2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標(biāo)系講義（含解析）新人教A版必修2.doc

4.3 空間直角坐標(biāo)系核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P134P137，回答下列問題(1)平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直的數(shù)軸組成，設(shè)想空間直角坐標(biāo)系由幾條數(shù)軸組成？其相對(duì)位置關(guān)系如何？提示：三條交于一點(diǎn)且兩兩互相垂直的數(shù)軸(2)建立了空間直角坐標(biāo)系以后，空間中任意一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的三個(gè)有序?qū)崝?shù)如何找到呢？提示：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸，y軸和z軸于點(diǎn)P、Q和R.設(shè)點(diǎn)P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x，y和z，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)(3)設(shè)點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分別為M、N.M、N的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)M、N之間的距離如何？若直線P1P2是xOy平面的一條斜線，點(diǎn)P1，P2間的距離如何？提示：M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|.如圖，在RtP1HP2中，|P1H|MN|，根據(jù)勾股定理，得|P1P2|.2歸納總結(jié)，核心必記(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz.相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系(3)空間一點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)其中x叫點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(4)空間兩點(diǎn)間的距離公式點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離，|OP|.任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離，|P1P2| .問題思考(1)給定的空間直角坐標(biāo)系下，空間任意一點(diǎn)是否與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系？提示：是給定空間直角坐標(biāo)系下，空間給定一點(diǎn)其坐標(biāo)是唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)；反之，給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，空間也有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)(2)空間兩點(diǎn)間的距離公式對(duì)在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)適用嗎？提示：適用空間兩點(diǎn)間的距離公式適用于空間任意兩點(diǎn)，對(duì)同在某一坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)也適用課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)怎樣建立空間直角坐標(biāo)系？如何確定空間一點(diǎn)的坐標(biāo)？；(2)空間兩點(diǎn)間的距離公式是什么？怎樣用？.(1)如圖數(shù)軸上A點(diǎn)、B點(diǎn)(2)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，P、Q點(diǎn)的位置(3)下圖是一個(gè)房間的示意圖，我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?？思?上述(1)中如何確定A、B兩點(diǎn)的位置？提示：利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)2和2.思考2上述(2)中如何確定P、Q兩點(diǎn)的位置？提示：利用P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)(a，b)和(m，n)思考3對(duì)于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？提示：可借助于平面坐標(biāo)系的思想建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示講一講1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出底邊長為2，高為3的正三棱柱的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)(鏈接教材P135例1)嘗試解答以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為y軸，以射線OA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意知，AO2，從而可知各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3)空間中點(diǎn)P坐標(biāo)的確定方法(1)由P點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點(diǎn)Px、Py、Pz，這三個(gè)點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x、y、z，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)就是(x，y，z)(2)若題所給圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點(diǎn)P在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則要充分利用這一性質(zhì)解題練一練 1如圖所示，VABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)已知|AB|2，|VO|3，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，試分別寫出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)解：底面是邊長為2的正方形，|CE|CF|1.O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1，1,0)，A(1，1,0)，D(1,1,0)V在z軸上，V(0,0,3)講一講2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，1，4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嘗試解答(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P1(2，1，4)(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P2(2,1，4)(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)(1)求空間對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律方法空間的對(duì)稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解對(duì)稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對(duì)稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論(2)空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(x，y，z)的幾種特殊對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(x，y，z)；關(guān)于x軸(橫軸)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(x，y，z)；關(guān)于y軸(縱軸)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(x，y，z)；關(guān)于z軸(豎軸)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(x，y，z)；關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P5(x，y，z)；關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P6(x，y，z)；關(guān)于xOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P7(x，y，z)練一練 2.保持本解中的點(diǎn)P不變，(1)求點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N(5,4,3)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)由于點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱后，它在y軸的分量不變，在x軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，故對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(2,1，4)(2)由于點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱后，它在y軸、z軸的分量不變，在x軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，故對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(2,1,4)(3)設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)N為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得5，4，3，即x2(5)(2)8，y2417，z2342，故P3(8,7,2).