2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫問題.doc
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2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫問題.doc
2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫問題一天,小明做完作業(yè)正在休息,收音機中播放著輕松、悅耳的音樂。他拿了支筆,信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個字。突然,他腦子里閃出一個念頭,這幾個字都能一筆寫出來嗎?他試著寫了寫,“中”和“日”可以一筆寫成(沒有重復(fù)的筆劃),但寫到“田”字,試來試去也沒有成功。下面是他寫的字樣。(見下圖)這可真有意思!由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形,哪個能一筆畫成,哪個不能一筆畫成呢?下面是他試著畫的圖樣。(見下圖)經(jīng)過反復(fù)試畫,小明得到了初步結(jié)論:圖中的(1)、(3)、(5)能一筆畫成;(2)、(4)、(6)不能一筆畫成。真奇怪!小明發(fā)現(xiàn),簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來。而復(fù)雜的筆畫多的圖有時反倒能夠一筆畫出來,這其中隱藏著什么奧秘呢?小明進一步又提出了如下問題:如果說一個圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復(fù)雜程度,那么這事又決定于什么呢?能不能找到一條判定法則,依據(jù)這條法則,對于一個圖形,不論復(fù)雜與否,也不用試畫,就能知道是不是能一筆畫成?先從最簡單的圖形進行考察。一些平面圖形是由點和線構(gòu)成的。這里所說的“線”,可以是直線段,也可以是一段曲線。而且為了明顯起見,圖中所有線的端點或是幾條線的交點都用較大的黑點“”表示出來了。首先不難發(fā)現(xiàn),每個圖中的每一個點都有線與它相連;有的點與一條線相連,有的點與兩條線相連,有的點與3條線相連等等。其次從前面的試畫過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn),一個圖能否一筆畫成不在于圖形是否復(fù)雜,也就是說不在于這個圖包含多少個點和多少條線,而在于點和線的連接情況如何一個點在圖中究竟和幾條線相連。看來,這是需要仔細考察的。第一組(見下圖)(1)兩個點,一條線。每個點都只與一條線相連。(2)三個點。兩個端點都只與一條線相連,中間點與兩條線連。第一組的兩個圖都能一筆畫出來。(但注意第(2)個圖必須從一個端點畫起)第二組(見下圖)(1)五個點,五條線。A點與一條線相連,B點與三條線相連,其他的點都各與兩條線相連。(2)六個點,七條線。(“日”字圖)A點與B點各與三條線相連,其他點都各與兩條線相連。第二組的兩個圖也都能一筆畫出來,如箭頭所示那樣畫。即起點必需是A點(或B點),而終點則定是B點(或A點)。第三組(見下圖)(1)四個點,三條線。三個端點各與一條線相連,中間點與三條線相連。(2)四個點,六條線。每個點都與三條線相連。(3)五個點,八條線。點O與四條線相連,其他四個頂點各與三條線相連。第三組的三個圖形都不能一筆畫出來。第四組(見下圖)(1)這個圖通常叫五角星。五個角的頂點各與兩條線相連,其他各點都各與四條線相連。(2)由一個圓及一個內(nèi)接三角形構(gòu)成。三個交點,每個點都與四條線相連(這四條線是兩條線段和兩條弧線)。(3)一個正方形和一個內(nèi)切圓構(gòu)成。正方形的四個頂點各與兩條線相連,四個交點各與四條線相連。(四條線是兩條線段和兩條弧線)。第四組的三個圖雖然比較復(fù)雜,但每一個圖都可以一筆畫成,而且畫的時候從任何一點開始畫都可以。第五組(見下圖)(1)這是“品”字圖形,它由三個正方形構(gòu)成,它們之間沒有線相連。(2)這是古代的錢幣圖形,它是由一個圓形和中間的正方形方孔組成。圓和正方形之間沒有線相連。第五組的兩個圖形叫不連通圖,顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來。進行總結(jié)、歸納,看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點,為方便起見,把點分為兩種,并分別定名:把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點叫做奇點;把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點叫偶點,這樣圖中的要么是奇點,要么是偶點。提出猜想:一個圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點個數(shù)有關(guān),對此列表詳查:從此表來看,猜想是對的。下面試提出幾點初步結(jié)論:不連通的圖形必定不能一筆畫;能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形。有0個奇點(即全部是偶點)的連通圖能夠一筆畫成。(畫時可以任一點為起點,最后又將回到該點)。只有兩個奇點的連通圖也能一筆畫成(畫時必須以一個奇點為起點,而另一個奇點為終點);奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫成。最后,綜合成一條判定法則:有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成,否則不能一筆畫成。能夠一筆畫成的圖形,叫做“一筆畫”。用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時,只要找出這個圖形的奇點的個數(shù)來就能行了,根本不必用筆試著畫來畫去??