAB15tan 305 n mile，則BCDCDB15510 n mile.答案：10三、解答題9海島O上有一座海拔1 000米的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站A，上午11時(shí)，測得一輪船在島北偏東60的C處，俯角30，11時(shí)10分，又測得該船在島的北偏西60的B處，俯角60.則該船的速度為每小時(shí)多少千米？解：如圖所示，設(shè)觀察站A在水平面上的射影為O，依題意OBOAtan 30(千米)，OCOAtan 60 (千米)，則BC (千米)船速v2(千米/小時(shí))10甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，問甲船應(yīng)取什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船？此時(shí)乙船行駛多少海里解：設(shè)甲沿直線與乙船同時(shí)到C點(diǎn)，則A、B、C構(gòu)成一個(gè)ABC，如圖，設(shè)乙船速度為v，則甲船速度為v，到達(dá)C處用時(shí)為t.由題意BCvt，ACvt，ABC120.在ABC中，由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos120，3v2t2a2v2t2avt.2v2t2avta20，解得vt(舍)或vta.BCa，在ABC中ABBCa，BACACB30.答：甲船應(yīng)取北偏東30的方向去追乙，此時(shí)乙船行駛a海里12.2正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用三角形的面積公式提出問題在ABC中，若AC3，BC4，C60.問題1：ABC的高AD為多少？提示：ADACsin C3sin 60.問題2：ABC的面積為多少？提示：SABCBCAD43.問題3：若ACb，BCa，你發(fā)現(xiàn)ABC的面積S可以直接用a，b，C表示嗎？提示：能Sabsin C.導(dǎo)入新知三角形的面積公式(1)Saha(ha表示a邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.化解疑難三角形的面積公式Sabsin C與原來的面積公式Sah(h為a邊上的高)的關(guān)系為：hbsin C，實(shí)質(zhì)上bsin C就是ABC中a邊上的高三角形的面積計(jì)算例1在ABC中，已知C120，AB2，AC2，求ABC的面積解由正弦定理知，即，所以sin B，由于ABAC，所以CB，故B30.從而A1801203030.所以ABC的面積SABACsin A22sin 30 .類題通法1求三角形面積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計(jì)算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計(jì)算，還能使計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值2事實(shí)上，在眾多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式活學(xué)活用1(1)在ABC中，若A60，b16，SABC64，則c_.(2)在ABC中，若a3，b2，c4，則其面積等于_解析：(1)由已知得SABCbcsin A，即6416csin 60，解得c16.(2)由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A24.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式證明問題例2在ABC中，求證：.解法一：左邊右邊，其中R為ABC外接圓的半徑.法二：左邊右邊，(cos C0).類題通法解決此類問題，既要用到三角形中特有的恒等變形公式，又要用到任意角三角函數(shù)的恒等變形公式，兩者要結(jié)合，靈活運(yùn)用三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個(gè)定理，因此這類題型都可用不同的途徑求解活學(xué)活用2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，求證：c.證明：由余弦定理的推論得cos B，cos A，代入等式右邊，得右邊c左邊，c.三角形中的綜合問題例3(xx江西高考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面積為2，求b，c.解(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，從而cos Acos(BC).(2)由于0<A<，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程組得或類題通法解決三角形的綜合問題，除靈活運(yùn)用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識外，一般還要用到三角函數(shù)、三角恒等變換、方程等知識因此，掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式和性質(zhì)是解題關(guān)鍵活學(xué)活用3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos，3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos A2cos21，sin A.又由3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.典例(12分)如圖，在四邊形ABCD中，ACCDAB1，1，sinBCD.(1)求BC邊的長；(2)求四邊形ABCD的面積解題流程規(guī)范解答(1)ACCDAB1，cosBAC2cosBAC1， cosBAC，BAC60.(3分)在ABC中，由余弦定理有：BC2AB2AC22ABACcosBAC22122213，BC(6分)(2)由(1)知，在ABC中有：AB2BC2AC2，ABC為直角三角形，且ACB90，(7分)SABCBCAC1.(8分)又BCDACBACD90ACD，sinBCD，cosACD，(9分)從而sinACD，(10分)SACDACCDsinACD11.(11分)S四邊形ABCDSABCSACD.(12分)名師批注向量數(shù)量積運(yùn)算公式易用錯，在ABC中，和夾角有時(shí)誤認(rèn)為ABC，從而不得分 利用了誘導(dǎo)公式求cosACD，求解時(shí)對取正負(fù)號不把握活學(xué)活用在ABC，中，AB2，cos C，D是AC上一點(diǎn)，AD2DC，且cosDBC.求：(1)BDA的大??；(2)