(1)已知數(shù)軸上A點(diǎn)的坐標(biāo)2，B點(diǎn)的坐標(biāo)2.(2)已知平面直角坐標(biāo)系中P(a，b)，Q(m，n)思考1如何求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離？提示：|AB|x1x2|x2x1|.思考2如何求平面直角坐標(biāo)系中P、Q兩點(diǎn)間距離？提示：d|PQ| .思考3若在空間中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：與平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離求法類似講一講3已知點(diǎn)A(4，1，9)，B(10,1，6)，C(2，4，3)，試判斷ABC的形狀嘗試解答|AB|7，|BC|7，|AC|7，則|AB|AC|，且|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC為等腰直角三角形求空間兩點(diǎn)間的距離時(shí)，一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式，應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視具體題目而定，一般說來，要轉(zhuǎn)化到平面中求解，有時(shí)也利用幾何圖形的特征，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)確定練一練3已知兩點(diǎn)P(1,0,1)與Q(4,3，1)(1)求P、Q之間的距離；(2)求z軸上的一點(diǎn)M，使|MP|MQ|.解：(1)|PQ|.(2)設(shè)M(0,0，z)，由|MP|MQ|，得1202(z1)24232(z1)2，z6.M(0,0，6)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是了解右手直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念，掌握空間直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的含義，會(huì)建立空間直角坐標(biāo)系，并能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程和方法，掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式及其簡單應(yīng)用難點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系的建立及求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、空間兩點(diǎn)間距離公式及其簡單運(yùn)用2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，見講1.(2)求空間中對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，見講2.(3)空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，如講1.課下能力提升(二十六)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1空間直角坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)表示1點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的()Ay軸上BxOy平面上CxOz平面上 D第一象限內(nèi)解析：選C點(diǎn)(2,0,3)的縱坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,3，1)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(4，3，1) B(4,3，1)C(3，4,1) D(4，3,1)解析：選A過點(diǎn)P向xOz平面作垂線，垂足為N，則N就是點(diǎn)P與它關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)P連線的中點(diǎn)，又N(4,0，1)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P(4，3，1)3已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則x04，y00，z01，中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0，1)答案：(4,0，1)4點(diǎn)P(1,2，1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x，y，z)，則xyz_.解析：點(diǎn)P(1,2，1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.答案：05如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AA1的方向分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示分別設(shè)|AB|1，|AD|2，|AA1|4，則|CF|AB|1，|CE|AB|，所以|BE|BC|CE|2.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,2,1)6如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在平面yOz內(nèi)，且BDC90，DCB30，求點(diǎn)D的坐標(biāo)解：過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E.在RtBDC中，BDC90，DCB30，BC2，得|BD|1，|CD|，|DE|CD|sin 30，|OE|OB|BE|OB|BD|cos 601，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.題組2空間兩點(diǎn)間的距離7(2016長春高一檢測(cè))已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)B(2,3,4)，且|AB|2，則實(shí)數(shù)x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2解析：選D由題意得2，解得x2或x6.8在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1,2)，其中心M的坐標(biāo)為(0,1,2)，則該正方體的棱長為_解析：由A(3，1,2)，中心M(0,1,2)，所以C1(3,3,2)正方體體對(duì)角線長為|AC1|2，所以正方體的棱長為.答案：能力提升綜合練1在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對(duì)角線AC1的長為()A9 B.C5 D2解析：選B由已知求得C1(0,2,3)，|AC1|.2點(diǎn)A(1,2，1)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于面xOy對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，則|BC|的值為()A2 B4 C2 D2解析：選B點(diǎn)A關(guān)于面xOy對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,2,1)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，2,1)，故|BC| 4.3ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則BC邊上的中線的長是()A. B2 C. D3解析：選CBC的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|AM|.4在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)P到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是()A. B. C. D.解析：選A設(shè)P(x，y，z)，由題意可知x2y2z2，.5在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1，b,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(a，1，c2)，則點(diǎn)P(a，b，c)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|PO|_.解析：點(diǎn)(1，b,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(1，b，2)，所以點(diǎn)(a，1，c2)與點(diǎn)(1，b，2)重合，所以a1，b1，c0，所以|PO|.答案：6在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且|CG|CD|，E為C1G的中點(diǎn)，則EF的長為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，則E.所以|EF| .答案：7如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離解：如圖所示，分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，|DD1|CC1|AA1|2，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)N為CD1的中點(diǎn)，N.M是A1C1的三分之一分點(diǎn)且靠近A1點(diǎn)，M(1,1,2)由兩點(diǎn)間距離公式，得|MN| .8如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE，EF的長度解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(xiàn)(1,0,0)，|DE|，|EF|.