纯聪旅娴膱D可能會加深你對這條法則的理解。從畫圖的過程來看:筆總是先從起點出發(fā),然后進入下一個點,再出去,然后再進出另外一些點,一直到最后進入終點不再出來為止。由此可見:筆經(jīng)過的中間各點是有進有出的,若經(jīng)過一次,該點就與兩條線相連,若經(jīng)過兩次則就與四條線相連等等,所以中間點必為偶點。再看起點和終點,可分為兩種情況:如果筆無重復(fù)地畫完整個圖形時最后回到起點,終點和起點就重合了,那么這個重合點必成為偶點,這樣一來整個圖形的所有點必將都是偶點,或者說有0個奇點;如果筆畫完整個圖形時最后回不到起點,就是終點和起點不重合,那么起點和終點必定都是奇點,因而該圖必有2個奇點,可見有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成。附送:2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(二)例1 仔細觀察下面的圖形,找出變化規(guī)律,猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個什么樣的圖?解:仔細觀察圖71,可知:第1組左邊是個大菱形,右邊是個小菱形。第2組左邊是個大三角形,右邊是個小三角形。其規(guī)律是:每組中左右兩邊圖形的形狀相同,大小不同。都是左邊的圖形大,右邊的圖形小。猜出答案:第3組中右邊空白格內(nèi)應(yīng)填個小長方形。(如圖73)。仔細觀察圖72可知:第1組左邊是個圓,而且左半圓涂有陰影線。右邊是左邊的陰影半圓順時針旋轉(zhuǎn)后放置的。第2組左邊是個等腰三角形,而且左半部(直角三角形)涂有陰影線,右邊是左邊陰影直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)后放置的。其規(guī)律是:每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半,順時針旋轉(zhuǎn)放置后成為右邊圖形。猜出答案:第3組中右框內(nèi)應(yīng)填個陰影小長方形。如圖74示。例2 按順序仔細觀察圖75、76的形狀,猜一猜第3組的“?”處應(yīng)填什么圖?解:圖75的?處應(yīng)填。注意觀察第1組和第2組,每組都是由三對小圖形組成;而每對小圖形都是由一個“空白”的和一個“黑色”的小圖形組成;而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊,“黑色”的在右邊。再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去,可發(fā)現(xiàn)每對小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律:它們都在向左移動,當一對小圖形移動到最左邊后,下一步它就回到了最右邊。按這個移動規(guī)律,可知圖75中第3組“?”處應(yīng)填:。圖76的?處應(yīng)填0。仔細觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個小圖形構(gòu)成的。構(gòu)成的規(guī)律是:當你按照第1、第2、第3組的順序觀察時,6個小圖形都在向左移動,而且移動的同時又在重新分組和組合,但排列順序保持不變,當某一個小圖形移動到了最左邊時,下一步它就回到了最右邊。按這個規(guī)律可知圖76中第3組中間“?”處是:0。例3 觀察圖77的變化,請先回答:在方框(4)中應(yīng)畫出怎樣的圖形?再答按(1)、(2)、(3)、的順序數(shù)下去,第(10)個方框中是怎樣的圖形?解:先按(1)、(2)、(3)、的順序仔細觀察,可發(fā)現(xiàn):方框中的箭頭是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的;方框中的其他小圖形,如、和也都是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的。也就是說,方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個整體在按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。因此,方框(4)中的小圖形應(yīng)畫成圖78狀。再按已找到的規(guī)律,進一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的,也就是說,每過4個方框后,同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次。如,你可看到第(1)和第(5)是完全一樣的;因此,你可以想像得到,第(2)和第(6)及第(10)個圖形應(yīng)當是完全一樣的。即第(10)個方框中的圖形應(yīng)是圖79所示的樣子。例4 觀察圖710的變化,請先回答:第(4)、(8)個圖中,黑點在什么地方?第(10)、(18)個圖中,黑點在什么地方?解:(1)按圖710中(1)、(2)、(3)、的順序仔細觀察,可發(fā)現(xiàn)黑點位置的變化規(guī)律:在(1)中,黑點在最上面第一條橫線上;在(2)中,黑點下降了一格,在上面第二條橫線上;在(3)中,黑點又下降了一格,在中間一條線上了。按黑點位置的這種變化可推測出:在(4)中,黑點又下降一格,它的位置應(yīng)如圖711所示。繼續(xù)觀察下去:在(5)中,黑點下降到最下面的一條橫線上;在(6)中,黑點開始往上升一格;在(7)中,黑點再上升一格,按著黑點位置的這種變化可推測出:在(8)中,黑點又上升一格,它的位置應(yīng)如圖712所示。(2)進一步仔細觀察圖710(1)(9),可發(fā)現(xiàn)黑點位置變化的“周期性”規(guī)律:也就是說,每隔8個小圖,黑點又回到原來的位置。因為2+8=10,2+8+8=18。所以第(10)、(18)個小圖中,黑點的位置應(yīng)與第(2)個小圖相同,見圖713所示。